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Discrete-time Kuramoto model with phase lag: Linear stability analysis and onset of synchronization

यह शोधपत्र इनकोहोरेंट अवस्था (incoherent state) के लिए सटीक रैखिक स्थिरता स्थितियों को व्युत्पन्न करके, लोरेन्ट्ज़ियन आवृत्ति वितरणों के लिए सिंक्रोनाइज़ेशन थ्रेशोल्ड को विश्लेषणात्मक रूप से निर्धारित करके, और अनूठी गैर-रैखिक घटनाओं जैसे कि आवधिक और अराजक अवस्थाओं को प्रकट करके, फेज लैग वाले डिस्क्रीट-टाइम कुरामोटो मॉडल की जांच करता है जो इसे निरंतर-समय समकक्ष से अलग करती हैं।

मूल लेखक: Prashant M. Gade, Shamik Gupta

प्रकाशित 2026-09-22

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CC BY 4.0

मूल लेखक: Prashant M. Gade, Shamik Gupta

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प्राकृतिक दुनिया में, जुगनूओं की चमक से लेकर हृदय कोशिकाओं के धड़कने तक, स्वतंत्र इकाइयों के समूह अक्सर एक-दूसरे के साथ तालमेल बिठा लेते हैं। यह घटना, जिसे सिंक्रोनाइज़ेशन (तुल्यकालन) कहा जाता है, तब होती है जब कई व्यक्तिगत ऑसिलेटर (दोलक), जिनमें से प्रत्येक की अपनी स्वाभाविक लय होती है, अपने पड़ोसियों के प्रभाव में एक साथ चलने लगते हैं। वैज्ञानिक सामूहिक व्यवस्था कैसे अराजकता से उभरती है, इसे समझने के लिए लंबे समय से कुरामोतो मॉडल (Kuramoto model) नामक एक गणितीय ढांचे पर भरोसा करते आए हैं। यह मॉडल सिस्टम को समय के एक निरंतर प्रवाह के रूप में मानता है, जहाँ ऑसिलेटर अपनी गति को सुचारू रूप से और धीरे-धीरे समायोजित करते हैं। यह समझाने में अविश्वसनीय रूप से सफल रहा है कि न्यूरॉन्स या पावर ग्रिड जनरेटरों जैसी जुड़ी हुई इकाइयों की बड़ी आबादी कैसे स्वतः ही एक एकल, एकीकृत आवृत्ति में लॉक हो सकती है। हालाँकि, कई वास्तविक दुनिया के सिस्टम एक सुचारू, अटूट प्रवाह में काम नहीं करते हैं। इसके बजाय, वे अलग-अलग चरणों में कार्य करते हैं, जैसे कि एक डिजिटल घड़ी का टिक-टिक करना या कंप्यूटर द्वारा डिस्क्रीट (विविक्त) अंतराल में डेटा प्रोसेस करना। यह एक मौलिक प्रश्न खड़ा करता है: क्या सिंक्रोनाइज़ेशन का भौतिक विज्ञान बदल जाता है जब समय स्वयं निरंतर प्रवाह के बजाय अलग-अलग टुकड़ों में विभाजित होता है?

शोधकर्ता प्रशांत एम. गाडे और शामिक गुप्ता ने इस प्रसिद्ध मॉडल का एक ऐसा संस्करण बनाकर इसका उत्तर देने का प्रयास किया है जो डिस्क्रीट टाइम स्टेप्स (विविक्त समय चरणों) में संचालित होता है। ऑसिलेटरों को सुचारू रूप से बहते हुए देखने के बजाय, उन्होंने एक ऐसी प्रणाली की कल्पना की जहाँ प्रत्येक इकाई की स्थिति को एक विशिष्ट नियम के आधार पर, जो प्रत्येक क्षण में लागू होता है, एक साथ अपडेट किया जाता है। उन्होंने इस सेटअप में एक नया मोड़ पेश किया: एक फेज लैग (चरण अंतराल), जो एक ऑसिलेटर द्वारा समूह के प्रति प्रतिक्रिया करने में होने वाली देरी या हिचकिचाहट की तरह कार्य करता है। निरंतर दुनिया में, यदि यह विलंब बहुत अधिक हो जाता है, तो समूह बिखर जाता है और सिंक्रोनाइज़ेशन असंभव हो जाता है। टीम यह देखना चाहती थी कि क्या यह नियम तब भी सत्य रहता है जब सिस्टम प्रवाह के बजाय छलांगों (जंप) में चलता है। इस चरण-दर-चरण विकास के गणित का विश्लेषण करके, उन्होंने एक सटीक विवरण निकाला कि कैसे एक निश्चित चरण पर ऑसिलेटर पाए जाने की प्रायिकता समय के साथ बदलती है। इसने उन्हें ठीक से गणना करने की अनुमति दी कि समूह कब अपनी अराजक स्वतंत्रता खो देगा और एक साथ मिलकर चलना शुरू कर देगा।

