First-order integrability-breaking phase transitions in dynamical systems

चीजों के चलने और बदलने के अध्ययन में, वैज्ञानिक लंबे समय से व्यवस्था (order) और अराजकता (chaos) के बीच की सीमा से मंत्रमुग्ध रहे हैं। सदियों से, "फेज ट्रांजिशन" (phase transition) की अवधारणा ने यह समझाने में मदद की है कि पदार्थ एक अवस्था से दूसरी अवस्था में कैसे बदलता है, जैसे पानी का बर्फ में जमना या किसी चुंबक का गर्म होने पर अपनी पकड़ खो देना। इन क्लासिक उदाहरणों में, परिवर्तन अक्सर एक मापने योग्य गुण, जैसे घनत्व या चुंबकत्व में अचानक उछाल द्वारा चिह्नित होता है, जबकि सिस्टम को अपनी नई अवस्था में स्थिर होने में लगने वाला समय अविश्वसनीय रूप से लंबा हो सकता है। अचानक बदलाव के इस विचार को जटिल प्रणालियों (complex systems) की दुनिया में भी विस्तारित किया गया है, जहाँ शोधकर्ता तब समान उछालों की तलाश करते हैं जब कोई सिस्टम अनुमानित, व्यवस्थित गति से जंगली, अप्रत्याशित व्यवहार की ओर बढ़ता है। इस क्षेत्र में एक प्रमुख प्रश्न यह है कि क्या पूर्ण व्यवस्था से पूर्ण अराजकता तक का परिवर्तन हमेशा क्रमिक होना चाहिए, जहाँ सिस्टम का व्यवहार नियंत्रण नॉब घुमाने के साथ सुचारू रूप से बदलता है, या क्या यह एक अचानक, झटकेदार छलांग के साथ हो सकता है।

शोधकर्ताओं की एक टीम ने अब पाया है कि उत्तर 'हाँ' है: संक्रमण अचानक हो सकता है। दो बहुत ही अलग प्रणालियों का अध्ययन करके—एक एक सीमित स्थान में कणों की रैंडम वॉक (random walk) और दूसरा एक विशिष्ट प्रकार के घुमावदार कंटेनर के भीतर उछलती हुई गेंद—उन्होंने एक नए प्रकार के संक्रमण की खोज की। दोनों मामलों में, उन्होंने देखा कि जैसे ही उन्होंने एक पूरी तरह से व्यवस्थित प्रणाली में एक सूक्ष्म गड़बड़ी पेश की, सिस्टम की अपने स्थान को फैलाने और खोजने की क्षमता धीरे-धीरे नहीं बढ़ी। इसके बजाय, यह शून्य से तुरंत एक निश्चित, परिमित (finite) मान तक उछल गई। इसका अर्थ यह है कि पूर्ण व्यवस्था से जरा सा भी विचलन होने पर भी, सिस्टम इस तरह व्यवहार करता है जैसे कि वह पूरी तरह से अराजक हो, और तुरंत अपने पूरे उपलब्ध स्थान को खोजने लगता है। फिर भी, इस अचानक उछाल के बावजूद, सिस्टम को उस अराजक अवस्था तक पहुँचने में लगने वाला समय उस गड़बड़ी के छोटा होने पर अनंत हो जाता है। अंतिम अवस्था में यह अचानक उछाल और उस अवस्था तक पहुँचने के समय का धीमा होना, गतिशील प्रणालियों (dynamical systems) में "फर्स्ट-ऑर्डर" (first-order) संक्रमणों के एक नए वर्ग को परिभाषित करता है, जो इस धारणा को चुनौती देता है कि ऐसे बदलाव हमेशा क्रमिक होने चाहिए।

शोधकर्ताओं ने एक सरल, रैंडम प्रक्रिया को देखकर शुरुआत की। कल्पना कीजिए कि लोगों का एक बड़ा समूह एक लंबे, संकीर्ण गलियारे के भीतर आगे-पीछे चल रहा है जिसमें दोनों सिरों पर दीवारें हैं। एक पूरी तरह से स्थिर गलियारे में, यदि कोई व्यक्ति कदम नहीं लेता है, तो वह ठीक वहीं रहता है जहाँ से उसने शुरू किया था। लेकिन यदि वे थोड़े से, रैंडम कदम उठाते हैं, तो वे अंततः गलियारे के हर कोने तक पहुँच जाएंगे। वैज्ञानिकों ने मापा कि ये यात्री समय के साथ औसतन कितनी दूर तक फैले। उन्होंने पाया कि यदि कदम का आकार बिल्कुल शून्य था, तो यात्री कभी नहीं हिले, और शुरुआती बिंदु से औसत दूरी शून्य रही। लेकिन जैसे ही कदम का आकार शून्य से अधिक कोई भी संख्या बनी, यात्रियों ने अंततः पूरे गलियारे को छान मारा, और औसत दूरी गलियारे की लंबाई द्वारा निर्धारित एक विशिष्ट, निश्चित मान पर स्थिर हो गई। यह एक अचानक उछाल था: जैसे ही कोई हलचल संभव हुई, सिस्टम एक जगह रुक जाने से सीधे पूरे स्थान को भरने की स्थिति में आ गया।

