The Null Energy Condition through the Lens of Optimal Transport: Smooth and Non-Smooth Spacetimes

गुरुत्वाकर्षण, हमारे रोजमर्रा के अनुभव में, वह बल है जो हमारे पैरों को जमीन पर टिकाए रखता है और चंद्रमा को पृथ्वी के चारों ओर घुमाता है। लेकिन ब्रह्मांड कैसे काम करता है, इस महान सिद्धांत में, गुरुत्वाकर्षण कोई बल नहीं है। इसके बजाय, यह स्वयं स्थान (space) और समय (time) का आकार है। एक ट्रैम्पोलिन पर रखी गई एक भारी गेंद की कल्पना करें; कपड़ा नीचे की ओर झुक जाता है, और छोटी मार्बल्स उसकी ओर इसलिए नहीं लुढ़कतीं कि उन्हें खींचा जा रहा है, बल्कि इसलिए क्योंकि जिस सतह पर वे यात्रा कर रही हैं, वह वक्रित (curved) है। ब्रह्मांड में, तारों और ब्लैक होल जैसी विशाल वस्तुएं चार-आयामी स्पेसटाइम के कपड़े को मोड़ देती हैं। इन वस्तुओं के भीतर का पदार्थ और ऊर्जा स्पेसटाइम को बताता है कि उसे कैसे मुड़ना है, और वह वक्रता पदार्थ को बताती है कि उसे कैसे चलना है।

इस सिद्धांत को भौतिक रूप से सार्थक होने के लिए, ब्रह्मांड के भीतर की ऊर्जा को कुछ निश्चित तरीकों से व्यवहार करना चाहिए। वैज्ञानिक लंबे समय से ऊर्जा के व्यवहार को तर्कसंगत बनाए रखने के लिए "ऊर्जा स्थितियों" (energy conditions) नामक नियमों के समूह पर भरोसा करते रहे हैं। ये नियम अनिवार्य रूप से यह कहते हैं कि ऊर्जा घनत्व सकारात्मक होना चाहिए और ऊर्जा प्रकाश से तेज नहीं चलनी चाहिए। इनमें से, "नल एनर्जी कंडीशन" (null energy condition) विशेष रूप से महत्वपूर्ण है। यह एक नियम है कि प्रकाश द्वारा लिए गए पथों के साथ ऊर्जा कैसे व्यवहार करती है। यदि यह नियम सत्य होता है, तो यह गारंटी देता है कि प्रकाश की किरणें फैलने के बजाय एक साथ केंद्रित होने की प्रवृत्ति रखेंगी, एक ऐसा व्यवहार जो ब्लैक होल के निर्माण और अत्यधिक परिस्थितियों में पदार्थ के सिंगुलैरिटी (singularity) में कुचलने की ओर ले जाता है जहाँ भौतिकी के नियम टूट जाते हैं।

दशकों तक, इन विचारों को केवल पूर्णतः चिकने, आदर्श ब्रह्मांडों के संदर्भ में ही समझा गया था। लेकिन वास्तविक ब्रह्मांड अव्यवस्थित है। इसमें शॉकवेव्स, अचानक टकराव और शायद समय की शुरुआत के वे ऊबड़-खाबड़ किनारे भी शामिल हैं, जहाँ स्थान और समय की चिकनाहट समाप्त हो सकती है। वैज्ञानिकों को लंबे समय से यह उलझाए रख रहा है कि क्या गुरुत्वाकर्षण के मौलिक नियम, जैसे कि नल ऊर्जा स्थिति, तब भी बने रहते हैं जब स्पेसटाइम का चिकना ताना-बाना फटा हुआ या झुर्रियों वाला हो। यदि गणित को काम करने के लिए एक चिकनी सतह की आवश्यकता है, तो ब्लैक होल और बिग बैंग के बारे में हमारी समझ अधूरी हो सकती है।

शोधकर्ताओं की एक टीम ने अब एक पूरी तरह से अलग दृष्टिकोण से इस प्रश्न का उत्तर दिया है। उन्होंने दिखाया है कि नल ऊर्जा स्थिति को एक चिकनी सतह की वक्रता को मापने के बजाय, यह देखकर समझा जा सकता है कि सूचना और प्रायिकता (probability) अंतरिक्ष में कैसे प्रवाहित होती है। उनका कार्य सिद्ध करता है कि इस ऊर्जा नियम के गहरे ज्यामितीय परिणाम तब भी बने रहते हैं जब स्पेसटाइम खुरदरा, विच्छिन्न (discontinuous), या चिकनी संरचना के बिना हो। उन्होंने एक नया गणितीय ढांचा तैयार किया है जो गुरुत्वाकर्षण के इन प्राचीन नियमों को ब्रह्मांड के सबसे अराजक और अनियमित कोनों में लागू करने की अनुमति देता है।