परिणामों ने सुचारू दुनिया और चरणबद्ध दुनिया के बीच एक आश्चर्यजनक अंतर प्रकट किया। निरंतर मॉडल में, एक विशिष्ट प्रकार का विलंब, जहाँ प्रतिक्रिया चक्र के ठीक आधे हिस्से के बाहर (आउट ऑफ सिंक) होती है, समूह को कभी भी सिंक्रोनाइज़ न होने से पूरी तरह रोक देती है, चाहे सदस्य कितने भी मजबूती से जुड़े क्यों न हों। हालाँकि, गाडे और गुप्ता द्वारा अध्ययन किए गए डिस्क्रीट-टाइम संस्करण में, समूह इन कठिन परिस्थितियों में भी सिंक्रोनाइज़ हो सकता है। उन्होंने पाया कि सिंक्रोनाइज़ेशन की दहलीज (थ्रेशोल्ड)—वह बिंदु जहाँ समूह एक साथ लॉक होता है—विलंब के आकार पर इस तरह निर्भर करती है जो निरंतर मामले से मौलिक रूप से भिन्न है। उनकी गणनाओं ने दिखाया कि यहाँ तक कि जब ऑसिलेटरों के बीच का इंटरैक्शन रिपल्सिव (प्रतिकर्षी) हो, जो उन्हें जोड़ने के बजाय दूर धकेलता है, तब भी डिस्क्रीट सिस्टम संगठित होने का रास्ता खोज सकता है। यह सुझाव देता है कि समूह को थामे रखने वाला तंत्र इतना मजबूत है कि वह उन स्थितियों में भी जीवित रह सकता है जो एक सुचारू, निरंतर प्रवाह में उसे नष्ट कर देतीं।

समूह के पहली बार सिंक्रोनाइज़ होने के क्षण के परे, डिस्क्रीट सिस्टम उन तरीकों से व्यवहार करता है जो निरंतर मॉडल कभी नहीं करता। एक बार जब ऑसिलेटरों के बीच का कपलिंग (जुड़ाव) पर्याप्त मजबूत हो जाता है, तो सिस्टम केवल एक स्थिर, लॉक अवस्था में नहीं settles होता है। इसके बजाय, यह नॉनलीनियर मैप्स (अरेखीय मानचित्रों) की विशिष्ट जटिल व्यवहार प्रदर्शित करने लगता है। शोधकर्ताओं ने देखा कि समूह की सामूहिक लय दो अलग-अलग अवस्थाओं के बीच, फिर तीन के बीच, और अंततः अराजक (केओटिक) होने लगती है। अपने सिमुलेशन में, उन्होंने सिंक्रोनाइज़ेशन के माप को एक नियमित पैटर्न में ऊपर-नीचे होते देखा, जो व्यवस्था के विभिन्न स्तरों के माध्यम से चक्रित होता है और फिर अप्रत्याशित उतार-चढ़ाव में टूट जाता है। ये निष्कर्ष संकेत देते हैं कि डिस्क्रीट-टाइम संस्करण सामूहिक व्यवहार की एक समृद्ध विविधता का समर्थन करता है, जिसमें आवधिक लय और अराजकता शामिल है, जो मानक निरंतर-समय विवरण में वर्जित हैं।

इस अध्ययन ने ओट-एंटोनसेन्स एंटासेटस (Ott-Antonsen ansatz) नामक एक व्यापक रूप से उपयोग किए जाने वाले गणितीय शॉर्टकट को भी चुनौती दी। यह विधि वैज्ञानिकों को लाखों ऑसिलेटरों के जटिल व्यवहार को समीकरणों के एक बहुत छोटे, प्रबंधनीय सेट में सरल बनाने की अनुमति देती है, लेकिन यह इस बात पर निर्भर करती है कि सिस्टम कैसे विकसित होता है। शोधकर्ताओं ने पाया कि जबकि यह शॉर्टकट निरंतर मॉडल के लिए अच्छी तरह काम करता है, यह डिस्क्रीट संस्करण में विफल हो जाता है। वह गणितीय संरचना जो इस शॉर्टकट को वैध बनाती है, वह सुरक्षित नहीं रहती जब समय चरणों में चलता है। इसका अर्थ है कि सुचारू प्रवाह के लिए काम करने वाले सुंदर, लो-डायमेंशनल विवरण सीधे उन सिस्टमों पर लागू नहीं किए जा सकते जो डिस्क्रीट जंप में विकसित होते हैं। टीम ने दसियों हज़ार ऑसिलेटरों के साथ बड़े पैमाने पर कंप्यूटर सिमुलेशन चलाकर अपने सैद्धांतिक अनुमानों की पुष्टि की। ये सिमुलेशन सिंक्रोनाइज़ेशन के लिए उनके गणना किए गए थ्रेशोल्ड से मेल खाते थे और स्पष्ट रूप से उन जटिल, बहु-चरणीय लय और अराजक व्यवहारों को प्रदर्शित करते थे जिनका उनकी समीकरणों ने पूर्वानुमान लगाया था।

