Notes on algebraic perspective on neural network conformal theories
यह शोध पत्र न्यूरल नेटवर्क कॉन्फॉर्मल सिद्धांतों के सहसंबंध गुणों (correlator properties) का विश्लेषण करके और सिद्धांत के अंतर्निहित ऑपरेटर बीजगणित (operator algebra) के निर्माण के लिए एक व्यवस्थित विधि प्रदान करके, उनके बीजगणितीय संरचना का अन्वेषण करता है।
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आधुनिक भौतिकी के विशाल परिदृश्य में, यह समझने का एक निरंतर प्रयास है कि कैसे ब्रह्मांड के अनगिनत सूक्ष्म घटकों के व्यवहार से मौलिक नियम उभरते हैं। इन नियमों का अध्ययन करने के लिए भौतिक विज्ञानी 'कन्फॉर्मल फील्ड थ्योरी' (conformal field theory) नामक एक ढांचे का उपयोग करते हैं, जो उन प्रणालियों का वर्णन करता है जो इस बात पर निर्भर नहीं करतीं कि आप उन्हें कितना ज़ूम इन या ज़ूम आउट करते हैं। ये सिद्धांत आमतौर पर एक "हिलबर्ट स्पेस" (Hilbert space) के विचार पर आधारित होते हैं, जो एक गणितीय मंच है जहाँ प्रणाली की प्रत्येक संभावित अवस्था का एक सकारात्मक, मापने योग्य आकार होता है, ठीक वैसे ही जैसे किसी भौतिक वस्तु का धनात्मक द्रव्यमान होता है। यह सकारात्मकता अत्यंत महत्वपूर्ण है क्योंकि यह सुनिश्चित करती है कि सिद्धांत वास्तविक दुनिया में तर्कसंगत बना रहे, जिससे संभावनाएँ नकारात्मक या निरर्थक होने से बच सकें। हालाँकि, प्रकृति कभी-कभी हमें ऐसे सिस्टम भी दिखाती है जो इन मानक नियमों को तोड़ देते हैं, जिससे "नॉन-यूनिटरी" (non-unitary) सिद्धांतों का जन्म होता है। दशकों तक, इन प्रणालियों का अध्ययन करना कठिन था क्योंकि मानक गणितीय उपकरण, जो सकारात्मक आकार की गारंटी पर निर्भर करते हैं, इनके बिना विफल हो जाते थे।
हाल ही में, इस अमूर्त भौतिक जगत और कृत्रिम बुद्धिमत्ता (AI) की व्यावहारिक दुनिया के बीच एक नया सेतु बनाया गया है। शोधकर्ताओं ने पाया है कि यदि आप सरल न्यूरल नेटवर्क—जो मानव मस्तिष्क से प्रेरित कंप्यूटर मॉडल हैं—के एक बहुत बड़े संग्रह को लेते हैं और उनके व्यवहार का औसत निकालते हैं, तो परिणामी पैटर्न इन विचित्र भौतिक सिद्धांतों के व्यवहार की नकल करते हैं। यह संबंध, जिसे 'न्यूरल नेटवर्क-फील्ड थ्योरी कॉरेस्पोंडेंस' कहा जाता है, यह सुझाव देता है कि न्यूरल नेटवर्क की आंतरिक सेटिंग्स के सांख्यिकीय गुण जटिल क्वांटम क्षेत्रों के समान ही गणितीय संरचनाएं उत्पन्न कर सकते हैं। यह भौतिकी के अध्ययन का एक नया, गैर-पारंपरिक तरीका प्रदान करता है, जो गति के सामान्य समीकरणों के बजाय नेटवर्क के मापदंडों (parameters) के सांख्यिकी पर निर्भर करता है।
एक टीम ने इस संबंध का बारीकी से अध्ययन किया है, विशेष रूप से इन न्यूरल नेटवर्क सिद्धांतों के एक वर्ग पर ध्यान केंद्रित किया है जो नॉन-यूनिटरी कन्फॉर्मल फील्ड थ्योरी उत्पन्न करते हैं। ये वे कठिन प्रणालियाँ हैं जहाँ सकारात्मकता के मानक नियम विफल हो जाते हैं, और सिद्धांत का सामान्य गणितीय मंच लुप्त हो जाता है। शोधकर्ता इन सिद्धांतों की अंतर्निहित संरचना को समझना चाहते थे: ये प्रणालियाँ विभिन्न भागों को एक-दूसरे से कैसे जोड़ती हैं, और क्या सकारात्मकता के मानक नियमों के टूटने के बावजूद एक सुसंगत गणितीय ढांचा बनाया जा सकता है। वे एक पहेली में विशेष रूप से रुचि रखते थे जो पिछले कार्यों में उभरी थी: जबकि सिद्धांत ने कणों के परस्पर क्रिया करने के पैटर्न को सुसंगत रूप से प्रस्तुत किया, ऐसा प्रतीत हुआ कि इसमें समान या "डिजेनरेट" (degenerate) अवस्थाओं की एक अनंत संख्या शामिल है जिन्हें पहचानना कठिन था। यह स्पष्ट नहीं था कि यह मॉडल की कोई खामी है या भौतिकी की एक वास्तविक विशेषता।
