Correlation measure for statistical systems

हमारे चारों ओर की अधिकांश दुनिया हिस्सों से बनी है। एक एकल परमाणु छोटे कणों का एक संग्रह है; पानी की एक बूंद अणुओं का एक झुंड है; एक चुंबक घूमते हुए परमाणुओं की एक जाली (lattice) है। भौतिकी में, इन्हें 'कंपोजिट सिस्टम' (composite systems) कहा जाता है। पूरे तंत्र का व्यवहार पूरी तरह से इस बात पर निर्भर करता है कि उसके हिस्से एक-दूसरे से कितनी मजबूती से जुड़े हैं। जब हिस्से स्वतंत्र रूप से कार्य करते हैं, तो तंत्र सरल होता है। लेकिन जब वे मजबूती से जुड़े होते हैं, सूचना साझा करते हैं और एक-दूसरे की स्थिति को प्रभावित करते हैं, तो तंत्र जटिल हो जाता है और अक्सर आश्चर्यजनक गुण प्रदर्शित करता है। दशकों तक, वैज्ञानिकों के पास इन संबंधों को वर्णित करने का एक गुणात्मक तरीका था। वे कह सकते थे कि एक संबंध "शॉर्ट-रेंज" (अल्प-दूरी) था यदि वह दूरी के साथ तेजी से कम हो जाता था, या "लॉन्ग-रेंज" (लंबी-दूरी) था यदि वह बना रहता था। हालाँकि, उनके पास यह मापने के लिए कोई एकल, सार्वभौमिक संख्या नहीं थी कि वह संबंध वास्तव में कितना मजबूत था। ऐसी संख्या के बिना, एक सुपरकंडक्टर में उलझे हुए संबंधों की तुलना एक अति-शीत गैस के बादल से करना, या यह ट्रैक करना कि समय के साथ इन संबंधों में कैसे बदलाव आता है, कठिन था।

यह वह कमी है जिसे भौतिक विज्ञानी वी.आई. युकालोव और ई.पी. युकालोवा का एक नया अध्ययन भरने का लक्ष्य रखता है। उन्होंने किसी भी सांख्यिकीय प्रणाली (statistical system) में, चाहे वह क्वांटम कणों से बनी हो या शास्त्रीय (classical) वस्तुओं से, और चाहे वह स्थिर अवस्था में हो या संतुलन से बाहर तेजी से बदल रही हो, संबंधों की मजबूती को मापने का एक नया तरीका प्रस्तावित किया है। वे इस नए माप को "कोरिलेशन इंडेक्स" (सहसंबंध सूचकांक) कहते हैं। इसे एंटैंगलमेंट (entanglement) और सहयोग के लिए एक सार्वभौमिक पैमाने के रूप में समझें। जिस तरह एक थर्मामीटर हवा या पानी को मापने के लिए तापमान का एक एकल अंक देता है, यह इंडेक्स सहसंबंध के स्तर के लिए एक एकल संख्या प्रदान करता है, जिससे वैज्ञानिक बहुत अलग-अलग प्रणालियों की तुलना एक ही पैमाने पर कर सकते हैं। शोधकर्ता दिखाते हैं कि यह उपकरण कणों के बीच रहस्यमय क्वांटम संबंधों से लेकर चुंबक में स्पिन के सामूहिक व्यवहार तक, सब कुछ के लिए काम करता है, और यह भी ट्रैक कर सकता है कि जैसे-जैसे एक प्रणाली समय के माध्यम से आगे बढ़ती है, ये संबंध कैसे बढ़ते या कम होते हैं।

