The Requirement of (at least) Complex Structure for Quantum Mechanics

ब्रह्मांड को समझने के हमारे तरीके के केंद्र में एक विचित्र गणितीय उपकरण निहित है: सम्मिश्र संख्या (complex number)। भौतिकी की मानक भाषा में, ये केवल अमूर्त जिज्ञासाएँ नहीं हैं, बल्कि वास्तविकता का ताना-बाना हैं, जिनका उपयोग यह वर्णन करने के लिए किया जाता है कि कण कैसे व्यवहार करते हैं, वे कैसे चलते हैं, और वे कैसे परस्पर क्रिया करते हैं। दशकों से, एक अनसुलझा प्रश्न भौतिकविदों को परेशान करता रहा है: क्या सम्मिश्र संख्याओं पर यह निर्भरता प्रकृति की एक मौलिक आवश्यकता है, या केवल एक सुविधाजनक शॉर्टकट है? क्या क्वांटम यांत्रिकी के संपूर्ण ढांचे को केवल साधारण, वास्तविक संख्याओं (real numbers) का उपयोग करके फिर से बनाया जा सकता है, जिसमें काल्पनिक भागों को हटाकर एक सरल, अधिक सहज आधार प्रकट किया जा सके? यह प्रश्न महत्वपूर्ण है क्योंकि यदि ब्रह्मांड को केवल वास्तविक संख्याओं के साथ वर्णित किया जा सकता है, तो यह सुझाव देगा कि क्वांटम सिद्धांत की अजीब, प्रति-सहज विशेषताएं हमारे गणितीय विकल्पों के कारण उत्पन्न हुई हैं, न कि भौतिक दुनिया के अंतर्निहित गुणों के रूप में।

एम.पी. वॉन (M.P. Vaughan) द्वारा लिखित एक हालिया शोध पत्र इस स्थायी पहेली को हल करने के लिए वास्तविक संख्याओं का उपयोग करके क्वांटम यांत्रिकी के निर्माण के प्रयासों का परीक्षण करता है। लेखक का तर्क है कि ये तथाकथित "वास्तविक" सूत्रकरण भ्रामक हैं। हालांकि वे सतह पर केवल वास्तविक संख्याओं का उपयोग करते प्रतीत होते हैं, वे गुप्त रूप से उस सम्मिश्र संरचना को सुरक्षित रखते हैं जिसे वे त्यागने का दावा करते हैं। शोध पत्र प्रदर्शित करता है कि यदि आप एक ऐसा संस्करण बनाने का प्रयास करते हैं जहाँ ऊर्जा स्थिर रहते हुए समय के साथ क्वांटम यांत्रिकी विकसित होती है, तो आप इस सम्मिश्र संरचना की आवश्यकता से बच नहीं सकते। भले ही आप सब कुछ वास्तविक संख्याओं का उपयोग करके लिखें, जिन नियमों का आपको पालन करना होगा, वे उन संख्याओं को ठीक सम्मिश्र संख्याओं की तरह व्यवहार करने के लिए मजबूर करते हैं। अध्ययन इस निष्कर्ष पर पहुँचता है कि सम्मिश्र बीजगणित (complex algebra) केवल एक सहायक उपकरण नहीं है, बल्कि क्वांटम प्रणालियों में समय के विकास के लिए एक न्यूनतम आवश्यकता है, जिसका अर्थ है कि ब्रह्मांड, जैसा कि हम मॉडल करते हैं, मौलिक रूप से इस विशिष्ट गणितीय वास्तुकला पर निर्भर करता है।

यह समझने के लिए कि यह "केवल-वास्तविक" समूह के लिए समस्या क्यों है, पहले हमें यह देखना होगा कि सम्मिश्र संख्याओं को आमतौर पर कैसे संभाला जाता है। एक सम्मिश्र संख्या अनिवार्य रूप से दो वास्तविक संख्याओं का एक जोड़ा है जो मिलकर काम करती हैं, जिसे अक्सर एक द्वि-आयामी तल (two-dimensional plane) पर एक बिंदु के रूप में देखा जाता है। मानक क्वांटम यांत्रिकी में, इन संख्याओं का उपयोग प्रायिकता (probability) की गणना करने और एक कण की अवस्था का वर्णन करने के लिए किया जाता है। कुछ शोधकर्ताओं ने इन सम्मिश्र संख्याओं को वास्तविक संख्याओं के जोड़ों से बदलने का प्रयास किया है, जिन्हें ग्रिड या मैट्रिसेस (matrices) में व्यवस्थित किया गया है। कागज पर, यह एक सफल अनुवाद जैसा दिखता है: काल्पनिक इकाई, जिसे अक्सर "i" कहा जाता है, को वास्तविक संख्याओं की एक विशिष्ट व्यवस्था द्वारा बदल दिया जाता है। हालाँकि, वॉन बताते हैं कि यह एक छलावा है। जब आप इन वास्तविक-संख्या ग्रिडों के साथ गणना करते हैं, तो जिन नियमों का आपको पालन करना होता है, वे जटिल संख्याओं के नियमों के समान होते हैं। सम्मिश्र अंकगणित अभी भी वहीं है, जो वास्तविक-संख्या संरचना के भीतर छिपा हुआ है, बिल्कुल एक गुप्त कोड की तरह जो केवल तब अपना वास्तविक स्वरूप प्रकट करता है जब आप सिस्टम को समय के साथ बदलने की कोशिश करते हैं।

