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Nonthermal fixed point for massless scalar field theories

अगली-क्रम के बड़े- $N$ विस्तार (large- $N$ expansion) का उपयोग करते हुए, यह शोध पत्र साम्यावस्था से दूर (far from equilibrium) द्रव्यमान रहित स्केलर क्षेत्र सिद्धांतों (massless scalar field theories) के लिए सार्वभौमिक स्केलिंग घातांकों की गणना करता है, जो ऊर्जा परिवहन के लिए $\kappa = d+1$ और प्रभावी कण संख्या परिवहन के लिए $\kappa = d$ वाली पावर-लॉ पूंछों (power-law tails) के साथ विशिष्ट गैर-तापीय स्थिर बिंदुओं (nonthermal fixed points) को प्रकट करता है, जिससे यह स्थापित होता है कि रैखिक विक्षेपण (linear dispersions) वाले सापेक्षिक और गैर-सापेक्षिक सिद्धांत अलग-अलग सार्वभौमिक वर्गों (universality classes) से संबंधित हैं।

मूल लेखक: Viktoria Noel, Chuang Huang, Aleksandr N. Mikheev, Jürgen Berges

प्रकाशित 2026-09-23

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CC BY 4.0

मूल लेखक: Viktoria Noel, Chuang Huang, Aleksandr N. Mikheev, Jürgen Berges

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ब्रह्मांड के शांत कोनों में, एक तारे की सुखद गर्माहट या कॉफी के कप के ठंडा होने की स्थिर लय से दूर, पदार्थ ऐसे तरीकों से व्यवहार कर सकता है जो हमारी रोजमर्रा की सहज बुद्धि को चुनौती देते हुए प्रतीत होते हैं। जब किसी प्रणाली (सिस्टम) को संतुलन की अवस्था से बहुत दूर धकेला जाता है, तो वह केवल शांत नहीं होती; बल्कि वह अक्सर एक अराजक, विक्षोभपूर्ण चरण में प्रवेश कर जाती है जहाँ ऊर्जा और कण जटिल पैटर्न में प्रणाली के माध्यम से तेजी से बहते हैं। दशकों से, भौतिकविदों को पता है कि यदि वे पर्याप्त लंबा इंतजार करें, तो ये अराजक प्रणालियाँ अक्सर एक विशेष, पूर्वानुमेय अवस्था में स्थिर हो जाती हैं जिसे "फिक्स्ड पॉइंट" (नियत बिंदु) कहा जाता है। इस अवस्था में, प्रणाली यह भूल जाती है कि इसकी शुरुआत कैसे हुई थी और यह सार्वभौमिक नियमों का पालन करने लगती है, ठीक वैसे ही जैसे पहाड़ से नीचे बहता पानी अंततः एक पूर्वानुमेय नदी पैटर्न बनाता है, चाहे ऊपर उसने किन भी विशिष्ट पत्थरों से टकराया हो। इन नियमों को "स्केलिंग लॉज़" (पैमाने के नियम) के रूप में जाना जाता है, और वे यह वर्णन करते हैं कि समय के साथ प्रणाली के गुण कैसे बदलते हैं। इन नियमों को समझना ब्रह्मांड के जन्म से लेकर प्रयोगशालाओं में विलक्षण गैसों के व्यवहार तक सब कुछ समझाने के लिए महत्वपूर्ण है, फिर भी एक विशिष्ट प्रश्न अनुत्तरित रहा है: क्या नियम बदल जाते हैं यदि शामिल कण द्रव्यमान रहित (massless) हों और प्रकाश की गति से चलते हों, न कि भारी और धीरे चलने वाले?

