Topological entanglement entropy in 3D gravity

ब्रह्मांड के सबसे मौलिक स्तर पर यह समझने की खोज में कि ब्रह्मांड कैसे काम करता है, भौतिकविदों को लंबे समय से संदेह रहा है कि स्थान और समय चिकने, निरंतर कपड़े नहीं हैं, बल्कि इसके बजाय वे किसी बुनाई की तरह अधिक दानेदार हैं, जैसे एक टेपेस्ट्री में धागे होते हैं। यह विचार क्वांटम ग्रेविटी नामक एक क्षेत्र के केंद्र में स्थित है, जो सूक्ष्म के नियमों को विशाल के नियमों के साथ तालमेल बिठाने का प्रयास करता है। इस रहस्य को खोजने के लिए एक विशेष रूप से शक्तिशाली उपकरण 'होलोग्राफी' के रूप में जाना जाने वाला एक सिद्धांत है, जो यह सुझाव देता है कि अंतरिक्ष का एक त्रि-आयामी आयतन (volume) इसकी द्वि-आयामी सतह पर संग्रहीत जानकारी द्वारा पूरी तरह से वर्णित किया जा सकता है, ठीक वैसे ही जैसे एक होलोग्राम एक सपाट फिल्म के टुकड़े पर 3D छवि संग्रहीत करता है। इस ढांचे के भीतर, एक विशिष्ट सूत्र उभरा है: यह हमें बताता है कि कैसे उस छिपी हुई जानकारी, या एंट्रॉपी (entropy), की गणना की जाए जो स्थान के एक क्षेत्र में निहित है, उस सतह के क्षेत्रफल को मापकर जो उस क्षेत्र को शेष ब्रह्मांड से विभाजित करती है। यह सूत्र अविश्वसनीय रूप से सफल रहा है, लेकिन इसे मूल रूप से एक ऐसी विधि का उपयोग करके प्राप्त किया गया था जो ब्रह्मांड को सभी संभावित इतिहासों के योग के रूप में मानती है, जो एक एकल, वास्तविक भौतिक अवस्था के विवरण के रूप में व्याख्या करने में कठिन गणितीय दृष्टिकोण है।

शोधकर्ताओं की एक टीम ने अब उसी मंजिल तक पहुँचने के लिए एक अलग रास्ता अपनाया है, बिना 'इतिहासों के योग' (sum of histories) पर निर्भर हुए इस महत्वपूर्ण सूत्र को व्युत्पन्न किया है। इसके बजाय, उन्होंने एक 'टेंसर नेटवर्क' (tensor network) नामक संरचना का उपयोग करके एक मॉडल बनाया, जिसे एक विशाल, परस्पर जुड़े गणितीय निर्देशों के जाल के रूप में सोचा जा सकता है जो इस तरह नकल करता है कि क्वांटम सूचना अंतरिक्ष के माध्यम से कैसे प्रवाहित होती है। इस जाल को गुरुत्वाकर्षण द्वारा शासित समरूपता (symmetry) के कड़े नियमों का पालन करने के लिए निर्मित करके, और इसमें पदार्थ (matter) के प्रभावों को सावधानीपूर्वक जोड़कर, वे यह दिखाने में सक्षम रहे कि कैसे एक क्षेत्र की एंट्रॉपी स्वाभाविक रूप से नेटवर्क की ज्यामिति से उभरती है। उनका कार्य यह प्रदर्शित करता है कि एंट्रॉपी का प्रसिद्ध सूत्र केवल एक भाग्यशाली अनुमान या एक विशिष्ट गणितीय युक्ति का परिणाम नहीं है, बल्कि इस बात का सीधा परिणाम है कि एक गुरुत्वाकर्षण ब्रह्मांड में क्वांटम सूचना कैसे व्यवस्थित होती है। उन्होंने पाया कि जब नेटवर्क के भीतर का पदार्थ पर्याप्त रूप से यादृच्छिक (random) होता है, तो प्रणाली स्वतः ही स्थान को विभाजित करने का सबसे कुशल तरीका चुन लेती है, जिससे यह प्रकट होता है कि एंट्रॉपी 'बल्क' (bulk) के माध्यम से सबसे छोटे संभव पथ द्वारा निर्धारित होती है, एक ऐसा परिणाम जो घूमते हुए ब्लैक होल और जटिल, समय के साथ विकसित होने वाले ब्रह्नों के लिए भी सत्य है।