अंततः, यह कार्य यह प्रदर्शित करता है कि समय को कैसे मॉडल किया जाता है—चाहे वह एक निरंतर धारा के रूप में हो या डिस्क्रीट चरणों की एक श्रृंखला के रूप में—सिंक्रोनाइज़ेशन के भौतिक विज्ञान को मौलिक रूप से बदल देता है। डिस्क्रीट-टाइम मॉडल केवल निरंतर वाले का संख्यात्मक सन्निकटन (न्यूमेरिकल एप्रोक्सिमेशन) नहीं है; यह अपने स्वयं के नियमों और संभावनाओं वाला एक अलग डायनामिकल रिजीम (गतिकीय क्षेत्र) है। प्रतिकर्षक बलों के तहत सिंक्रोनाइज़ होने और जटिल आवधिक और अराजक अवस्थाओं को प्रदर्शित करने की क्षमता यह बताती है कि डिस्क्रीट-टाइम डायनामिक्स सामूहिक व्यवहार के लिए एक समृद्ध परिदृश्य प्रदान करते हैं। सिंक्रोनाइज़ेशन के लिए सटीक स्थितियों को स्थापित करके और मानक सरलीकरण मान्यताओं के टूटने को उजागर करके, शोधकर्ताओं ने यह समझने के लिए एक नया आधार प्रदान किया है कि कैसे व्यवस्था उन सिस्टमों में उभरती है जो चरणों में कार्य करते हैं, डिजिटल नेटवर्क से लेकर जैविक घड़ियों तक जो डिस्क्रीट अंतराल में टिक-टिक करती हैं।

तकनीकी सारांश: फेज लैग के साथ डिस्क्रीट-टाइम कुरामोतो मॉडल

समस्या विवरण
यह शोध पत्र डिस्क्रीट-टाइम (विच्छिन्न-समय) समकक्ष कुरामोतो मॉडल की जांच करता है, जो युग्मित दोलकों (coupled oscillators) की आबादी में स्वतः सिंक्रोनाइज़ेशन (स्वतः तालमेल) को समझने के लिए एक प्रतिमान ढांचा है। जबकि निरंतर-समय (continuous-time) संस्करण का व्यापक रूप से अध्ययन किया गया है, विशेष रूप से ओट-एंटोनियन (Ott–Antonsen - OA) एन्सैट के माध्यम से जो सटीक निम्न-आयामी न्यूनीकरण (low-dimensional reduction) की अनुमति देता है, डिस्क्रीट-टाइम स्वरूप का विश्लेषणात्मक अन्वेषण कम किया गया है। लेखक इस मौलिक प्रश्न को संबोधित करते हैं कि क्या समय का विच्छेदन (time discretization) स्वयं सिंक्रोनाइज़ेशन थ्रेशोल्ड और स्थिरता स्थितियों को संशोधित करता है। विशेष रूप से, वे एक नॉनलीन मैप के तहत विकसित होने वाले एक फेज लैग पैरामीटर ( $\beta$ ) वाले वैश्विक रूप से युग्मित फेज ऑसिलेटर्स के तंत्र का परीक्षण करते हैं, जिसका उद्देश्य सिंक्रोनाइज़ेशन की शुरुआत के लिए सटीक विश्लेणात्मक परिणाम प्राप्त करना और इस थ्रेशोल्ड के परे नॉनलीन डायनेमिक्स को लक्षणित करना है।