इंडेक्स के पीछे का मूल विचार वास्तविकता और उसी प्रणाली के एक काल्पनिक "अनकोरिलेटेड" (गैर-सहसंबंधित) संस्करण के बीच तुलना है। कल्पना करें कि आप एक जटिल प्रणाली को लेते हैं और उसे उसके व्यक्तिगत टुकड़ों में तोड़ देते हैं, फिर उसे इस तरह से पुनर्गठित करते हैं कि प्रत्येक टुकड़ा पूरी तरह से स्वतंत्र रूप से कार्य करे, जैसे कि उसे दूसरों की कोई स्मृति ही न हो। शोधकर्ता वास्तविक, परस्पर क्रिया करने वाली प्रणाली के लिए एक गणितीय मान की गणना करते हैं और इसकी तुलना इस काल्पनिक, अनकोरिलेटेड संस्करण के मान से करते हैं। इन दोनों मानों के बीच का अंतर, जो एक विशिष्ट संख्या के रूप में व्यक्त किया जाता है, को ही कोरिलेशन इंडेक्स कहा जाता है। यदि वास्तविक प्रणाली अनकोरिलेटेड प्रणाली की तरह ही व्यवहार करती है, तो इंडेक्स शून्य होता है, जिसका अर्थ है कि मापने के लिए कोई संबंध नहीं है। यदि वास्तविक प्रणाली अत्यधिक परस्पर जुड़ी हुई है, तो इंडेक्स बढ़ता है, जो उस मजबूती का सटीक माप देता है। यह पद्धति शक्तिशाली है क्योंकि इसे विशिष्ट प्रकार की प्रणाली की परवाह नहीं है; यह क्वांटम अवस्थाओं (जहाँ कण एंटैंगल्ड होते हैं) और शास्त्रीय प्रणालियों (जहाँ परमाणु केवल बलों के माध्यम से एक-दूसरे को प्रभावित करते हैं) दोनों पर समान रूप से लागू होती है।

अपने सिद्धांत को सिद्ध करने के लिए, लेखकों ने इस इंडेक्स को कई वास्तविक परिदृश्यों पर लागू किया। सबसे पहले, उन्होंने बोसॉन (bosons) के तंत्रों को देखा, जो एक प्रकार के कण हैं जो बोस-आइंस्टीन कंडनसेट बनाने के लिए एक साथ जुड़ सकते हैं। यह पदार्थ की एक ऐसी अवस्था है जो परम शून्य तापमान के करीब होती है, जहाँ परमाणु अपनी व्यक्तिगत पहचान खो देते हैं और एक विशाल तरंग के रूप में कार्य करते हैं। इन प्रणालियों में, शोधकर्ताओं ने पाया कि कोरिलेशन इंडेक्स इस बात पर निर्भर करता है कि ट्रैप में कितने परमाणु हैं और वे आपस में कितनी मजबूती से क्रिया करते हैं। उन्होंने पाया कि जैसे-जैसे परमाणुओं की संख्या बढ़ती है, लॉन्ग-रेंज संबंध अधिक प्रभावी हो जाते हैं, लेकिन सहसंबंध का विशिष्ट माप वास्तव में थोड़ा कम हो जाता है क्योंकि प्रणाली अधिक समान (uniform) हो जाती है। इसके विपरीत, जब परमाणुओं के बीच की अंतःक्रिया (interaction) अधिक मजबूत होती है, तो कोरिलेशन इंडेक्स बढ़ता है, जो कणों के बीच एक कड़े बंधन को दर्शाता है। यह इन नाजुक परमाणु बादलों को चित्रित करने का एक नया तरीका प्रदान करता है, जिनका वर्तमान में दुनिया भर की प्रयोगशालाओं में अध्ययन किया जा रहा है।

शोधकर्ताओं ने अपने तरीके का परीक्षण सुपरकंडक्टिंग प्रणालियों पर भी किया, जो शून्य प्रतिरोध के साथ बिजली का संचालन करती हैं। इन सामग्रियों में, इलेक्ट्रॉन बिना घर्षण के जाली (lattice) के माध्यम से गुजरने के लिए जोड़े बनाते हैं। अध्ययन ने दिखाया कि जब कोई जोड़े मौजूद नहीं होते हैं, तो कोरिलेशन इंडेक्स बहुत कम होता है, अनिवार्य रूप से शून्य, जो एक सामान्य, गैर-सुपरकंडक्टिंग अवस्था को दर्शाता है। हालाँकि, एक बार जब सामग्री सुपरकंडक्टिंग हो जाती है और जोड़े बनने लगते हैं, तो इंडेक्स काफी बढ़ जाता है। यह मान जोड़े गए इलेक्ट्रॉनों की संख्या के साथ बढ़ता है, जो सुपरकंडक्टिविटी को संभव बनाने वाले विशिष्ट प्रकार के क्वांटम सहयोग का एक स्पष्ट, मात्रात्मक संकेत देता है। यह पुष्टि करता है कि इंडेक्स उस विशिष्ट प्रकार के क्वांटम सहयोग का पता लगा सकता है जो सुपरकंडक्टिविटी को संभव बनाता है, और इसे स्वतंत्र कणों की प्रणाली से अलग करता है।