शोधकर्ताओं ने एक गणितीय नोड्स (nodes) और लिंक्स (links) के ग्रिड का उपयोग करके एक ब्रह्मांड का मॉडल बनाकर शुरुआत की, जो एक संरचना है जो स्पेसटाइम का एक सरलीकृत संस्करण के रूप में कार्य करती है। इस मॉडल में, लिंक्स अंतरिक्ष की ज्यामिति के बारे में जानकारी ले जाते हैं, जबकि नोड्स उन बिंदुओं का प्रतिनिधित्व करते हैं जहाँ यह ज्यामिति मिलती है। अपने मॉडल को यथार्थवादी बनाने के लिए, उन्हें यह सुनिश्चित करना था कि यह 'डिफ़ॉर्मोर्फिज्म इनवेरिएंस' (diffeomorphism invariance) के सिद्धांत का सम्मान करे, जिसका अर्थ है कि भौतिकी के नियम नहीं बदलने चाहिए यदि आप ग्रिड को खींचते या सिकोड़ते हैं, बशर्ते आप उसे फाड़ें नहीं। यह गुरुत्वाकर्षण के किसी भी सिद्धांत के लिए एक मौलिक आवश्यकता है, क्योंकि यह सुनिश्चित करता है कि अंतरिक्ष का आकार एक भौतिक वास्तविकता है न कि केवल उस तरीके का एक अवशेष जिसे हम चुनने के लिए उपयोग करते हैं। उन्होंने नेटवर्क में पदार्थ को भी पेश किया, जिसे ग्रिड से जुड़ी अतिरिक्त टांगों (legs) के रूप में दर्शाया गया, ताकि यह देखा जा सके कि कणों की उपस्थिति सूचना के प्रवाह को कैसे बदलती है।

प्रारंभ में, उन्होंने बिना किसी पदार्थ के नेटवर्क के एक संस्करण को देखा। इस स्वच्छ, खाली अवस्था में, उन्होंने पाया कि एक क्षेत्र की एंट्रॉपी को तीन अलग-अलग भागों में विभाजित किया जा सकता है। एक भाग पदार्थ की विशिष्ट अवस्था पर निर्भर करता है, दूसरा क्षेत्र की आंतरिक जटिलता पर, और तीसरा भाग एक क्षेत्रफल पद (area term) की तरह दिखता है। यह क्षेत्रफल पद नेटवर्क के लिए उपलब्ध "अवस्थाओं के घनत्व" (density of states) पर निर्भर करता है, जो मॉडल को बनाने के लिए उपयोग किए गए समरूपता समूह के प्रकार पर निर्भर करता है। हालाँकि, इस खाली संस्करण में, नेटवर्क को आधा काटने का केवल एक ही तरीका था, इसलिए विभिन्न पथों के बीच चयन करने की कोई आवश्यकता नहीं थी। सूत्र काम कर रहा था, लेकिन इसमें वास्तविक ब्रह्मांड जैसा गतिशील गुण की कमी थी, जहाँ कई सतहें एंट्रॉपी को परिभाषित करने के लिए प्रतिस्पर्धा करती हैं।

मॉडल को वास्तविकता के करीब लाने के लिए, शोधकर्ताओं ने पदार्थ पेश किया और दो अलग-अलग परिदृश्यों पर विचार किया। पहले मामले में, उन्होंने पदार्थ की अवस्था को स्थिर (fixed) कर दिया, यानी कणों को अपनी जगह पर बांध दिया। इस मामले में, नेटवर्क ने एक क्षेत्र को दूसरे से अलग करने वाली रेखा खींचने के कई अलग-अलग तरीके प्रदान किए, जो इस पर निर्भर करता था कि पदार्थ के कण रेखा के किस ओर गिरते हैं। इनमें से प्रत्येक रेखा एक अलग एंट्रॉपी को परिभाषित करती थी, लेकिन मॉडल ने उन्हें यह नहीं बताया कि कौन सी "सही" है। यह दो शहरों के बीच कई संभावित मार्गों वाले मानचित्र की तरह था, लेकिन बिना किसी ट्रैफ़िक डेटा के कि कौन सा मार्ग सबसे तेज़ है।