इसे हल करने के लिए, टीम ने गणितीय "ग्राम मैट्रिक्स" (Gram matrix) का परीक्षण किया, जो एक उपकरण है जो यह मापता है कि प्रणाली के विभिन्न भाग एक-दूसरे के साथ कितनी ओवरलैप करते हैं। एक मानक सिद्धांत में, इस मैट्रिक्स को 'पॉजिटिव डेफिनिट' (positive definite) होना चाहिए, जिसका अर्थ है कि यह हमेशा सकारात्मक संख्याएँ देता है, जो यह गारंटी देता है कि अवस्थाएँ विशिष्ट और सुव्यवस्थित हैं। शोधकर्ताओं ने पाया कि उनके न्यूरल नेटवर्क सिद्धांतों के लिए, जब इसे न्यूरल नेटवर्क के मापदंडों के संदर्भ में मापा जाता है, तो यह वास्तव में पॉजिटिव डेफिनिट है। इसका अर्थ है कि न्यूरल नेटवर्क के संदर्भ में, प्रत्येक ऑपरेटर विशिष्ट और सुपरिभाषित है। हालाँकि, जब उन्होंने अंतरिक्ष और समय (space and time) के दृष्टिकोण से सिद्धांत को देखा, तो सकारात्मकता लुप्त हो गई। मापदंड स्थान (parameter space) में जो अवस्थाएँ विशिष्ट थीं, वे स्पेस-टाइम विवरण में मिश्रित और नकारात्मक हो गईं, जिससे पुष्टि हुई कि ये वास्तव में नॉन-यूनिटरी सिद्धांत हैं जिन्हें मानक हिलबर्ट स्पेस द्वारा वर्णित नहीं किया जा सकता है।
टीम ने इन सिद्धांतों का वर्णन करने के लिए एक नया बीजगणितीय ढांचा (algebraic framework) तैयार किया। मानक हिलबर्ट स्पेस पर निर्भर रहने के बजाय, जिसमें सभी अवस्थाओं के लिए सकारात्मक आकार की आवश्यकता होती है, उन्होंने "क्रेन स्पेस" (Krein space) पर आधारित एक संरचना बनाई। यह एक अधिक लचीला गणितीय मंच है जो सकारात्मक और नकारात्मक दोनों प्रकार के आकारों की अनुमति देता है, बशर्ते वे एक विशिष्ट तरीके से संतुलित हों। उन्होंने दिखाया कि मानक क्वांटम सिद्धांत के बिना भी, अंतरिक्ष और समय के विभिन्न बिंदुओं के बीच सहसंबंध (correlations) कन्फॉर्मल फील्ड थ्योरी के समरूपता (symmetries) का पालन करते हैं। उन्होंने प्रदर्शित किया कि पहले के अध्ययनों में पाई गई डिजेनरेट ऑपरेटरों की अनंत श्रृंखला संभवतः कोई कृत्रिम त्रुटि नहीं बल्कि एक स्वाभाविक परिणाम है कि न्यूरल नेटवर्क पैरामीटर कैसे औसत निकलते हैं, जिसे संख्यात्मक रुझानों द्वारा समर्थित किया गया है और अनंत सीमा (infinite limit) के लिए अनुमानित किया गया है। शोधकर्ताओं ने दिखाया कि ये ऑपरेटर एक-दूसरे से सटीक रूप से संबंधित हैं, जो एक सुसंगत बीजगणितीय संरचना बनाते हैं जिसे कन्फॉर्मल समूह की समरूपता का उपयोग करके वर्णित किया जा सकता है, हालांकि उन्होंने यह भी नोट किया कि इस संरचना की पूर्ण 'क्रेन पॉज़िटिविटी' को सिद्ध करना एक धारणा है न कि एक व्युत्पन्न तथ्य।
सबसे महत्वपूर्ण निष्कर्षों में से एक "मिश्रित" (mixed) अंतःक्रियाओं के संबंध में एक पहेली का समाधान था। पिछले अध्ययनों में, यह स्पष्ट नहीं था कि डिजेनरेट ऑपरेटरों के बीच विभिन्न प्रकार के ऑपरेटरों के बीच की अंतःक्रिया की गणना कैसे की जाए। टीम ने दिखाया कि केवल ऑपरेटरों को आपस में गुणा करने की मानक विधि यहाँ काम नहीं करती है। इसके बजाय, इन अंतःक्रियाओं को समझने का सही तरीका उन्हें "रूट" (root) ऑपरेटरों के विस्तार के रूप में देखना है, जहाँ विभिन्न अवस्थाओं के बीच के संबंध न्यूरल नेटवर्क मापदंडों के विशिष्ट सांख्यिकीय वितरण द्वारा मध्यस्थ होते हैं। उन्होंने पाया कि न्यूरल नेटवर्क मापदंडों के सांख्यिकीय क्षणों (statistical moments) पर प्रतिबंध, सिद्धांत की निरंतरता से गहराई से जुड़े हुए हैं। यदि मापदंडों के वितरण को सही ढंग से चुना जाता है, तो सिद्धांत सुसंगत रहता है, भले ही इसमें भौतिक हिलबर्ट स्पेस की मानक सकारात्मकता का अभाव हो।
