Delay-induced multistability in one-dimensional swarmalators with common intrinsic frequency

एक ऐसी दुनिया की कल्पना करें जहाँ नन्हे, स्वयं-चालित इकाइयाँ अंतरिक्ष में घूमती हैं और साथ ही साथ घड़ियों की तरह टिक-टिक करती हैं। भौतिकी में, इन्हें 'स्वार्मलेटर्स' (swarmalators) कहा जाता है। ये केवल बहने वाले कण नहीं हैं, न ही केवल समय के साथ तालमेल बिठाने वाले दोलन (oscillators) हैं; ये एक हाइब्रिड हैं। उनकी अंतरिक्ष में गति उनके आंतरिक लय के समन्वय को प्रभावित करती है, और इसके विपरीत, उनका समन्वय उनके चलने के तरीके को निर्धारित करता है। यह जुड़ाव एक फीडबैक लूप बनाता है जहाँ संयोजन और समयबद्धता एक-दूसरे को पोषित करते हैं, एक ऐसी घटना जो रोबोटिक झुंडों की सामूहिक गति से लेकर जैविक कोशिकाओं के व्यवहार तक, हर जगह देखी जाती है। वर्षों से, वैज्ञानिक इन प्रणालियों का अध्ययन करते रहे हैं ताकि यह समझ सकें कि अराजकता से व्यवस्था कैसे उत्पन्न होती है। इस प्रणाली का एक विशेष रूप से सरल संस्करण, जहाँ इकाइयाँ एक एकल वलय (ring) पर चलती हैं, पहले से ही तीन विशिष्ट, पूर्वानुमेय पैटर्न में स्थिर होने के लिए जाना जाता था: एक अराजक बहाव जहाँ हर कोई तालमेल से बाहर है, एक सिंक्रोनाइज़्ड (तुल्यकाली) अवस्था जहाँ हर कोई एक साथ चलता और टिक-टिक करता है, और एक "फेज वेव" (phase wave) जहाँ इकाइयाँ समन्वय की एक चलती हुई लहर बनाती हैं।

वास्तविक दुनिया के संकेत शायद ही कभी तुरंत यात्रा करते हैं। जब एक वलय के एक छोर पर स्थित इकाई दूसरे छोर की इकाई को संकेत भेजती है, तो वहाँ एक विलंब (delay) होता है, जो सूचना की सीमित गति के कारण होने वाला अंतराल है। पिछले अध्ययनों में यह देखा गया कि क्या होता है जब इन इकाइयों की अपनी कोई प्राकृतिक लय नहीं होती, या जब उनकी लय शून्य होती है। लेकिन क्या होगा यदि प्रत्येक इकाई की अपनी एक स्थिर, गैर-शून्य आंतरिक धड़कन हो? यही वह प्रश्न है जिसे रोमेल चिंडा डेजुजो, टिमोटियो कारलेटी और के. पी. ओ'कीफ ने अपने हालिया अध्ययन में उठाया है। उन्होंने पूछा कि एक साझा, निरंतर आंतरिक आवृत्ति (frequency) विलंबित स्वार्मलेटर्स के व्यवहार को कैसे बदलती है। उत्तर उम्मीद से कहीं अधिक जटिल और आश्चर्यजनक निकला। केवल मौजूदा पैटर्न को बदलने के बजाय, एक साझा लय और समय विलंब का संयोजन पूरी प्रणाली को पुनर्गठित कर देता है, जिससे नए स्थिरता क्षेत्र बनते हैं, और सबसे उल्लेखनीय रूप से, एक दुर्लभ अवस्था जहाँ तीन पूरी तरह से अलग व्यवहार एक ही समय में अस्तित्व में रह सकते हैं।

शोधकर्ताओं की खोज को समझने के लिए, सबसे पहले यह समझना आवश्यक है कि समय विलंब एक स्थिर लय के साथ कैसे परस्पर क्रिया करता है। बिना विलंब वाली प्रणाली में, यदि प्रत्येक इकाई एक ही गति से घूम रही है, तो आप बस अपना दृष्टिकोण एक घूमने वाले संदर्भ फ्रेम (rotating frame of reference) में बदल सकते हैं, जो प्रभावी रूप से उस गति को रद्द कर देता है और गणित को शून्य-आवृत्ति वाले मामले जैसा बना देता है। लेकिन समय विलंब इस युक्ति को विफल कर देता है। क्योंकि इकाइयाँ उस स्थिति के प्रति प्रतिक्रिया करती हैं जहाँ वे एक क्षण पहले थीं, विलंब एक 'फेज शिफ्ट' को संचित करता है जिसे मिटाया नहीं जा सकता। यह विलंब-प्रेरित अंतराल एक छिपी हुई शक्ति के रूप में कार्य करता है जो व्यवहार की संपूर्ण परिदृश्य को नया आकार देता है। शोधकर्ताओं ने इन इकाइयों के एक वलय का मॉडल तैयार किया, उनके स्थान और उनकी अवस्था (phase) दोनों को ट्रैक किया, और इकाइयों के बीच एक निश्चित समय अंतराल पेश किया। फिर उन्होंने हजारों कंप्यूटर सिमुलेशन चलाए, इकाइयों के बीच आकर्षण और प्रतिकर्षण (repulsion) की विभिन्न शक्तियों का परीक्षण किया, और समय विलंब की लंबाई को परिवर्तित किया।