सफलता तब आई जब उन्होंने दूसरे परिदृश्य पर विचार किया: क्या होगा यदि पदार्थ स्थिर नहीं है, बल्कि एक यादृच्छिक, अराजक अवस्था में है? उन्होंने पदार्थ को एक 'रैंडम एनसेम्बल' (random ensemble) के रूप में माना, जो संभावनाओं का एक सांख्यिकीय संग्रह है जो एक जटिल, तापीय प्रणाली के व्यवहार की नकल करता है। जब उन्होंने इन सभी यादृच्छिक विन्यासों पर एंट्रॉपी का औसत निकाला, तो एक उल्लेखनीय घटना घटी। नेटवर्क के माध्यम से सभी संभावित कट्स (cuts) का गणितीय योग एक एकल, विशिष्ट कट द्वारा हावी हो गया। यह वह कट था जिसने कुल एंट्रॉपी को न्यूनतम किया, प्रभावी रूप से सूचना के उलझे हुए जाल के माध्यम से सबसे कुशल पथ का चयन किया। यह चयन प्रक्रिया ठीक वही है जो 'क्वांटम एक्सट्रीमल सरफेस' (quantum extremal surface) सूत्र भविष्यवाणी करता है: ब्रह्मांड स्वाभाविक रूप से उस सतह को चुनता है जो 'सामान्यीकृत एंट्रॉपी' (generalized entropy) को न्यूनतम करती है, जो सतह के क्षेत्रफल और उसके भीतर के पदार्थ की एंट्रॉपी के बीच संतुलन बनाती है।

शोधकर्ताओं ने फिर अपने निष्कर्षों को तीन-आयामी गुरुत्वाकर्षण के भौतिकी से जोड़ा। उन्होंने प्रस्तावित किया कि उनका टेंसर नेटवर्क मॉडल, जब एक विशिष्ट गणितीय संरचना जिसे 'क्वांटम ग्रुप' कहा जाता है, के लेंस के माध्यम से देखा जाता है, तो वह गुरुत्वाकर्षण के एक संस्करण का वर्णन करता है जहाँ मेट्रिक (metric)—वह गणितीय वस्तु जो दूरियों को परिभाषित करती है—व्युत्क्रमणीय (invertible) और सुव्यवस्थित है। इस व्याख्या में, उनके एंट्रॉपी सूत्र में "क्षेत्रफल" पद सीधे एक 'जियोडेसिक' (geodesic) की लंबाई के अनुरूप होता है, जो एक वक्र स्थान में दो बिंदुओं के बीच का सबसे छोटा पथ है। उन्होंने दिखाया कि एक स्थिर, समय-सममित ब्रह्मांड के लिए, यह लंबाई प्रसिद्ध 'रयू-ताकायानागी' (Ryu-Takayanagi) सूत्र से मेल खाती है, जो एंट्रॉपी को समय के एक स्लाइस पर एक वक्र की लंबाई से जोड़ता है। लेकिन उनका मॉडल इससे आगे गया। उन्होंने इसे एक घूमते हुए ब्लैक होल पर लागू किया, एक ऐसा परिदृश्य जहाँ ब्रह्मांड स्थिर नहीं है और समय की समरूपता टूट गई है। इस मामले में, एंट्रॉपी को न्यूनतम करने वाली सतह समय के एक साधारण स्लाइस नहीं है, बल्कि एक अधिक जटिल सतह है जो स्पेसटाइम के माध्यम से विस्तृत होती है। उनके मॉडल ने सही ढंग से इस सतह की पहचान की और गणना की कि एंट्रॉपी क्षितिज (horizon) की लंबाई के समानुपाती है, जो ब्लैक होल भौतिकी के एक मौलिक परिणाम, 'बेकेनस्टीन-हॉकिंग एंट्रॉपी' (Bekenstein-Hawking entropy) से मेल खाती है।

