Extremal curves of Perlick's proper time in Weyl geometry

ब्रह्मांड की भव्य वास्तुकला में, स्थान और समय केवल घटनाओं के घटने के लिए एक स्थिर मंच नहीं हैं; वे एक गतिशील ताना-बाना हैं जो खिंच सकता है, मुड़ सकता है और घूम सकता है। एक सदी से अधिक समय से, भौतिकविदों ने इस ताने-बाने का वर्णन करने के लिए 'स्यूडो-रीमानियन ज्योमेट्री' (pseudo-Riemannian geometry) नामक एक विशिष्ट गणितीय ढांचे पर भरोसा किया है, जो एक ऐसी प्रणाली है जहाँ दो बिंदुओं के बीच की दूरी निश्चित और पूर्ण होती है, चाहे वहां तक पहुँचने के लिए कोई भी मार्ग अपनाया जाए। हालाँकि, एक अधिक लचीला, पुराना विचार मौजूद है जिसे 'वेइल ज्योमेट्री' (Weyl geometry) के रूप में जाना जाता है। इस संस्करण में, एक पैमाने (रूलर) की लंबाई स्वयं स्थान और समय के माध्यम से चलते समय बदल सकती है, जो इस बात पर निर्भर करता है कि वह कहाँ से गुजरा है और उसने कौन सा मार्ग लिया है। यह पथ-निर्भरता एक नए प्रकार के वक्रता (curvature) को जन्म देती है, जो स्वयं स्थान के झुकने से अलग है, और यह मापती है कि परिवहन के दौरान चीजों का पैमाना (scale) कितना बदलता है। जबकि इस अवधारणा को कभी गुरुत्वाकर्षण और विद्युत चुंबकत्व को एकीकृत करने के एक तरीके के रूप में प्रस्तावित किया गया था, यह मुख्य रूप से एक गणितीय जिज्ञासा बनकर रह गया है। वह प्रश्न जो लंबे समय से बना हुआ है, यह है कि ऐसे बदलते वातावरण में एक कण वास्तव में कैसे गति करेगा। यदि लंबाई के नियम तरल हैं, तो एक घड़ी कैसे टिक-टिक करती है, और एक मुक्त रूप से गिरने वाली वस्तु किस पथ का अनुसरण करती है?

ब्राजील के शोधकर्ताओं की एक टीम ने हाल ही में एक गैर-एकीकृत (non-integrable) वेइल ज्योमेट्री में कणों की गति का परीक्षण करके इस प्रश्न को हल किया है, जो एक ऐसा परिवेश है जहाँ लंबाई का परिवर्तन एक एकल, सुचारू फलन (function) में सरल नहीं किया जा सकता है। उन्होंने भौतिक विज्ञानी वोल्कर पर्लिक (Volker Perlick) द्वारा प्रस्तावित समय की एक विशिष्ट परिभाषा पर ध्यान केंद्रित किया, जो समय को मापने का एक ऐसा तरीका प्रदान करती है जो सुसंगत रहता है भले ही स्थान की ज्यामिति खिंचती और सिकुड़ती रहे। मानक समय मापने के तरीके के विपरीत, जो केवल तय की गई दूरी को जोड़ता है, पर्लिक की विधि कण के पूरे पथ के साथ ज्यामिति कैसे बदली है, उसके इतिहास को संचित करती है। शोधकर्ताओं ने उन विशिष्ट वक्रों (curves) को खोजने का प्रयास किया जो इस संचित समय को अधिकतम करेंगे, जो अनिवार्य रूप से यह पूछ रहे थे: "एक ऐसे ब्रह्मांड में एक घड़ी के लिए सबसे कुशल पथ क्या है जहाँ आकार के नियम लगातार बदल रहे हैं?"

उनके अन्वेषण के परिणाम स्थापित अपेक्षाओं से एक आश्चर्यजनक विचलन प्रकट करते हैं। मानक भौतिकी में, वह पथ जो समय को अधिकतम करता है वह एक 'जियोडेसिक' (geodesic) होता है, जो मुड़े हुए स्थान में एक सीधी रेखा है जो ज्यामिति की प्राकृतिक वक्रता का अनुसरण करती है। शोधकर्ताओं ने पाया कि इस लचीले वेइल ब्रह्मांड में, वह पथ जो पर्लिक के समय को अधिकतम करता है, आम तौर पर ज्यामिति के 'कनेक्शन' द्वारा अनुमानित मानक पथों से मेल नहीं खाता है। इसके बजाय, कण की गति एक नए समीकरण द्वारा नियंत्रित होती है जिसमें एक अतिरिक्त बल-समान पद (force-like term) शामिल होता है। यह पद "लंबाई वक्रता" (length curvature) पर निर्भर करता है, जो इस बात का माप है कि ज्यामिति कितनी असंगत है, और यह कण को मानक पथ से दूर धकेलता है। दोनों पथों के बीच का अंतर एक मामूली सुधार नहीं है; यह ज्यामिति की गैर-एकीकृत प्रकृति का एक मौलिक परिणाम है, जिसका अर्थ है कि दो प्रकार की गतियां केवल तभी मेल खाती हैं जब ज्यामिति पूरी तरह से सुसंगत हो और लंबाई के परिवर्तनों को पूर्ववत किया जा सके।