शोधकर्ता, फैबियो कैवलेट्टी, डेविड माइनिनी और एंड्रिया मोंडिनो ने एक अलग शाखा के गणित से एक उपकरण उधार लेकर इस समस्या के पास जाने का निर्णय लिया जिसे 'ऑप्टिमल ट्रांसपोर्ट' (optimal transport) कहा जाता है। अपने सरलतम रूप में, ऑप्टिमल ट्रांसपोर्ट एक व्यावहारिक प्रश्न पूछता है: रेत के ढेर को एक स्थान से दूसरे स्थान पर ले जाने का सबसे कुशल तरीका क्या है? शास्त्रीय भौतिकी की चिकनी दुनिया में, इस प्रश्न को सबसे छोटे पथों को देखकर हल किया जाता है। लेकिन शोधकर्ताओं ने महसूस किया कि इस अवधारणा को स्पेसटाइम की अजीब ज्यामिति, विशेष रूप से प्रकाश द्वारा लिए गए पथों के लिए अनुकूलित किया जा सकता है।

चिकनी सेटिंग में, उन्होंने प्रदर्शित किया कि नल ऊर्जा स्थिति एंट्रॉपी (entropy) के एक विशिष्ट व्यवहार के गणितीय रूप से समतुल्य है, जो विकार या यादृच्छिकता (randomness) का एक माप है। यदि आप प्रकाश के पथों के साथ चलते हुए कणों के एक बादल की कल्पना करते हैं, तो नल ऊर्जा स्थिति तब संतुष्ट होती है जब इस बादल का "फैलाव" यात्रा करते समय एक बहुत ही विशिष्ट, अवतल (concave) तरीके से व्यवहार करता है। यह एक गुब्बारे के फैलने को देखने जैसा है; नियम यह निर्धारित करता है कि उस विस्तार की दर कैसे बदलनी चाहिए। प्रकाश के प्रवाह और एंट्रॉपी के व्यवहार के बीच इस संबंध ने बिना किसी चिकनी सतह की वक्रता की गणना किए ऊर्जा स्थिति को परिभाषित करने का एक नया तरीका प्रदान किया।

असली सफलता तब आई जब उन्होंने इस विचार को उन स्पेसटाइम्स तक विस्तारित किया जो बिल्कुल भी चिकने नहीं हैं। वास्तविक दुनिया में, स्पेसटाइम निरंतर लेकिन ऊबड़-खाबड़ हो सकता है, जैसे कागज का एक मुड़ा हुआ टुकड़ा, या यह केवल घटनाओं के बीच कारण संबंधी संबंधों (causal relationships) द्वारा परिभाषित हो सकता है—यह जानना कि एक घटना दूसरी घटना को प्रभावित कर सकती है, बिना यह जाने कि उनके बीच का चिकना पथ क्या है। टीम ने एक सिंथेटिक सिद्धांत विकसित किया, नियमों का एक सेट जो तब भी काम करता है जब कैलकुलस के सामान्य उपकरण, जो चिकनाई पर निर्भर करते हैं, बेकार हो जाते हैं।

उन्होंने "सिंथेटिक नल हाइपरसरफेस" (synthetic null hypersurface) की अवधारणा पेश की। एक चिकने ब्रह्मांड में, एक नल हाइपरसरफेस प्रकाश किरणों से बनी एक सीमा है। उनके नए ढांचे में, उन्होंने इस सीमा को केवल ब्रह्मांड की कारण संरचना (causal structure) और इन प्रकाश पथों के "आकार" को मापने के तरीके का उपयोग करके परिभाषित किया, बिना किसी चिकने मेट्रिक या डेरिवेटिव की आवश्यकता के। उन्होंने दिखाया कि चिकनी दुनिया में पाया गया वही एंट्रॉपी-आधारित नियम यहाँ भी लागू होता है। यदि प्रकाश पथों के माध्यम से चलने वाले प्रायिकता वितरण (probability distribution) की एंट्रॉपी आवश्यक अवतल व्यवहार करती है, तो नल ऊर्जा स्थिति संतुष्ट होती है।