महत्वपूर्ण रूप से, उन्होंने यह सब 'पाथ इंटीग्रल' (path integral) पद्धति का उपयोग किए बिना प्राप्त किया, जो सभी संभावित इतिहासों को जोड़ती है। इसके बजाय, उन्होंने एक 'कैनोनिकल अप्रोच' (canonical approach) का उपयोग किया, जो समय के एक स्लाइस पर एक एकल, अच्छी तरह से परिभाषित अवस्था से शुरू होता है और क्वांटम यांत्रिकी के नियमों का उपयोग करके इसे विकसित करता है। यह महत्वपूर्ण है क्योंकि यह दर्शाता है कि होलोग्राफिक सिद्धांत और क्वांटम एक्सट्रीमल सरफेस सूत्र केवल एक विशिष्ट गणितीय तकनीक के आर्टिफैक्ट (artifact) नहीं हैं, बल्कि वे गुरुत्वाकर्षण का वर्णन करने वाले क्वांटम अवस्थाओं के अंतर्निहित लक्षण हैं। उन्होंने प्रदर्शित किया कि एंट्रॉपी का न्यूनीकरण (minimization) क्वांटम सूचना के वितरण के तरीके का एक स्वाभाविक परिणाम है, जो स्थान को विभाजित करने के विभिन्न तरीकों के बीच प्रतिस्पर्धा से उभरता है।

शोध पत्र ने केवल सीमा (boundary) को छूने वाले नहीं, बल्कि 'बल्क' (bulk) में एक सघन क्षेत्र को परिभाषित करने के विचार का भी अन्वेषण किया। उन्होंने पाया कि 'मैटर लेग्स' (matter legs) का उपयोग मार्कर के रूप में करके, ब्रह्मांड के बीच में एक 'गेज-इनवेरिएंट' (gauge-invariant) क्षेत्र को परिभाषित किया जा सकता है। यदि इस क्षेत्र के बाहर का पदार्थ स्थिर है, तो एंट्रॉपी क्षेत्र के स्वयं के सीमा द्वारा निर्धारित होती है। यदि बाहरी पदार्थ यादृच्छिक है, तो एंट्रॉपी उन सभी संभावित क्षेत्रों के न्यूनतम मान द्वारा निर्धारित होती है जिनमें निश्चित पदार्थ शामिल है। यह होलोग्राफिक सिद्धांत के एक स्थानीय संस्करण का सुझाव देता है, जहाँ एक क्षेत्र की एंट्रॉपी उसके अपने आंतरिक ज्यामिति और उस जानकारी द्वारा निर्धारित होती है जो वह शेष ब्रह्मांड के साथ साझा करता है, बिना दूरस्थ सीमा को संदर्भित किए।

संक्षेप में, शोधकर्ताओं ने एक टेंसर नेटवर्क मॉडल का उपयोग करके क्वांटम एक्सट्रीमल सरफेस सूत्र का एक नया, कठोर व्युत्पन्न प्रदान किया है। पदार्थ को शामिल करके और यादृच्छिक अवस्थाओं पर औसत निकालकर, उन्होंने दिखाया कि कैसे ब्रह्मांड स्वाभाविक रूप से उस सतह को चुनता है जो एंट्रॉपी को न्यूनतम करती है, जिससे स्थिर और घूमते हुए दोनों प्रकार के ब्लैक होल के लिए परिणाम प्राप्त होते हैं। उनका कार्य होलोग्राफी के अमूर्त गणित और क्वांटम अवस्थाओं की ठोस भौतिकी के बीच के अंतर को पाटता है, जिससे यह स्पष्ट चित्र मिलता है कि स्थान, समय और सूचना कैसे गुरुत्वाकर्षण के ताने-बाने में एक दूसरे से गुंथे हुए हैं। उनके परिणाम बताते हैं कि होलोग्राफिक सिद्धांत क्वांटम ग्रेविटी की एक मजबूत विशेषता है, जो सिद्धांत की विशिष्ट गणितीय संरचना से स्वाभाविक रूप से उभरती है, जो इसे अन्वेषण के लिए उपयोग किए जाने वाले विशिष्ट गणितीय उपकरणों से स्वतंत्र बनाती है।