हाइडेलबर्ग विश्वविद्यालय के शोधकर्ताओं की एक टीम ने, ट्यूबिंगन, कॉन्स्टेंस और मेन्ज़ के सहयोगियों के साथ मिलकर, एक मॉडल ब्रह्मांड में द्रव्यमान रहित कणों के व्यवहार की गणना करके इस प्रश्न का एक सैद्धांतिक उत्तर प्रदान किया है। उन्होंने एक ऐसी स्थिति पर ध्यान केंद्रित किया जहाँ कण आपस में परस्पर क्रिया करते हैं लेकिन उनका कोई द्रव्यमान नहीं होता, जिसका अर्थ है कि वे हमेशा एक निरंतर गति से चलते हैं, प्रकाश के समान। उन्होंने एक परिष्कृत गणितीय दृष्टिकोण का उपयोग किया जो 'लार्ज-N एक्सपेंशन' (large-N expansion) पर आधारित था, जिसमें अगली श्रेणी के क्रम (next-to-leading order) तक गणना की गई, ताकि वे उन अनुमानों पर निर्भर न रहें जो ऐसी चरम स्थितियों में अक्सर विफल हो जाते हैं। उनका लक्ष्य यह देखना था कि क्या ये द्रव्यमान रहित, तीव्र गति से चलने वाले कण उनके धीमे, भारी समकक्षों के समान ही सार्वभौमिक नियमों का पालन करेंगे, या क्या वे अपना स्वयं का अनूठा मार्ग बनाएंगे।

शोधकर्ताओं ने पाया कि दोनों प्रकार की प्रणालियाँ मौलिक रूप से भिन्न हैं। अतीत में, कई वैज्ञानिकों ने माना था कि द्रव्यमान रहित सापेक्षतावादी (relativistic) कण और द्रव्यमान युक्त गैर-सापेक्षतावादी (non-relativistic) कण अंततः एक ही तरह से व्यवहार करेंगे जब तक कि प्रणाली अपनी स्केलिंग अवस्था में स्थिर नहीं हो जाती। हालांकि, यह नया अध्ययन दर्शाता है कि यह धारणा गलत है। जब प्रणाली ऊर्जा के परिवहन द्वारा संचालित होती है, तो द्रव्यमान रहित कण एक विशिष्ट पैटर्न का पालन करते हैं जहाँ एक निश्चित गति पर कणों की संख्या एक सटीक तरीके से घटती है, जो धीमी प्रणालियों में देखे गए पैटर्न से अलग है। इसी तरह, जब प्रणाली कुल कणों के परिवहन द्वारा संचालित होती है, तो द्रव्यमान रहित कण फिर से एक अलग नियम का पालन करते हैं। शोधकर्ताओं ने गणना की कि तीन स्थानिक आयामों वाले ब्रह्मांड के लिए, वह गणितीय "एक्सपोनेंट" (घातांक) जो कणों की संख्या घटने का वर्णन करता है, वह ठीक तीन है जब कण संरक्षित होते हैं, और ऊर्जा संरक्षित होने पर ठीक चार है। ये संख्याएँ मनमानी नहीं हैं; वे एक द्रव्यमान रहित, सापेक्षतावादी प्रणाली के अद्वितीय फिंगरप्रिंट हैं।

यह निष्कर्ष महत्वपूर्ण है क्योंकि यह स्थापित करता है कि कणों के चलने की गति सामूहिक व्यवहार को नियंत्रित करने वाले नियमों को मौलिक रूप से बदल देती है। शोधकर्ताओं ने पाया कि द्रव्यमान रहित प्रणाली केवल एक सूक्ष्म द्रव्यमान वाली भारी प्रणाली की नकल नहीं करती है; बल्कि, यह अपनी अनूठी संरचना विकसित करती है। उन्होंने कणों के उतार-चढ़ाव (fluctuations) और उनके ऊर्जा खोने के बीच एक विशेष संबंध की भी पहचान की, जो यह संबंध बना रहता है भले ही प्रणाली संतुलन से बहुत दूर हो। यह संबंध एक छिपे हुए मार्गदर्शक की तरह कार्य करता है, यह सुनिश्चित करते हुए कि प्रणाली एक स्व-समान (self-similar) तरीके से विकसित हो, जिसका अर्थ है कि यदि आप समय के पैमाने को सही ढंग से समायोजित करें, तो पैटर्न ज़ूम-इन या ज़ूम-आउट करने पर भी समान दिखता है।

