Quantum Stochastic Walks on the Permutation Group
यह शोध पत्र यह प्रदर्शित करता है कि सममित समूह (symmetric group) पर शास्त्रीय रैंडम वॉक को एक क्वांटम स्टोकेस्टिक ढांचे में समाहित करना, जहाँ सुसंगत गतिकी (coherent dynamics) विसरित मिश्रण (dissipative mixing) के साथ प्रतिस्पर्धा करती है, क्वांटम सुसंगतता को एक समान वितरण (uniform distribution) की ओर अभिसरण को त्वरित करने की अनुमति देता है, जिसके संख्यात्मक परिणाम इस त्वरण के लिए एक सार्वभौमिक स्केलिंग नियम को प्रकट करते हैं।
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कल्पना कीजिए कि ताश की एक गड्डी बिल्कुल व्यवस्थित रूप से रखी है, जिसमें हर सूट में इक्के से बादशाह तक के कार्ड हैं। अब, कल्पना कीजिए कि आप उस गड्डी को फेंट रहे हैं। आपको कितनी बार फेंटना होगा कि क्रम वास्तव में समाप्त हो जाए और गड्डी एक यादृच्छिक (रैंडम) अव्यवस्था बन जाए? यह प्रश्न, जो दिखने में सरल है और एक मनोरंजन खेल से जन्मा है, एक गहरी वैज्ञानिक जांच के केंद्र में स्थित है कि कैसे प्रणालियाँ अतीत की अपनी स्मृति खो देती हैं। गणित और भौतिकी की दुनिया में, इस प्रक्रिया को 'मिक्सिंग' (mixing) के रूप में जाना जाता है। यह बताता है कि कैसे एक व्यवस्थित अवस्था एक अधिकतम यादृच्छिकता की अवस्था में परिवर्तित होती है, जहाँ प्रत्येक संभावित व्यवस्था समान रूप से संभावित होती है। दशकों से, गणितज्ञों ने अध्ययन किया है कि ताश की गड्डी के लिए इसमें कितना समय लगता है, और यह खोजा है कि यह संक्रमण एक धीमी गिरावट नहीं बल्कि व्यवस्था से अराजकता की ओर एक अचानक, तीव्र परिवर्तन है। यह घटना, जिसे 'कटऑफ' (cutoff) कहा जाता है, कंप्यूटर एल्गोरिदम से लेकर गैसों के व्यवहार तक, यह समझने के लिए एक मानक उदाहरण बन गई है कि यादृच्छिकता कैसे उभरती है।
लेकिन क्या होगा यदि हम ताश फेंटने वाले मानवीय हाथ को क्वांटम यांत्रिकी (क्वांटम मैकेनिक्स) के नियमों से बदल दें? क्वांटम दुनिया में, कण केवल एक स्थान पर नहीं बैठते; वे एक साथ कई अवस्थाओं के सुपरपोजिशन (superposition) में अस्तित्व में हो सकते हैं, और उनका व्यवहार उन तरंगों द्वारा नियंत्रित होता है जो एक-दूसरे के साथ हस्तक्षेप (interfere) कर सकती हैं। एक स्वाभाविक प्रश्न उठता है: यदि हम इन क्वांटम नियमों का उपयोग करके ताश फेंटते हैं, तो क्या गड्डी अधिक तेज़ी से यादृच्छिक हो जाती है? या क्या क्वांटम यांत्रिकी की अजीब, तरंग जैसी प्रकृति वास्तव में मूल क्रम की स्मृति को सुरक्षित रखती है, जिससे वास्तविक यादृच्छिकता कभी भी स्थापित नहीं हो पाती? यह वह पहेली है जिसे इटली के इंटरनेशनल स्कूल फॉर एडवांस्ड स्टडीज के शोधकर्ताओं के एक दल ने सुलझाने का प्रयास किया है। उन्होंने एक क्लासिक, यादृच्छिक ताश फेंटने की प्रक्रिया की तुलना इसके क्वांटम संस्करण से करने और फिर यह देखने के लिए कि यदि वे दोनों दृष्टिकोणों को मिला दें तो क्या होगा, का प्रयास किया।