इस नए समीकरण की सबसे उल्लेखनीय विशेषता इसकी गैर-स्थानीय (nonlocal) प्रकृति है। साधारण भौतिकी में, किसी भी क्षण किसी वस्तु का त्वरण केवल उस समय उस पर लगने वाले बलों पर निर्भर करता है। इस नए ढांचे में, एक विशिष्ट बिंदु पर त्वरण उस पूरे शेष यात्रा पर निर्भर करता है जो कण को अभी लेनी बाकी है। समीकरण को कण के भविष्य के गंतव्य की जानकारी की आवश्यकता होती है ताकि यह निर्धारित किया जा सके कि वह अभी कैसे चलता है। यह गति को एक "टर्मिनल" (terminal) चरित्र प्रदान करता है, जहाँ प्रक्षेपवक्र (trajectory) का भविष्य का अंत बिंदु वर्तमान व्यवहार को प्रभावित करता है। शोधकर्ताओं ने दिखाया कि यह निर्भरता इस बात का परिणाम नहीं है कि उन्होंने समय को कैसे मापा, बल्कि यह वैरियेशनल सिद्धांत (variational principle) का एक वास्तविक गुण है। कण का पथ एक सीमा-मान समस्या (boundary-value problem) द्वारा निर्धारित होता है, जहाँ प्रारंभिक और अंतिम बिंदु निश्चित होते हैं, और उनके बीच का वक्र कुल समय को अनुकूलित करने की आवश्यकता से आकार लेता है, जिसमें गंतव्य का प्रभाव भी शामिल है।

यह समझने के लिए कि यह अमूर्त व्यवहार एक वास्तविक परिदृश्य में कैसे काम करता है, टीम ने एक सरल ब्रह्मांड का मॉडल तैयार किया जिसमें इस बदलते ज्यामिति का एक निरंतर, कमजोर क्षेत्र है। उन्होंने तीन अलग-अलग प्रकार की गतियों की तुलना की: खाली स्थान में एक कण का सीधा पथ, मानक वेइल ज्यामिति द्वारा अनुमानित पथ, और पर्लिक के समय को अधिकतम करने वाला पथ। उन्होंने पाया कि जबकि मानक वेइल पथ एक दिशा में झुकता है, पर्लिक पथ शुरू में विपरीत दिशा में झुकता है, जो दूर स्थित अंत बिंदु के प्रभाव से प्रेरित होता है। गंतव्य जितना दूर होगा, यह प्रारंभिक विचलन उतना ही मजबूत होगा। यह प्रति-सहज परिणाम इस बात पर प्रकाश डालता है कि गंतव्य बिंदु को और दूर ले जाने से यह प्रभाव समाप्त नहीं होता है; इसके बजाय, यह गैर-स्थानीय प्रभाव को बढ़ाता है, जिससे कण को मानक पथ से और अधिक विचलित करता है।

हालाँकि, शोधकर्ताओं ने एक विशिष्ट गणितीय सीमा (limit) के माध्यम से इस जटिल व्यवहार से परिचित भौतिकी को पुनः प्राप्त करने का एक तरीका खोजा। यदि वे इस बदलते ज्यामिति क्षेत्र को कमजोर करते हैं और गंतव्य बिंदु को अनंत रूप से दूर ले जाते हैं, जबकि इन दोनों कारकों के गुणनफल को स्थिर रखते हैं, तो अजीब गैर-स्थानीय प्रभाव कम होने लगते हैं। इस 'डबल-स्केलिंग लिमिट' में, जटिल समीकरण नाटकीय रूप से सरल हो जाता है। भविष्य के अंत बिंदु पर गैर-स्थानीय निर्भरता गायब हो जाती है, और शेष बल पद परिचित 'लोरेंट्ज़ बल' (Lorentz force) में बदल जाता है, जो बताता है कि आवेशित कण विद्युत चुंबकत्व के क्षेत्रों में कैसे चलते हैं। यह सुझाव देता है कि विद्युत चुंबकत्व द्वारा शासित बल, जो इलेक्ट्रॉनों और प्रोटॉनों की गति को नियंत्रित करता है, इस अधिक मौलिक, गैर-स्थानीय ज्यामिति के एक सीमित मामले के रूप में देखा जा सकता है। विद्युत चुंबकत्व की परिमित शक्ति, एक लुप्त होते कमजोर ज्यामितीय क्षेत्र और एक अनंत दूर के सीमा बिंदु के बीच संतुलन से उत्पन्न होती है।

अध्ययन इस निष्कर्ष पर पहुँचता है कि एक वेइल ब्रह्मांड में गति को समझने की खोज एक नए प्रकार की ज्यामिति की ओर ले जाती है जहाँ कण का पथ केवल स्थानीय स्थितियों की प्रतिक्रिया नहीं है, बल्कि एक वैश्विक अनुकूलन समस्या (global optimization problem) का समाधान है। जबकि इस गति को नियंत्रित करने वाले समीकरण गैर-स्थानीय हैं और भविष्य पर निर्भर हैं, उन्हें गणितीय रूप से स्थानीय समीकरणों के रूप में फिर से लिखा जा सकता है यदि एक सहायक चर (auxiliary variable) पेश किया जाए जो अंत बिंदु की स्मृति रखता है। यह कार्य यह दावा नहीं करता है कि हमारा ब्रह्मांड निश्चित रूप से एक वेइल ज्यामिति है, बल्कि यह प्रदर्शित करता है कि विद्युत चुंबकत्व के परिचित नियम एक गैर-एकीकृत ज्यामितीय सेटिंग में एक विशिष्ट प्रकार के समय के चरमकरण (extremization) से स्वाभाविक रूप से उभर सकते हैं। यह अमूर्त ज्यामितीय सिद्धांतों और प्रकृति में देखे गए ठोस बलों के बीच के अंतर को पाटता है, यह दिखाते हुए कि हमारे द्वारा अनुभव की जाने वाली स्थानीय गति एक गहरे, गैर-स्थानीय संरचना की छाया हो सकती है जहाँ अतीत और भविष्य एक कण के पथ की परिभाषा में अविभाज्य रूप से जुड़े हुए हैं।