यह अध्ययन उन्नत विश्लेषणात्मक गणनाओं पर आधारित था जिन्होंने कणों के एक-दूसरे से टकराने (scatter) का वर्णन करने वाले जटिल समीकरणों को हल किया। इन गणनाओं ने खुलासा किया कि द्रव्यमान रहित कण उनके वितरण में एक "टेल" (पूंछ) बनाते हैं, जहाँ कुछ कण बहुत उच्च संवेग (momentum) ले जाते हैं, और यह टेल एक सख्त पावर-लॉ कर्व का अनुसरण करती है। शोधकर्ता यह निर्धारित करने में सक्षम रहे कि यह वक्र एक अस्थायी त्रुटि नहीं है बल्कि प्रणाली की एक स्थिर, सार्वभौमिक विशेषता है। उन्होंने दिखाया कि यह व्यवहार प्रारंभिक स्थितियों के विशिष्ट विवरणों की परवाह किए बिना बना रहता है, जिससे पुष्टि होती है कि प्रणाली ने वास्तव में एक 'नॉन-थर्मल फिक्स्ड पॉइंट' प्राप्त कर लिया है। इसका अर्थ यह है कि बिना किसी हीट बाथ (ऊष्मा कुंड) के चीजों को ठंडा किए, प्रणाली खुद को इन नए, विशिष्ट नियमों द्वारा शासित एक पूर्वानुमेय अवस्था में व्यवस्थित करती है।

इस कार्य के निहितार्थ शुद्ध सिद्धांत से परे हैं। बिग बैंग के तुरंत बाद का प्रारंभिक ब्रह्मांड, द्रव्यमान रहित कणों का एक गर्म, सघन सूप था जो सापेक्षतावादी गति पर परस्पर क्रिया कर रहे थे। यह समझना कि इन कणों ने कैसे व्यवहार किया और उन्होंने अपनी ऊर्जा को कैसे पुनर्वित्रित किया, कॉस्मोलॉजिस्ट के लिए आवश्यक है जो ब्रह्मांड के इतिहास का पुनर्निर्माण करने का प्रयास कर रहे हैं। इसी तरह, आधुनिक प्रयोगशालाएं विलक्षण अवस्थाओं को बना सकती हैं, जैसे कि अति-शीत क्वांटम गैसें, जिन्हें इन सापेक्षतावादी स्थितियों की नकल करने के लिए ट्यून किया जा सकता है। यह भविष्यवाणी करने की क्षमता कि ये प्रणालियाँ कैसे विकसित होंगी, और उन्हें अपने धीमे समकक्षों से कैसे अलग पहचानना है, प्रयोगकर्ताओं के लिए एक नया उपकरण प्रदान करती है। यह सुझाव देता है कि यदि हम प्रयोगशाला में एक द्रव्यमान रहित, सापेक्षतावादी प्रणाली बना सकते हैं, तो हम इन विशिष्ट स्केलिंग पैटर्न को देख पाएंगे, जो उस क्षेत्र में मौलिक भौतिकी के नियमों के परीक्षण का एक तरीका प्रदान करता है जो काफी हद तक अनछुआ रहा है।

द्रव्यमान रहित कणों के व्यवहार को द्रव्यमान युक्त कणों से अलग करके, यह शोध गैर-संतुलन भौतिकी (non-equilibrium physics) के क्षेत्र में एक लंबे समय से चली आ रही अस्पष्टता को स्पष्ट करता है। यह प्रदर्शित करता है कि कणों की प्रकृति—विशेष रूप से यह कि उनमें द्रव्यमान है या नहीं—प्रणाली के 'यूनिवर्सलिटी क्लास' (सार्वभौमिक वर्ग) को निर्धारित करती है। यह एक सूक्ष्म लेकिन गहरा अंतर है, जो यह समझने के समान है कि चिकनी चट्टान पर बहने वाली नदी और ऊबड़-खाबड़ चट्टानों से टकराकर बहने वाली नदी, भले ही दोनों बहता हुआ पानी हों, अलग-अलग नियमों का पालन करती हैं। शोधकर्ताओं ने इन नियमों का गणितीय ब्लूप्रिंट प्रदान किया है, यह दिखाते हुए कि ब्रह्मांड, अपने सबसे अराजक और संतुलन से दूर क्षणों में भी, एक सख्त और सुरुचिपूर्ण व्यवस्था का पालन करता है जो पदार्थ की प्रकृति पर निर्भर करता है।

तकनीकी सारांश: द्रव्यमान रहित स्केलर क्षेत्र सिद्धांतों के लिए नॉनथर्मल फिक्स्ड पॉइंट