शोधकर्ताओं ने "एल्जेब्रा ऑफ फील्ड्स" (algebra of fields) और "एल्जेब्रा ऑफ कोरिलेटर्स" (algebra of correlators) के बीच के अंतर को भी स्पष्ट किया। न्यूरल नेटवर्क निर्माण में, औसत निकालने से पहले के फील्ड स्वयं एक सरल गुणन नियम का पालन करते हैं। हालाँकि, भौतिक भविष्यवाणियों को प्राप्त करने के लिए एक बार औसत करने के बाद, परिणामी सहसंबंध एक बहुत समृद्ध और जटिल संरचना प्रकट करते हैं। यह संरचना कन्फॉर्मल समरूपता और न्यूरल नेटवर्क मापदंडों के विशिष्ट वितरण द्वारा परिभाषित होती है। टीम ने दिखाया कि यह बीजगणितीय संरचना मजबूत है और इसे मानक हिलबर्ट स्पेस के अस्तित्व की धारणा के बिना भी परिभाषित किया जा सकता है। इसके बजाय, उन्होंने सहसंबंध कार्यों (correlation functions) से सीधे एल्जेब्रा को परिभाषित करने के लिए 'स्टेट-ऑपरेटर कॉरेस्पोंडेंस' (state-operator correspondence) का उपयोग किया, जो कन्फॉर्मल फील्ड थ्योरी का एक मौलिक सिद्धांत है।
अपने निष्कर्ष में, लेखकों ने इस बात पर जोर दिया कि हालांकि ये सिद्धांत मानक यूनिटरी क्वांटम फील्ड थ्योरी के ढांचे में फिट नहीं होते हैं, फिर भी वे गणितीय रूप से त्रुटिपूर्ण नहीं हैं। वे वैध बीजगणितीय संरचनाओं के रूप में मौजूद हैं जिनका अध्ययन और समझा जा सकता है। यह कार्य इन सिद्धांतों के एल्जेब्रा को सीधे उनके सहसंबंध कार्यों से बनाने की विधि प्रदान करता है, जिससे पारंपरिक हिलबर्ट स्पेस की आवश्यकता समाप्त हो जाती है। यह उन व्यापक भौतिक प्रणालियों के अध्ययन का मार्ग खोलता है जिन्हें पहले संभालने के लिए बहुत कठिन माना जाता था। शोधकर्ताओं ने उल्लेख किया कि हालांकि उन्होंने इस बीजगणितीय संरचना के अस्तित्व को स्थापित किया है, लेकिन स्थानीय, स्पेस-टाइम संदर्भ में इन प्रणालियों के व्यवहार के पूर्ण विवरण अभी भी खोजे जा रहे हैं। उन्होंने सुझाव दिया कि 'लार्ज-N लिमिट' (large-N limit), जहाँ न्यूरल नेटवर्क की संख्या बहुत बड़ी हो जाती है, इन विचारों का आगे परीक्षण करने के लिए एक स्वच्छ परिवेश प्रदान करती है।
अंततः, यह कार्य प्रदर्शित करता है कि भौतिकी की मानक सीमाओं से बाहर स्थित जटिल भौतिक सिद्धांतों का निर्माण और विश्लेषण करने के लिए आर्टिफिशियल इंटेलिजेंस के उपकरणों का उपयोग किया जा सकता है। न्यूरल नेटवर्क मापदंडों को मौलिक सामग्री के रूप में मानकर, शोधकर्ता नॉन-यूनिटरी कन्फॉर्मल फील्ड थ्योरी का एक सुसंगत गणितीय विवरण बनाने में सक्षम रहे। उन्होंने दिखाया कि स्पष्ट डिजेनेरेसी और सकारात्मकता का अभाव कोई त्रुटि नहीं बल्कि एक नए प्रकार के भौतिक सिद्धांत की विशेषता है जिसे क्रेन स्पेस का उपयोग करके वर्णित किया जा सकता है। यह निष्कर्ष बताता है कि संभावित भौतिक सिद्धांतों का परिदृश्य पहले की तुलना में कहीं अधिक विस्तृत है, और मशीन लर्निंग तथा सैद्धांतिक भौतिकी का मिलन प्रकृति के मौलिक नियमों की खोज करने का एक शक्तिशाली नया तरीका प्रदान करता है। अध्ययन इस बात की पुष्टि करता है कि मानक सकारात्मकता की अनुपस्थिति में भी, न्यूरल नेटवर्क के सांख्यिकी से एक सुसंगत और संरचित सिद्धांत उभर सकता है, जो यह नया दृष्टिकोण प्रदान करता है कि भौतिक नियम जटिल प्रणालियों में कैसे एनकोडेड हो सकते हैं।
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