स्थिर प्रणालियों से परे, यह शोध यह भी पता लगाता है कि संतुलन से बाहर की प्रणालियों में ये संबंध समय के साथ कैसे बदलते हैं। लेखकों ने एक चुंबकीय प्रणाली में स्पिन के व्यवहार का मॉडल तैयार किया जब वह एक अराजक, उच्च-ऊर्जा अवस्था से वापस एक स्थिर अवस्था में लौट रही थी। उन्होंने इंडेक्स को ट्रैक किया और पाया कि कनेक्शन की मजबूती एक अनुमानित तरीके से उतार-चढ़ाव करती है। एक विशिष्ट मामले में, इंडेक्स तब अपने शिखर पर पहुँचा जब स्पिन का औसत चुंबकीय अभिविन्यास (orientation) शून्य को पार कर गया, जो व्यवस्था के पुनः उभरने से पहले अधिकतम अव्यवस्था का क्षण था। दूसरे मामले में, जिसमें अलग प्रकार की अंतःक्रियाएं शामिल थीं, इंडेक्स उच्च स्तर से शुरू हुआ और जैसे-जैसे प्रणाली स्थिर हुई, लगातार घटता गया। ये परिणाम प्रदर्शित करते हैं कि कोरिलेशन इंडेक्स केवल एक स्थिर स्नैपशॉट नहीं है, बल्कि एक गतिशील उपकरण है जो किसी प्रणाली के आंतरिक संबंधों के जीवन चक्र को मैप कर सकता है।

इस कार्य का महत्व इसकी सार्वभौमिकता में निहित है। क्वांटम कनेक्शन को मापने के पिछले तरीके, जैसे कि एंटैंगलमेंट एंट्रॉपी (entanglement entropy), अक्सर केवल दो भागों वाली प्रणालियों तक सीमित थे। नया कोरिलेशन इंडेक्स कई भागों वाली प्रणालियों के लिए काम करता है, चाहे वे दो परमाणु हों या एक अरब। यह शास्त्रीय और क्वांटम सहसंबंधों को एक ही गणितीय ढांचे के साथ मानता है, यह स्वीकार करते हुए कि दोनों प्रकार के लिंक वास्तविक और मापने योग्य हैं। लेखक इस बात पर जोर देते हैं कि यह दृष्टिकोण सामान्य है और इसे किसी भी ऐसी प्रणाली पर लागू किया जा सकता है जहाँ भागों को एक सांख्यिकीय ऑपरेटर द्वारा वर्णित किया जा सकता है। वे सुझाव देते हैं कि इस उपकरण का उपयोग ऑप्टिकल बॉक्स में फंसे परमाणुओं के डेटा का विश्लेषण करने के लिए किया जा सकता है, जहाँ वैज्ञानिक अब कणों की संख्या और उनकी अंतःक्रिया की शक्ति को सटीक रूप से नियंत्रित कर सकते हैं। इन नियंत्रित प्रयोगों के लिए इंडेक्स की गणना करके, शोधकर्ता बेहतर ढंग से समझ सकते हैं कि अराजकता से व्यवस्था कैसे उभरती है और कैसे विभिन्न भौतिक गुण, जैसे कि कंप्रेसिबिलिटी (compressibility) या कोहेरेंस (coherence), आंतरिक कनेक्शनों की मजबूती से जुड़े होते हैं।

अध्ययन भविष्य की संभावनाओं की ओर भी संकेत करता है, जैसे कि भौतिकी के बाहर के क्षेत्रों, जैसे अर्थशास्त्र या शरीर विज्ञान (physiology) से प्राप्त टाइम-सीरीज डेटा पर इस विधि को लागू करना। विचार यह है कि डेटा के किसी भी अनुक्रम को एक 'स्टेट स्पेस' में पुनर्गठित किया जा सकता है जहाँ प्रणाली के "भाग" समय के विभिन्न क्षण होते हैं। इन क्षणों के बीच सहसंबंध को परिभाषित करके, वही इंडेक्स यह माप सकता है कि जटिल, विकसित होती प्रणालियों में अतीत का भविष्य से जुड़ाव कितना गहरा है। जबकि यह शोध पत्र सैद्धांतिक आधार और विशिष्ट भौतिक उदाहरणों पर केंद्रित है, इसका अंतर्निहित संदेश यह है कि अब एक एकल, सुदृढ़ संख्या है जो उन अदृश्य धागों को परिमाणित कर सकती है जो एक प्रणाली को एक साथ थामे रखते हैं। चाहे वे धागे क्वांटम एंटैंगलमेंट हों या शास्त्रीय बल, कोरिलेशन इंडेक्स उन्हें देखने, मापने और संपूर्ण सांख्यिकीय भौतिकी के परिदृश्य में उनकी तुलना करने का एक तरीका प्रदान करता है।