शोधकर्ताओं ने कार्डों की गड्डी को फेंटने की क्लासिक समस्या को देखकर शुरुआत की। मानक संस्करण में, दो कार्ड यादृच्छिक रूप से चुने जाते हैं और उन्हें आपस में बदल दिया जाता है। गणितज्ञ लंबे समय से जानते हैं कि इस प्रक्रिया को वास्तव में यादृच्छिक होने के लिए विशिष्ट चरणों की आवश्यकता होती है, एक ऐसी संख्या जो गड्डी के आकार के साथ बढ़ती है। यदि आप बहुत जल्दी रुक जाते हैं, तो गड्डी को अभी भी अपनी शुरुआत याद रहती है। यदि आप थोड़ा और आगे बढ़ते हैं, तो व्यवस्था लगभग तुरंत गायब हो जाती है। टीम ने इस क्लासिक समस्या को समय के निरंतर प्रवाह (continuous flow of time) में अनुवादित किया, जहाँ स्वैप (बदलाव) निश्चित चरणों के बजाय यादृच्छिक क्षणों पर होते हैं। फिर उन्होंने इसी प्रक्रिया का एक क्वांटम संस्करण बनाया। इस क्वांटम परिदृश्य में, "स्वैप" यादृच्छिक घटनाएं नहीं हैं बल्कि एक निश्चित, अपरिवर्तनीय नियम द्वारा संचालित होते हैं जो सिस्टम को सुचारू रूप से और प्रतिवर्ती (reversible) रूप से विकसित करता है।
जब उन्होंने अकेले क्वांटम संस्करण को चलाया, तो उन्होंने पाया कि यह क्लासिक संस्करण की तुलना में बहुत अलग व्यवहार करता है। क्योंकि क्वांटम विकास प्रतिवर्ती है, यह वास्तव में शुरुआती बिंदु को कभी नहीं भूलता। सिस्टम एक ऐसी यादृच्छिक अवस्था में नहीं बैठता जहाँ प्रत्येक कार्ड की स्थिति समान रूप से संभावित हो। इसके बजाय, यह दोलन करता है और अपनी प्रारंभिक व्यवस्था के बारे में जानकारी बनाए रखता है, ठीक वैसे ही जैसे एक पेंडुलम जो कभी रुकता नहीं है। शोधकर्ताओं ने दिखाया कि केवल इस क्वांटम प्रक्रिया को चलाने से उस प्रकार की यादृच्छिकता उत्पन्न नहीं होती है जिसे हम ताश की गड्डी फेंटने में देखते हैं। क्वांटम सिस्टम अपनी अवस्था की "शुद्धता" (purity) को बनाए रखता है, शुरुआत की स्मृति को बरकरार रखता है, जबकि क्लासिक फेंटने की प्रक्रिया उस स्मृति को धीरे-धीरे मिटा देती है जब तक कि संयोग के अलावा कुछ नहीं बचता।
इस अंतर को पाटने के लिए, वैज्ञानिकों ने एक तीसरा तत्व पेश किया: एक क्वांटम स्टोकेस्टिक वॉक (quantum stochastic walk)। यह एक हाइब्रिड सिस्टम है जहाँ सुचारू, तरंग-जैसे क्वांटम विकास का मुकाबला एक यादृच्छिक, शोर वाली प्रक्रिया से होता है जो क्लासिक फेंटने की नकल करती है। एक ऐसी प्रणाली की कल्पना करें जो लगातार यादृच्छिक स्वैप द्वारा प्रेरित होती है, ठीक वैसे ही जैसे कोई इंसान ताश फेंटता है, लेकिन साथ ही साथ क्वांटम नियमों के तहत विकसित भी होती है। शोधकर्ता यह जानना चाहते थे कि क्या क्वांटम हिस्सा सिस्टम को क्लासिक फेंटने की तुलना में अधिक तेज़ी से एक यादृच्छिक अवस्था तक पहुँचने में मदद कर सकता है।