यह उपलब्धि महत्वपूर्ण है क्योंकि यह चिकनाई की आवश्यकता को हटा देती है। शोधकर्ताओं ने सिद्ध किया कि उनकी नई परिभाषा स्थिर (stable) है। इसका अर्थ है कि यदि आप चिकने ब्रह्मांडों का एक क्रम लेते हैं जो नल ऊर्जा स्थिति को संतुष्ट करते हैं और उन्हें एक खुरदरे, सिंगुलर ब्रह्मांड में विकसित होने देते हैं, तो यह स्थिति अभी भी बनी रहती है। यह केवल इसलिए गायब नहीं हो जाती क्योंकि गणित जटिल हो जाता है। यह स्थिरता भौतिकविदों को उन परिदृश्यों में इन नियमों को लागू करने की अनुमति देती है जो पहले वर्जित थे, जैसे कि ऊबड़-खाबड़ क्षितिज वाले ब्लैक होल के भीतर का भाग या बिग बैंग के शुरुआती क्षण।

इस कार्य का एक सबसे शक्तिशाली अनुप्रयोग पेनरोस का एक नया 'सिंगुलैरिटी थ्योरम' (singularity theorem) है। यह प्रसिद्ध प्रमेय, जिसने नोबेल पुरस्कार दिलाया, भविष्यवाणी करता है कि कुछ शर्तों के तहत, ब्रह्मांड में एक सिंगुलैरिटी होनी ही चाहिए—एक ऐसा बिंदु जहाँ गुरुत्वाकर्षण अनंत हो जाता है और प्रकाश का पथ अचानक समाप्त हो जाता है। मूल प्रमाण के लिए स्पेसटाइम का चिकना होना आवश्यक था। हालाँकि, नया सिंथेटिक संस्करण उन स्पेसटाइम्स के लिए काम करता है जो केवल निरंतर (continuous) हैं, जिसका अर्थ है कि उनमें कोई तीव्र उछाल नहीं है लेकिन वे आवश्यक रूप से चिकने भी नहीं हैं। शोधकर्ताओं ने दिखाया कि यदि एक निरंतर ब्रह्मांड उनके सिंथेटिक ऊर्जा नियम का पालन करता है और उसमें एक ट्रैप्ड क्षेत्र (trapped region) है जहाँ प्रकाश को अंदर की ओर धकेला जाता है, तो इसे अभी भी एक सिंगुलैरिटी में समाप्त होना ही होगा। प्रकाश के पथ बस अनंत काल तक नहीं चल सकते।

टीम ने हॉकिंग के 'एरिया थ्योरम' (area theorem) का भी पुनरावलोकन किया, जो कहता है कि ब्लैक होल के इवेंट होराइजन का सतही क्षेत्रफल कभी कम नहीं हो सकता। चिकनी दुनिया में, यह नल ऊर्जा स्थिति का एक परिणाम है। शोधकर्ताओं ने सिद्ध किया कि उनका सिद्धांत सिंथेटिक ढांचे में भी सत्य है, भले ही ज्यामिति खुरदरी हो। उन्होंने दिखाया कि एक प्रकाश-समान सतह के क्रॉस-सेक्शन का भारित क्षेत्रफल (weighted area) समय में आगे बढ़ते हुए बढ़ता या समान रहता है, बशर्ते सिंथेटिक ऊर्जा स्थिति पूरी हो। यह पुष्टि करता है कि ब्लैक होल का मौलिक थर्मोडायनामिक-जैसा व्यवहार मजबूत है, जो खुरदरी ज्यामिति के बावजूद जीवित रहता है।

परिवहन (transport) और एंट्रॉपी की भाषा को वक्रता की भाषा में अनुवाद करके, शोधकर्ताओं ने एक एकीकृत ढांचा प्रदान किया है। उन्होंने दिखाया है कि नल ऊर्जा स्थिति के ज्यामितीय और कारण संबंधी परिणाम चिकनाई के कृत्रिम प्रभाव नहीं हैं, बल्कि ब्रह्मांड की गहरी, संरचनात्मक विशेषताएं हैं। चाहे स्पेसटाइम एक चिकनी चादर हो या एक मुड़ा हुआ, सिंगुलर ढेर, नियम कि प्रकाश और पदार्थ कैसे परस्पर क्रिया करते हैं, सुसंगत रहते हैं। यह कार्य सुझाव देता है कि सिंगुलैरिटी का निर्माण और ब्लैक होल का व्यवहार ब्रह्मांड की संरचना की वास्तविक विशेषताएं हैं, जो उस गणितीय चिकनाई से स्वतंत्र हैं जिसे हम अक्सर सुविधा के लिए मान लेते हैं। यह ब्रह्मांड के सबसे चरम वातावरणों की खोज करने के लिए एक नए गणितीय टूलकिट का द्वार खोलता है जो तब विफल नहीं होता जब ब्रह्मांड खुरदरा हो जाता है।