कार्यप्रणाली
यह अध्ययन लोरेन्ट्ज़ियन वितरण (Lorentzian distribution) से प्राप्त प्राकृतिक आवृत्तियों $\omega_i$ वाले $N$ वैश्विक रूप से युग्मित दोलकों के तंत्र पर केंद्रित है। गतिशीलता को निम्नलिखित नॉनलीन मैप द्वारा परिभाषित किया गया है:
$\theta_i^{(n+1)} = \theta_i^{(n)} + \omega_i + K r_n \sin(\psi_n - \theta_i^{(n)} - \beta) \pmod{2\pi}$
जहाँ $K$ कपलिंग स्थिरांक है, $\beta$ फेज लैग है, और $(r_n, \psi_n)$ कॉम्प्लेक्स ऑर्डर पैरामीटर का परिमाण और फेज है।

कंटीन्यूम लिमिट ( $N \to \infty$ ) में, लेखक तंत्र को एकल-दोलक प्रायिकता घनत्व (single-oscillator probability density) $f(\theta, \omega, n)$ का उपयोग करके वर्णित करते हैं। इस घनत्व का विकास नॉनलीन मैप से जुड़े फ्रोबियस-पेरॉन (Frobenius-Perron - FP) समीकरण द्वारा नियंत्रित होता है। कार्यप्रणाली इस प्रकार है:

रैखिक स्थिरता विश्लेषण (Linear Stability Analysis): लेखक इनकोहोरेंट स्टेट ( $r=0$ ) का रैखिक स्थिरता विश्लेषण करते हैं। वे घनत्व को फूरियर श्रृंखला में विस्तारित करते हैं और पहले फूरियर मोड, $\hat{f}_1(\omega, n)$ के लिए विकास समीकरण व्युत्पन्न करते हैं।
विश्लेणात्मक व्युत्पत्ति (Analytical Derivation): यह मानते हुए कि पहला फूरियर मोड लोअर-हाफ कॉम्प्लेक्स- $\omega$ प्लेन में एनालिटिक है, वे ऑर्डर पैरामीटर के लिए कोशी के अवशेष प्रमेय (Cauchy's residue theorem) को लागू करते हैं। यह समीकरणों के सिस्टम को बंद करने और ऑर्डर पैरामीटर $Z_n$ के लिए एक रैखिक मैप व्युत्पन्न करने की अनुमति देता है।
थ्रेशोल्ड गणना (Threshold Calculation): सिंक्रोनाइज़ेशन थ्रेशोल्ड को उस स्थिति को खोजने से निर्धारित किया जाता है जहाँ रैखिक मैप का फिक्स्ड पॉइंट अस्थिर ( $|\lambda|=1$ ) हो जाता है।
संख्यात्मक सत्यापन (Numerical Verification): विश्लेणात्मक थ्रेशोल्ड को सत्यापित करने और इस ट्रांज़िशन के परे नॉनलीन डायनेमिक्स (पीरियोडिक और केओटिक अवस्थाओं) का पता लगाने के लिए परिमित- $N$ सिस्टम के प्रत्यक्ष संख्यात्मक सिमुलेशन किए जाते हैं।
OA एन्सैट का सत्यापन (OA Ansatz Validation): लेखक दूसरे फूरियर मोड की तुलना पहले मोड के वर्ग से करके डिस्क्रीट-टाइम शासन में ओट-एंटोनियन (OA) एन्सैट की वैधता का संख्यात्मक परीक्षण करते हैं।