समस्या विवरण
जबकि थर्मल फिक्स्ड पॉइंट्स और उनसे जुड़े सार्वभौमिकता वर्गों (universality classes) को संतुलन भौतिकी (equilibrium physics) के स्थापित स्तंभों के रूप में जाना जाता है, नॉन-इक्विलिब्रियम स्केलिंग डायनेमिक्स का व्यवस्थित वर्गीकरण एक खुला विषय बना हुआ है। आइसोलेटेड क्वांटम मेनी-बॉडी सिस्टम्स में नॉनथर्मल फिक्स्ड पॉइंट्स (NTFs) पर पिछले अध्ययन अक्सर यह सुझाव देते हैं कि रिलेटिविस्टिक और नॉन-रिलेटिविस्टिक स्केलर फील्ड थ्योरीज एक ही सार्वभौमिकता वर्ग में आती हैं, विशेष रूप से तब जब रिलेटिविस्टिक थ्योरीज क्वांटम-सांख्यिकीय सुधारों के कारण एक प्रभावी मास गैप विकसित करती हैं, जिससे देर-समय की गतिशीलता (late-time dynamics) प्रभावी रूप से नॉन-रिलेटिविस्टिक हो जाती है। हालांकि, यह स्पष्ट नहीं है कि क्या वास्तव में एक शुद्ध 'रिलेटिविस्टिक स्केलिंग रिजीम' मौजूद है जहाँ मास पैरामीटर को स्पष्ट रूप से द्रव्यमान रहित ( $m=0$ ) करने के लिए ट्यून किया जाता है, जैसा कि संतुलन में किसी सिस्टम को क्रिटिकल टेम्परेचर पर ट्यून करने के लिए किया जाता है। इसे संबोधित करने के लिए एक नॉन-पर्टर्बेटिव दृष्टिकोण की आवश्यकता है, क्योंकि पर्टर्बेटिव विस्तार (perturbative expansions) उन स्ट्रॉन्गली कोरिलेटेड परिदृश्यों में विफल हो जाते हैं जो दूर-से-इक्विलिब्रियम (far-from-equilibrium) घटनाओं की विशेषता हैं।

कार्यप्रणाली (Methodology)
लेखक $d=3$ स्थानिक आयामों में $O(N)$ समरूपता वाले द्रव्यमान रहित स्केलर फील्ड थ्योरीज का अध्ययन करने के लिए टू-पार्टिकल इरिड्यूसिबल (2PI) प्रभावी एक्शन फ्रेमवर्क को नेक्स्ट-टू-लीडिंग ऑर्डर (NLO) में लार्ज- $N$ एक्सपेंशन के साथ मिलाकर उपयोग करते हैं। यह एक नियंत्रित, नॉन-पर्टर्बेटिव विधि प्रदान करता है जो छोटे कपलिंग मापदंडों पर निर्भर नहीं है।

मुख्य कार्यप्रणाली संबंधी चरण शामिल हैं:

फॉर्मलिज्म: अध्ययन स्पेक्ट्रल फंक्शन ( $\tilde{\rho}$ ) और स्टैटिस्टिकल फंक्शन ( $F$ ) के लिए स्व-सुसंगत समीकरणों को व्युत्पन्न करने के लिए 2PI प्रभावी एक्शन का उपयोग करता है। सेल्फ-एनर्जीज को $1/N$ एक्सपेंशन में NLO तक निर्धारित किया गया है, जिसमें एक प्रभावी वर्टेक्स ( $v_{\text{eff}}$ ) के माध्यम से "चेन" डायग्राम शामिल हैं।
काइनेटिक एप्रोक्सिमेशन: स्केलिंग समाधानों की पहचान करने के लिए, लेखक ग्रेडिएंट एक्सपेंशन का उपयोग करते हैं, जिसमें समय के उच्च-क्रम डेरिवेटिव्स की उपेक्षा की जाती है। यह फील्ड-थियोरेटिक समीकरणों को एक प्रभावी काइनेटिक विवरण में बदलने की अनुमति देता है जिसमें एक कोलिजन इंटीग्रल $C[f]$ शामिल होता है।
स्केलिंग एंसेट्स (Scaling Ansatz): लेखक ऑक्यूपेशन नंबर डिस्ट्रीब्यूशन $f(t, p) = t^\alpha f_S(t^\beta p)$ के लिए सेल्फ-सिमिलर इवोल्यूशन मानकर चलते हैं, जहाँ $\alpha$ और $\beta$ सार्वभौमिक स्केलिंग एक्सपोनेंट्स हैं। वे दो अलग-अलग ट्रांसपोर्ट परिदृश्यों का विश्लेषण करते हैं: संरक्षित कण संख्या का परिवहन और ऊर्जा का परिवहन।
फिक्स्ड-पॉइंट विश्लेषण: स्केलिंग एंसेट्स को काइनेटिक समीकरण में प्रतिस्थापित करके, लेखक ऑक्यूपेशन नंबर डिस्ट्रीब्यूशन के लिए एक टाइम-इंडिपेंडेंट फिक्स्ड-पॉइंट समीकरण व्युत्पन्न करते हैं। वे स्केलिंग फंक्शन $f_S(p)$ के लिए कोलिजन इंटीग्रल और सेल्फ-एनर्जीज के एसिम्प्टोटिक व्यवहार का विश्लेषण करते हैं ताकि यूनिवर्सल पावर-लॉ टेल $f_S(p) \sim p^{-\kappa}$ निर्धारित की जा सके।