उनके परिणामों ने दोनों शक्तियों के बीच एक आश्चर्यजनक सहयोग का खुलासा किया। उन्होंने सिद्ध किया कि जबकि क्वांटम हिस्सा सिस्टम द्वारा अपनी कुल सूचना खोने की समग्र गति को नहीं बदल सकता है, यह इस बात को महत्वपूर्ण रूप से तेज़ कर सकता है कि दृश्य, मापने योग्य परिणाम कितनी तेज़ी से यादृच्छिक होते हैं। अध्ययन की भाषा में, क्वांटम सुसंगतता (coherence)—सिस्टम की तरंग जैसी प्रकृति—कार्डों को विभिन्न स्थितियों में खोजने की संभावना को अधिक समान रूप से फैलाने में मदद करती है। भले ही पूर्ण क्वांटम अवस्था अभी भी कुछ छिपी हुई जानकारी को थामे रखती है, लेकिन यदि आप कार्डों को देखेंगे तो जो परिणाम आपको दिखाई देंगे (मापन प्रायिकताएं), वे क्लासिक फेंटने के मुकाबले बहुत तेज़ी से एकसमान हो जाते हैं।
टीम ने प्रदर्शित किया कि यह गति-वृद्धि (speedup) क्वांटम जुड़ाव की शक्ति पर निर्भर करती है। यदि क्वांटम प्रभाव बहुत कमजोर है, तो सिस्टम एक क्लासिक फेंटने वाले की तरह व्यवहार करता है। यदि यह पर्याप्त मजबूत है, तो यादृच्छिक अवस्था तक पहुँचने में लगने वाला समय उल्लेखनीय रूप से कम हो जाता है। 23 कार्डों तक की गड्डियों के विस्तृत कंप्यूटर सिमुलेशन के माध्यम से, उन्होंने पाया कि क्वांटम सिस्टम के मिक्स होने के समय और क्लासिक सिस्टम के मिक्स होने के समय का अनुपात एक सरल, अनुमानित पैटर्न का पालन करता है। यह पैटर्न सुझाव देता है कि वास्तविक अंतर पैदा करने के लिए क्वांटम प्रभाव का एक विशिष्ट स्तर आवश्यक है।
अध्ययन निष्कर्ष निकालता है कि इस विशिष्ट सेटिंग में, क्वांटम यांत्रिकी यादृच्छिकता के विरुद्ध संघर्ष नहीं करती है; यह इसमें सहायता करती है। वातावरण का अपरिवर्तनीय शोर, जो वास्तविक यादृच्छिकता बनाने के लिए आवश्यक है, प्रारंभिक व्यवस्था की स्मृति को अधिक कुशलता से मिटाने के लिए क्वांटम हस्तक्षेप के साथ मिलकर काम करता है। शोधकर्ता सुझाव देते हैं कि यह तंत्र उन भौतिक प्रणालियों के लिए प्रासंगिक हो सकता है जहाँ कण स्थान बदल सकते हैं, जैसे कि कुछ प्रकार की परमाणु गैसों या स्पिन प्रणालियों में। उनका कार्य इस बात का एक स्पष्ट उदाहरण प्रदान करता है कि कैसे क्वांटम दुनिया की अजीब, सुसंगत प्रकृति वास्तव में एक सिस्टम को यादृच्छिक अवस्था में तेज़ी से सेट होने में मदद कर सकती है, जिससे एक सैद्धांतिक जिज्ञासा एक ठोस समझ में बदल जाती है कि कैसे व्यवस्था अराजकता के सामने घुटने टेक देती है।
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