परिणामों ने प्रणाली की स्थिरता के नाटकीय पुनर्गठन को प्रकट किया। विलंब की अनुपस्थिति में, "असिंक्रोनस" (asynchronous) अवस्था—जहाँ इकाइयाँ एक-दूसरे से दूर भटक जाती हैं और सारा समन्वय खो देती हैं—आमतौर पर तभी स्थिर होती है जब इकाइयाँ एक-दूसरे को प्रतिकर्षित करती हैं। एक साझा आवृत्ति और विलंब के साथ, यह अवस्था तब भी स्थिर हो जाती है जब इकाइयाँ एक-दूसरे के प्रति आकर्षित होती हैं, लेकिन केवल समय विलंब के विशिष्ट, संकीर्ण अंतराल के भीतर। ये अंतराल स्थिरता मानचित्र पर विशिष्ट लोब्स (lobes) के रूप में दिखाई देते हैं, ऐसे क्षेत्र जहाँ विलंब विरोधाभासी रूप से अराजकता को स्थिर करता है। इसी प्रकार, "सिंक्रोनाइज़्ड" अवस्था, जहाँ सब कुछ एक साथ लॉक हो जाता है, एक रूपांतरण से गुजरती है। यह अब एक स्थिर, लॉक शाखा नहीं रह जाती। इसके बजाय, यह एक घूमती हुई शाखा बन जाती है जो तब भी स्थिर रह सकती है जब इकाइयों के बीच के भौतिक बल प्रतिकर्षी हों। विलंब एक फेज को संचित करता है जो प्रभावी रूप से प्रतिकर्षण को आकर्षण में बदल देता है, जिससे झुंड विषम परिस्थितियों के बावजूद तालमेल बिठाने में सक्षम होता है।

सबसे जटिल परिवर्तन संभवतः "फेज वेव" अवस्था में हुआ। शून्य-आवृत्ति वाले मामले में, यह अवस्था एक सरल, समान शाखा होती है। साझा आवृत्ति और विलंब के साथ, यह स्थिरता की एक श्रृंखला बैंड में टूट जाती है। ये बैंड विलंब और कपलिंग स्ट्रेंथ (coupling strength) के विशिष्ट संयोजनों पर दिखाई देते हैं, जो स्थिरता के एक जटिल, धारीदार पैटर्न का निर्माण करते हैं जो पिछले मॉडलों में अनुपस्थित था। शोधकर्ताओं ने पाया कि इन नए स्थिरता क्षेत्रों के लिए—असिंक्रोनस, सिंक्रोनाइज़्ड और फेज वेव अवस्थाओं के लिए—ये केवल एक-दूसरे के बगल में मौजूद नहीं हैं; बल्कि ये आपस में ओवरलैप (overlap) होते हैं। पैरामीटर स्पेस के कुछ क्षेत्रों में, प्रणाली एक ही समय में तीनों रूपों में रैखिक रूप से स्थिर होती है। इसका अर्थ यह है कि पूरी तरह से इस बात पर निर्भर करते हुए कि प्रणाली की शुरुआत कैसे हुई—इसके प्रारंभिक इतिहास पर—यह तीन पूरी तरह से अलग परिणामों में से एक में स्थिर हो सकती है।