वॉन के तर्क का मूल भौतिकी के दो मौलिक स्तंभों पर आधारित है: ऊर्जा का संरक्षण और यह आवश्यकता कि जैसे-जैसे कोई प्रणाली विकसित होती है, उसकी कुल प्रायिकता स्थिर रहनी चाहिए। किसी भी भौतिक सिद्धांत में, यदि आप यह वर्णन करना चाहते हैं कि एक प्रणाली एक क्षण से दूसरे क्षण में कैसे बदलती है, तो आपको एक गणितीय ऑपरेटर की आवश्यकता होती है जो उस परिवर्तन को संचालित करे। वास्तविक-संख्या वाले क्वांटम यांत्रिकी में, यह ऑपरेटर "असममित" (antisymmetric) होना चाहिए, जो कि एक विशिष्ट प्रकार की गणितीय व्यवस्था है जहाँ संख्याएँ विकर्ण (diagonal) के पार अपने चिह्न बदल देती हैं। जब लेखक इस सख्त नियम को लागू करते हैं कि ऊर्जा संरक्षित होनी चाहिए—अर्थात, एक बंद प्रणाली की कुल ऊर्जा समय के साथ नहीं बदलती है—तो एक आश्चर्यजनक बाधा उभरती है। गणित को भौतिकी के नियमों को तोड़े बिना काम करने के लिए, प्रणाली के ऊर्जा स्तरों को जोड़ों में आना चाहिए। प्रत्येक ऊर्जा अवस्था का एक जुड़वां होना चाहिए, एक डुप्लिकेट जिसका ऊर्जा मान बिल्कुल समान हो।

ऊर्जा स्तरों की यह युग्मित आवश्यकता प्रणाली की गणितीय संरचना को आकार में दोगुना करने के लिए मजबूर करती है। यदि आप एक ऐसी प्रणाली से शुरू करते हैं जिसमें निश्चित संख्या में अवस्थाएँ हैं, तो वास्तविक-संख्या संस्करण को इन जोड़ों को समायोजित करने के लिए दोगुने आयामों (dimensions) की आवश्यकता होगी। अधिक महत्वपूर्ण बात यह है कि ये युग्मित अवस्थाएँ जिस तरह से परस्पर क्रिया करती हैं, वह गणित में एक विशिष्ट पैटर्न बनाता है। लेखक दिखाते हैं कि यह पैटर्न गणितीय रूप से सम्मिश्र संख्याओं के व्यवहार के समान है। वास्तविक-संख्या ग्रिड जो प्रणाली के विकास का वर्णन करते हैं, वे अंततः ठीक उन्हीं सम्मिश्र संख्याओं की तरह व्यवहार करते हैं जिन्हें उन्होंने बदलने का दावा किया था। समीकरण का "काल्पनिक" भाग गायब नहीं हुआ है; इसे बस वास्तविक संख्याओं के एक ब्लॉक में पुनर्गठित किया गया है जो काल्पनिक इकाई के एक पूर्ण विकल्प के रूप में कार्य करता है। शोध पत्र का तर्क है कि यह कोई संयोग नहीं बल्कि एक आवश्यकता है। इस सम्मिश्र संरचना के बिना, प्रणाली ऊर्जा को स्थिर रखते हुए समय में विकसित नहीं हो सकती।

अध्ययन इस विचार को भी संबोधित करता है कि शायद और भी जटिल गणितीय प्रणालियाँ, जैसे कि क्वाटरनियन (quaternions - एक प्रकार की चार-आयामी संख्या प्रणाली) से जुड़ी प्रणालियाँ, एक रास्ता प्रदान कर सकती हैं। लेखक स्वीकार करते हैं कि ये अधिक जटिल संरचनाएँ भी समय के विकास की आवश्यकताओं को पूरा कर सकती हैं। हालाँकि, महत्वपूर्ण निष्कर्ष यह है कि आप सम्मिश्र संख्याओं से अधिक सरल नहीं जा सकते। आप सम्म lebih जटिल संरचनाओं को छोड़कर एक शुद्ध वास्तविक, सरल प्रणाली के साथ नहीं रह सकते। सम्मिश्र संरचना एक फर्श (floor) है, न्यूनतम आवश्यकता है। कोई भी सफल क्वांटम यांत्रिकी सिद्धांत, चाहे वह सम्मिश्र संख्याओं का उपयोग करे, क्वाटरनियन का, या किसी अन्य अति-जटिल इकाई का, उसे सम्मिश्र संख्याओं के व्यवहार की नकल करने वाले गणितीय ढांचे को शामिल करना ही होगा।