प्रमुख योगदान और परिणाम
इस कार्य का प्राथमिक योगदान द्रव्यमान रहित रिलेटिविस्टिक स्केलर फील्ड थ्योरीज के लिए सार्वभौमिक स्केलिंग एक्सपोनेंट्स और स्केलिंग फंक्शन्स का स्पष्ट निर्धारण है, जो यह स्थापित करता है कि वे नॉन-रिलेटिविस्टिक थ्योरीज से मौलिक रूप से भिन्न हैं।

सार्वभौमिक स्केलिंग एक्सपोनेंट्स: लेखक $d=3$ आयामों में पावर-लॉ टेल $f_S(p) \sim p^{-\kappa}$ के लिए स्केलिंग एक्सपोनेंट $\kappa$ निर्धारित करते हैं:
- पार्टिकल नंबर ट्रांसपोर्ट (प्रभावी कण संख्या के संरक्षण) के लिए, $\kappa = d = 3$ है।
- एनर्जी ट्रांसपोर्ट के लिए, $\kappa = d + 1 = 4$ है।
- दोनों मामलों में टेम्पोरल स्केलिंग एक्सपोनेंट $\beta = 1$ पाया गया है, जो कम विशिष्ट मोमेंटा की ओर एक सेल्फ-सिमिलर इवोल्यूशन को दर्शाता है।
यूनिवर्सलिटी क्लास का अंतर: परिणाम प्रदर्शित करते हैं कि द्रव्यमान रहित डिस्पर्शन ( $\omega = p$ ) वाली रिलेटिविस्टिक थ्योरीज, क्वाड्रेटिक डिस्पर्शन वाली नॉन-रिलेटिविस्टिक थ्योरीज के समान सार्वभौमिकता वर्ग में नहीं आती हैं। नॉन-रिलेटिविस्टिक थ्योरीज में, पार्टिकल ट्रांसपोर्ट आमतौर पर $\kappa = d+1$ के साथ $\beta = 1/2$ देता है। इसके विपरीत, द्रव्यमान रहित रिलेटिविस्टिक मामले में $\kappa = d$ के साथ $\beta = 1$ प्राप्त होता है। लेखक नोट करते हैं कि रिलेटिविस्टिक थ्योरीज केवल तभी नॉन-रिलेटिविस्टिक स्केलिंग की नकल करती हैं जब एक गैर-शून्य मास गैप $M > 0$ मौजूद हो और मोमेंटा पर्याप्त रूप से कम ( $p \lesssim M$ ) हों।
स्केलिंग फंक्शन्स और सेल्फ-एनर्जीज:
- अध्ययन सेल्फ-एनर्जीज ( $\Sigma_{\tilde{\rho}}$ और $\Sigma_F$ ) और प्रभावी वर्टेक्स $v_{\text{eff}}$ के स्पष्ट स्केलिंग रूपों को व्युत्पन्न करता है।
- प्रभावी वर्टेक्स एक सार्वभौमिक स्केलिंग व्यवहार प्रदर्शित करता है: यह इन्फ्रारेड रिजीम ( $p \gtrsim k_{\text{IR}}$ ) में $p^2$ के रूप में स्केल करता है और $p \to 0$ होने पर लॉगरिदमिक रूप से लुप्त हो जाता है।
- एक सामान्यीकृत फ्लक्चुएशन-डिसिपेशन-टाइप संबंध को रिसम्ड वन-लूप सेल्फ-एनर्जीज के एक एसिम्प्टोटिक गुण के रूप में पहचाना गया है, विशेष रूप से $p/k_{\text{IR}} \to \infty$ की सीमा में $\Pi_F(p, p) \approx f_S(p) \tilde{\rho}(p, p)$ । यह संबंध कोलिजन इंटीग्रल में लीडिंग-ऑर्डर टर्म्स के कैंसिलेशन को सुनिश्चित करता है, जिससे एक कांस्टेंट फ्लक्स सॉल्यूशन संभव होता है।
ट्रांसपोर्ट मैकेनिज्म: विश्लेषण पुष्टि करता है कि लीडिंग-ऑर्डर कोलिजन इंटीग्रल का (डिस्ट्रीब्यूशन फंक्शन के सापेक्ष) शून्य होना एक वास्तविक ट्रांसपोर्ट सॉल्यूशन के लिए आवश्यक शर्त है जो कांस्टेंट फ्लक्स प्रदान करता है। संरक्षित मात्राओं का वास्तविक परिवहन कोलिजन इंटीग्रल में सबलीडिंग स्ट्रक्चर द्वारा किया जाता है, जो इन नॉनथर्मल फिक्स्ड पॉइंट्स को स्टेशनरी इक्विलिब्रियम स्टेट्स से अलग करता है।