इस घटना का सबसे चौंकाने वाला उदाहरण कपलिंग बलों के बीच एक विशिष्ट संतुलन बिंदु के पास एक बहुत ही संकीर्ण विंडो में होता है। यहाँ, शोधकर्ताओं ने एक वास्तविक 'ट्रिस्टेबिलिटी' (tristability) पाई। यदि उन्होंने सिमुलेशन को असिंक्रोनस अवस्था जैसी एक हिस्ट्री के साथ शुरू किया, तो प्रणाली बेतरतीब ढंग से बिखर गई। यदि उन्होंने इसे सिंक्रोनाइज़्ड अवस्था जैसी हिस्ट्री के साथ शुरू किया, तो यह पूर्ण एकता में लॉक हो गई। यदि उन्होंने इसे फेज वेव जैसी हिस्ट्री के साथ शुरू किया, तो इसने एक चलती हुई लहर बनाई। तीनों परिणाम उन्हीं भौतिक मापदंडों के लिए स्थिर आकर्षण केंद्र (stable attractors) थे। यह बहु-स्थिरता (multistability) का एक ऐसा स्तर है जो बिना विलंब वाले मॉडलों में या उन मॉडलों में मौजूद नहीं है जहाँ इकाइयों की अपनी कोई आंतरिक आवृत्ति नहीं होती। यह सुझाव देता है कि साझा लय और सिग्नल अंतराल वाली प्रणालियों में, प्रणाली का पिछला इतिहास उसके भविष्य की स्थिति को स्थायी रूप से निर्धारित कर सकता है, जिससे वह तीन अलग-अलग वास्तविकताओं में से एक में लॉक हो सकती है।

इन स्थिर क्षेत्रों के बीच के अंतराल में, जहाँ कोई एक पैटर्न पक्ष में नहीं होता, प्रणाली केवल यादृच्छिकता (randomness) में नहीं गिरती। इसके बजाय, शोधकर्ताओं ने ऑर्डर पैरामीटर्स में निरंतर, नियमित दोलन (oscillations) देखे। प्रणाली एक स्थिर क्लस्टर या एक निश्चित पैटर्न में नहीं जमती; इसके बजाय, समन्वय की डिग्री और स्थानिक व्यवस्था लगातार चक्रित होती रहती है। ये दोलन अराजक या अप्रत्याशित नहीं थे; वे लयबद्ध थे, जिनमें उनके फ्रीक्वेंसी स्पेक्ट्रा में तीक्ष्ण शिखर (peaks) थे, जो एक प्रकार की मैक्रोस्कोपिक गतिशीलता का संकेत देते हैं जो न तो स्थिर है और न ही विक्षुब्ध (turbulent)। शोधकर्ताओं ने इन बिंदुओं पर व्यापक बेसिन सर्वेक्षणों के माध्यम से इस व्यवहार की पुष्टि की, सैकड़ों यादृच्छिक शुरुआती स्थितियों का परीक्षण किया, और पाया कि प्रत्येक एक ही इन निरंतर दोलनों की ओर ले गया।

यह कार्य इस बारे में हमारी समझ को मौलिक रूप से बदल देता है कि विलंब और आंतरिक आवृत्ति युग्मित प्रणालियों (coupled systems) के साथ कैसे परस्पर क्रिया करती है। यह प्रदर्शित करता है कि एक साझा लय, जब समय अंतराल के साथ जुड़ती है, तो वह केवल एक मामूली व्यवधान नहीं है, बल्कि एक शक्तिशाली संगठक है जो पदार्थ की नई अवस्थाएँ बनाता है। एक ट्रिस्टेबल बिंदु की खोज, जहाँ असंगतता (incoherence), पूर्ण तालमेल और एक फेज वेव सभी एक ही समूह के लिए स्थिर विकल्प के रूप में सह-अस्तित्व में रह सकते हैं, यह उजागर करती है कि सामूहिक व्यवहार को निर्धारित करने में इतिहास की कितनी गहरी भूमिका है। हालाँकि यह अध्ययन एक सरलीकृत एक-आयामी मॉडल के कंप्यूटर सिमुलेशन का उपयोग करके किया गया था, लेकिन इसके सिद्धांत जिन्हें यह उजागर करता है—विलंब-चयनित स्थिरता विंडो, प्रतिकर्षी बलों के माध्यम से तालमेल की बहाली, और वास्तविक ट्रिस्टेबिलिटी—जटिल प्रणालियों को समझने के लिए एक नया दृष्टिकोण प्रदान करते हैं जहाँ समय और गति अटूट रूप से जुड़े हुए हैं। निष्कर्ष बताते हैं कि वास्तविक दुनिया में, जैविक झुंडों से लेकर रोबोटिक समूहों तक, एक साझा आंतरिक घड़ी और संचार की सीमित गति का परस्पर प्रभाव एक ही समूह को, पूरी तरह से इस बात पर निर्भर करते हुए कि उसकी शुरुआत कैसे हुई, कई, परस्पर अनन्य (mutually exclusive) अवस्थाओं में अस्तित्व में रहने की अनुमति दे सकता है।