यह देखने के लिए कि क्या यह अजीब व्यवहार केवल रैंडम वॉकर तक ही सीमित था, टीम एक पूरी तरह से अलग सिस्टम की ओर मुड़ी: एक नियतात्मक बिलियर्ड (deterministic billiard)। यह एक कंटेनर के भीतर उछलते हुए कण का एक मॉडल है जिसकी दीवारें घुमावदार हैं, जो एक पूल टेबल के समान है लेकिन इसमें एक विशिष्ट आकार है जिसे 'स्टेडियम' कहा जाता है। इस सिस्टम में, कण भौतिकी के सख्त नियमों का पालन करता है, बिना किसी यादृच्छिकता (randomness) के घुमावदार दीवारों से टकराकर उछलता है। शोधकर्ता दीवारों के आकार को थोड़ा बदलकर, एक पूरी तरह से आयताकार बॉक्स को घुमावदार सिरों वाले स्टेडियम में बदल सकते थे। जब दीवारें सीधी थीं, तो कण की गति अनुमानित और व्यवस्थित थी, और वह गति के सभी संभावित कोणों को कभी नहीं खोज पाता था। लेकिन जैसे ही दीवारें सूक्ष्म मात्रा में भी घुमावदार हुईं, कण का पथ अराजक हो गया। वह एक ऐसे तरीके से उछलने लगा जो अंततः कंटेनर के भीतर हर संभव कोण और स्थिति को कवर करने लगा। बिल्कुल रैंडम वॉकरों की तरह, कण के फैलने का माप दीवारों के घुमावदार होते ही शून्य से एक निश्चित, परिमित मान तक उछल गया।

जो इस खोज को विशेष रूप से आश्चर्यजनक बनाता है, वह यह है कि जब शोधकर्ता गड़बड़ी को छोटा और छोटा करते जाते हैं, तो क्या होता है। कई भौतिक प्रणालियों में, जब कोई परिवर्तन छोटा होता है, तो पूर्ण प्रभाव देखने का समय भी कम होता है। यहाँ, इसके विपरीत होता है। जैसे-जैसे रैंडम वॉक में कदम का आकार या बिलियर्ड की दीवारों का घुमाव शून्य के करीब पहुँचता है, सिस्टम को उस पूरी तरह से खोजे गए, अराजक राज्य तक पहुँचने में लगने वाला समय लंबा होता जाता है, जो सैद्धांतिक रूप से उस बिंदु पर अनंत हो जाता है जहाँ गड़बड़ी गायब हो जाती है। सिस्टम "क्रिटिकल स्लोइंग डाउन" (critical slowing down) की स्थिति में फंस जाता है, जहाँ वह स्थिर होने में अनंत समय लेता है, भले ही वह अंतिम अवस्था जो वह प्राप्त करने की कोशिश कर रहा है, शुरुआती बिंदु से पूरी तरह से भिन्न हो। यह एक अद्वितीय संकेत बनाता है: अंतिम व्यवहार में एक अचानक, विच्छिन्न (discontinuous) परिवर्तन, और वहां तक पहुँचने के लिए एक उभरता हुआ (diverging) समय पैमाना।

शोधकर्ताओं ने पुष्टि की कि रैंडम वॉकर और उछलती हुई गेंद दोनों एक ही गणितीय नियमों का पालन करते हैं कि वे कैसे फैलते हैं और सेटल होने में कितना समय लेते हैं। उन्होंने पाया कि प्रसार की गति सामान्य थी, और अंतिम अवस्था तक पहुँचने में लगने वाला समय गड़बड़ी के घटने के साथ एक अनुमानित तरीके से बढ़ता गया। शुद्ध संयोग (chance) से संचालित एक सिस्टम और सख्त, नियतात्मक (deterministic) नियमों से संचालित दूसरे सिस्टम के बीच यह सहमति बताती है कि इस प्रकार का अचानक संक्रमण जटिल प्रणालियों के व्यवहार की एक मौलिक विशेषता है, न कि केवल किसी एक विशिष्ट मॉडल की विचित्रता। यह प्रकट करता है कि प्रकृति व्यवस्था से अराजकता में एक एकल, तीक्ष्ण कदम के साथ बदल सकती है, जो इस अपेक्षा को चुनौती देती है कि ऐसे बदलाव हमेशा सुचारू और क्रमिक होने चाहिए।

यह कार्य फेज ट्रांजिशन की भाषा को, जो पारंपरिक रूप से बर्फ के पिघलने या चुंबकत्व जैसी चीजों का वर्णन करने के लिए उपयोग की जाती है, गति और गतिकी (dynamics) के क्षेत्र में विस्तारित करता है। यह दिखाता है कि एक अनुमानित दुनिया से अराजक दुनिया में संक्रमण उतना ही अचानक हो सकता है जितना कि बर्फ में पानी का बदलना। इस प्रकार के संक्रमणों की पहचान करके, अध्ययन यह स्पष्ट चित्र प्रदान करता है कि सिस्टम छोटे बदलावों के प्रति कैसे प्रतिक्रिया करते हैं। यह सुझाव देता है कि कई जटिल वातावरणों में, कणों की गति से लेकर बड़े नेटवर्क के व्यवहार तक, एक छोटा सा धक्का न केवल सिस्टम को थोड़ा सा हिला सकता है, बल्कि उसके व्यवहार के तत्काल और पूर्ण पुनर्गठन को भी ट्रिगर कर सकता है, भले ही सिस्टम वहां तक पहुँचने में बहुत लंबा समय ले। ये निष्कर्ष व्यवस्था और अराजकता के बीच के नाजुक संतुलन को समझने का एक नया तरीका प्रदान करते हैं, यह रेखांकित करते हुए कि एक से दूसरे तक का मार्ग एक स्विच चालू करने जितना अचानक हो सकता है।