महत्व और दावे
यह शोध पत्र द्रव्यमान रहित डिस्पर्शन वाले विशुद्ध रूप से रिलेटिविस्टिक नॉनथर्मल स्केलिंग रिजीम के अस्तित्व को स्थापित करने का दावा करता है, एक ऐसा रिजीम जिसे सामान्य स्केलिंग धारणाओं द्वारा सुझाया गया था लेकिन जिसके पास स्पष्ट समाधान और डिस्ट्रीब्यूशन फंक्शन के रूप नहीं थे। लार्ज- $N$ एक्सपेंशन को NLO तक प्रदान करके, लेखक:

इस प्रश्न को हल करते हैं कि क्या द्रव्यमान रहित सीमा में रिलेटिविस्टिक और नॉन-रिलेटिविस्टिक थ्योरीज एक ही सार्वभौमिकता वर्ग साझा करती हैं, और निष्कर्ष निकालते हैं कि वे नहीं करती हैं।
हाई-एनर्जी फिजिक्स और क्वांटम मेनी-बॉडी सिस्टम्स (जिनमें लीनियर डिस्पर्शन होता है) में दूर-से-इक्विलिब्रियम घटनाओं को समझने के लिए एक ढांचा प्रदान करते हैं।
प्रारंभिक ब्रह्मांड कॉस्मोलॉजी (जैसे कि इन्फ्लेशन के बाद रीहीटिंग) और एक्सियन-लाइक मॉडल्स के लिए इन निष्कर्षों की प्रासंगिकता को रेखांकित करते हैं, जहाँ रिलेटिविस्टिक द्रव्यमान रहित फील्ड्स केंद्रीय भूमिका निभाते हैं।
अल्ट्राकोल्ड क्वांटम गैस्स का उपयोग करके संभावित प्रयोगात्मक कार्यान्वयन का सुझाव देते हैं, जो रिलेटिविस्टिक रिजीम्स के लिए लचीले टेस्टबेड के रूप में कार्य कर सकते हैं।

लेखक प्रयोगात्मक सत्यापन के संबंध में एक मध्यम स्वर बनाए रखते हैं, यह नोट करते हुए कि जबकि नॉन-रिलेटिविस्टिक रिजीम्स में नॉनथर्मल फिक्स्ड पॉइंट्स देखे गए हैं, द्रव्यमान रहित रिलेटिविस्टिक थ्योरीज के विशिष्ट नॉनथर्मल क्रिटिकल व्यवहार को प्रयोगों में खोजना एक भविष्य की चुनौती बनी हुई है। यह कार्य व्यवस्थित रूप से नॉनथर्मल स्केलिंग डायनेमिक्स के वर्गीकरण के रूप में एक सैद्धांतिक प्रगति के रूप में प्रस्तुत किया गया है।

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