मुख्य योगदान और परिणाम

सटीक सिंक्रोनाइज़ेशन थ्रेशोल्ड: लेखक लोरेन्ट्ज़ियन फ्रीक्वेंसी डिस्ट्रीब्यूशन के लिए सिंक्रोनाइज़ेशन थ्रेशोल्ड $K_c$ के लिए एक सटीक विश्लेणात्मक अभिव्यक्ति व्युत्पन्न करते हैं:
$K_c = 2 \left( \sqrt{e^{2\gamma} - \sin^2 \beta} - \cos \beta \right)$
जहाँ $\gamma$ फ्रीक्वेंसी डिस्ट्रीब्यूशन का हाफ-विड्थ एट हाफ-मैक्सिमम (HWHM) है। यह परिणाम निरंतर-समय थ्रेशोल्ड ( $K_c = 2\Gamma/\cos\beta$ ) से मौलिक रूप से भिन्न है।
रिपल्सिव कपलिंग सिंक्रोनाइज़ेशन (Repulsive Coupling Synchronization): एक महत्वपूर्ण खोज यह है कि शुद्ध रिपल्सिव कपलिंग ( $\beta = \pi$ ) के लिए भी सिंक्रोनाइज़ेशन बना रहता है। निरंतर-समय कुरामोतो मॉडल में, $\beta \ge \pi/2$ के लिए सिंक्रोनाइज़ेशन असंभव है। हालाँकि, डिस्क्रीट-टाइम मैप $\beta = \pi$ के लिए सिंक्रोनाइज्ड स्टेट्स का समर्थन करता है, जिसके लिए अधिक कपलिंग स्ट्रेंथ की आवश्यकता होती है लेकिन यह सिंक्रोनाइज़ेशन को रोकता नहीं है।
नॉनलीन घटनाएँ (Nonlinear Phenomena): सिंक्रोनाइज़ेशन थ्रेशोल्ड के परे, डिस्क्रीट-टाइम डायनेमिक्स समृद्ध नॉनलीन व्यवहार प्रदर्शित करता है जो मानक निरंतर-समय मॉडल में मौजूद नहीं है। संख्यात्मक सिमुलेशन दर्शाते हैं:
- पीरियोडिक ऑर्बिट्स (Periodic Orets): मैक्रोस्कोपिक ऑर्डर पैरामीटर में पीरियड-टू और पीरियड-थ्री ऑर्बिट्स का उदय।
- केओस (Chaos): पर्याप्त बड़े कपलिंग स्ट्रेंथ के लिए, सिस्टम केओस के संकेत प्रदर्शित करता है, जहाँ रिटर्न मैप्स हॉर्सशू मैप्स के समान स्ट्रेच्ड और फोल्डेड संरचनाएं दिखाते हैं।
ओट-एंटोनियन (OA) एन्सैट का टूटना: अध्ययन यह प्रदर्शित करता है कि मानक OA एन्सैट, जो यह मानता है कि सभी फूरियर मोड $\hat{f}_m = (\hat{f}_1)^m$ का पालन करते हैं, डिस्क्रीट-टाइम डायनेमिक्स में संरक्षित नहीं है। जबकि एन्सैट थ्रेशोल्ड के पास मान्य रहता है, सिंक्रोनाइज्ड शासन के भीतर गहरा जाने पर महत्वपूर्ण विचलन होते हैं। यह इंगित करता है कि डिस्क्रीट-टाइम सिस्टम को ऑर्डर पैरामीटर को नियंत्रित करने वाले एक सरल एक-आयामी मैनिफोल्ड में कम नहीं किया जा सकता है, जैसा कि इसके निरंतर-समय समकक्ष में होता है।

महत्व और दावे
शोध पत्र का दावा है कि निरंतर-समय विकास को डिस्क्रीट-टाइम नॉनलीन मैप से बदलने से सिंक्रोनाइज़ेशन का भौतिक विज्ञान मौलिक रूप से बदल जाता है। लेखक इस बात पर जोर देते हैं कि डिस्क्रीट-टाइम सिंक्रोनाइज़ेशन एक विशिष्ट डायनेमिकल शासन बनाता है जो निम्नलिखित द्वारा पहचाना जाता है:

विभिन्न स्थिरता स्थितियाँ (Different Stability Conditions): मैप्स के लिए स्थिरता मानदंड फ्लो (flows) से भिन्न होते हैं, जिससे एक संशोधित सिंक्रोनाइज़ेशन थ्रेशोल्ड और रिपल्सिव कपलिंग के तहत सिंक्रोनाइज़ेशन की संभावना मिलती है।
जटिल सामूहिक गतिशीलता (Complex Collective Dynamics): निरंतर-समय मॉडल के विपरीत, जो आमतौर पर एक फिक्स्ड पॉइंट पर स्थिर हो जाता है, डिस्क्रीट-टाइम मॉडल सामूहिक पीरियड-डबलिंग, पीरियड-थ्री और केओटिक अवस्थाओं का समर्थन करता है।
निम्न-आयामी न्यूनीकरण की सीमाएँ (Limitations of Low-Dimensional Reductions): डिस्क्रीट केस में OA एन्सैट का टूटना यह सुझाव देता है कि निरंतर-टाइम कुरामोतो सिस्टम के लिए मान्य सुविधाजनक निम्न-आयामी विवरण डिस्क्रीट-टाइम मैप्स पर सामान्यीकृत नहीं होते हैं।

यह कार्य डिस्क्रीट-टाइम सिंक्रोनाइज़ेशन के व्यवस्थित अध्ययन के लिए एक विश्लेणात्मक आधार प्रदान करता है और यह समझने के लिए एक बेंचमार्क के रूप में कार्य करता है कि समय का विच्छेदन (time discretization) युग्मित ऑसिलेटर सिस्टम में सामूहिक घटनाओं को कैसे प्रभावित करता है।

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