इस निष्कर्ष के वास्तविकता के बारे में हमारे दृष्टिकोण पर महत्वपूर्ण निहितार्थ हैं। यह सुझाव देता है कि ब्रह्मांड "वास्तविक" है या "सम्मिश्र", इस पर बहस काफी हद तक एक गलत द्वंद्व (false dichotomy) है। शोध पत्र का तर्क है कि शुद्ध वास्तविक संस्करण क्वांटम यांत्रिकी बनाने के प्रयास वास्तव में सम्मिश्र संख्याओं को हटा नहीं पाए हैं; उन्होंने केवल उन्हें एक अलग संकेतन (notation) के पीछे छिपा दिया है। सम्मिश्र बीजगणित अभी भी भारी काम कर रहा है। लेखक इस बात पर जोर देते हैं कि यह मानना कि इन सूत्रकरणों ने सम्मिश्र संख्याओं को समाप्त कर दिया है, भ्रामक है। यह शोधकर्ताओं को क्वांटम यांत्रिकी की मौलिक प्रकृति के बारे में गहरी अंतर्दृष्टि प्राप्त करने से रोकता है। यह सोचने के बजाय कि हमने सिद्धांत को सरल बना दिया है, हमें यह पहचानना चाहिए कि सम्मिश्र संख्याओं का गणित संभवतः इस तरह के काम आता है कि ब्रह्मांड के संचालन के लिए यह एक आवश्यक विशेषता है, भले ही हम वास्तविक मैट्रिसेस का उपयोग करके इसे प्रदर्शित करें।

शोध पत्र इन विचारों को कई भागों वाले तंत्रों, जैसे कि उलझे हुए कणों (entangled particles) पर लागू करने की चुनौतियों को भी छूता है। जब भौतिक विज्ञानी एक बड़े, संयुक्त तंत्र का वर्णन करने के लिए दो अलग-अलग वास्तविक-संख्या प्रणालियों को मिलाने का प्रयास करते हैं, तो वे कठिनाई का सामना करते हैं। यदि वे केवल वास्तविक-संख्या ग्रिडों को एक साथ गुणा करते हैं, तो वे एक ऐसा गणितीय स्थान बनाते हैं जो बहुत बड़ा है और इसमें वे संभावनाएँ भी शामिल हैं जो सम्मिश्र संस्करण में मौजूद नहीं हैं। इसे ठीक करने के लिए, उन्हें स्थान को प्रतिबंधित करने के लिए अतिरिक्त नियम लागू करने होते हैं, जो प्रभावी रूप से वास्तविक प्रणाली को फिर से सम्मिश्र प्रणाली की तरह व्यवहार करने के लिए मजबूर करता है। यह प्रतिबंध की प्रक्रिया अनिवार्य रूप से उस सम्मिश्र संरचना को फिर से डालने का एक तरीका है जिसे कथित तौर पर हटा दिया गया था। लेखक नोट करते हैं कि यह एक आवर्ती विषय है: वास्तविक-मान वाला क्वांटम सिद्धांत बनाने का कोई भी प्रयास जो सम्मिश्र सिद्धांत की भविष्यवाणियों से मेल खाता हो, अनिवार्य रूप से वास्तविक संख्याओं पर एक सम्मिश्र संरचना थोपने की मांग करता है।

अंत में, यह शोध पत्र इस धारणा के लिए एक सुधारात्मक कार्य के रूप में कार्य करता है कि सम्मिश्र संख्याएँ केवल एक सुविधाजनक कल्पना हैं। लेखक का तर्क है कि सम्मिश्र संरचना केवल एक वैकल्पिक गणितीय परत नहीं है, बल्कि क्वांटम प्रणालियों में समय के विकास का वर्णन करने के लिए एक मौलिक आवश्यकता है। वे "वास्तविक" सूत्रकरण जो इस आवश्यकता को दरकिनार करने का दावा करते हैं, वास्तव में केवल एक वास्तविक-संख्या मुखौटा पहने हुए सम्मिश्र रैखिक बीजगणित (complex linear algebra) हैं। काल्पनिक इकाई "i" केवल एक प्रतीक नहीं है; यह दो वास्तविक संख्याओं के बीच एक विशिष्ट बीजगणितीय संबंध का प्रतिनिधित्व करती है जो हमारे द्वारा देखे जाने वाले ब्रह्मांड के कार्य करने के लिए आवश्यक है। यह सोचना कि हम इस संबंध को त्याग सकते हैं, क्वांटम गतिकी की प्रकृति के बारे में एक महत्वपूर्ण अंतर्दृष्टि को खोना है। ब्रह्मांड को वास्तविक संख्याओं का उपयोग करके वर्णित किया जा सकता है, लेकिन केवल तभी जब उन संख्याओं को इस तरह व्यवस्थित किया जाए कि सम्मिश्र संरचना सुरक्षित रहे, जो यह सिद्ध करता है कि जटिलता सिद्धांत के ताने-बाने में है, न कि केवल हमारे प्रतीकों के चुनाव में।