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An exponential separation between entanglement-assisted and unassisted one-way quantum communication

यह शोध पत्र क्वांटम संचार जटिलता (quantum communication complexity) में एक लंबे समय से खुले प्रश्न को हल करता है, यह प्रदर्शित करते हुए कि कुल बूलियन फलनों (total Boolean functions) के लिए एक घातांकीय पृथक्करण (exponential separation) मौजूद है, जो यह दर्शाता है कि एक विशिष्ट उपसमूह सदस्यता समस्या (subgroup membership problem) को पूर्व एंटैंगलमेंट (prior entanglement) का उपयोग करके $O(\log n)$ क्लासिकल बिट्स के साथ हल किया जा सकता है, लेकिन इसके बिना $\Omega(n^{1/3})$ क्यूबिट्स की आवश्यकता होती है।

मूल लेखक: Ryan Anselm, Srijita Kundu, Olivier Lalonde, Ashwin Nayak

प्रकाशित 2026-10-02

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CC BY 4.0

मूल लेखक: Ryan Anselm, Srijita Kundu, Olivier Lalonde, Ashwin Nayak

मूल पेपर CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) के तहत लाइसेंस किया गया है। ✨ नीचे दिए गए पेपर की यह व्याख्या AI से तैयार की गई है। इसे लेखकों ने न तो लिखा है, न इसका समर्थन किया है। तकनीकी सटीकता के लिए मूल पेपर देखें। पूरा डिस्क्लेमर पढ़ें

सूचना की दुनिया में, एक मौलिक नियम है जिसने वैज्ञानिकों को लंबे समय से उलझा रखा है: एक रहस्यमय संबंध साझा करना, अपने आप में, दो लोगों को एक-दूसरे को संदेश भेजने की अनुमति नहीं देता है। यह सिद्धांत, जिसे नो-कम्युनिकेशन थ्योरम (no-communication theorem) के रूप में जाना जाता है, यह निर्धारित करता है कि यदि एलिस और बॉब के बीच एंटैंगलमेंट नामक एक विशेष क्वांटम लिंक साझा है, तो एलिस केवल अपने हिस्से पर कार्य करके तुरंत बॉब तक कोई विचार नहीं भेज सकती। यह संबंध मौन है। हालाँकि, यह नियम एक महत्वपूर्ण प्रश्न अनुत्तरित छोड़ देता है: यदि एलिस और बॉब बोलने की अनुमति रखते हैं, लेकिन उनके द्वारा बोला गया प्रत्येक शब्द कुछ खर्च करता है, तो वह यह मौला, पूर्व-मौजूद संबंध उन्हें कितना बचाने में मदद कर सकता है? दशकों से, शोधकर्ता इस बात पर विचार करते रहे हैं कि क्या यह छिपा हुआ संसाधन उन्हें संचार की एक छोटी सी फुसफुसाहट के साथ जटिल समस्याओं को हल करने की अनुमति दे सकता है, जबकि इसके बिना, उन्हें डेटा की एक विशाल मात्रा चिल्लाना पड़ता। यह प्रश्न कम्युनिकेशन कॉम्प्लेक्सिटी (communication complexity) नामक एक क्षेत्र के केंद्र में स्थित है, जो इस बात का अध्ययन करता है कि जब सूचना दो दूर स्थित पक्षों के बीच विभाजित होती है, तो किसी कार्य को हल करने के लिए न्यूनतम प्रयास की आवश्यकता कितनी होती है।

शोधकर्ताओं की एक टीम ने अब इस प्रश्न का एक निर्णायक और आश्चर्यजनक उत्तर दिया है। उन्होंने प्रदर्शित किया है कि एक 'टोटल फंक्शन' (total function)—एक ऐसा कार्य जहाँ इनपुट के हर संभावित संयोजन के लिए एक उत्तर दिया जाना चाहिए—से संबंधित एक विशिष्ट प्रकार की समस्या के लिए, एंटैंगलमेंट एक घातीय (exponential) लाभ प्रदान कर सकता है। उनके परिदृश्य में, एलिस और बॉब यह निर्धारित करने की कोशिश कर रहे हैं कि क्या उनके अलग-अलग डेटा के बीच एक विशिष्ट गणितीय स्थिति सत्य है। जब उन्हें कार्य शुरू होने से पहले एंटैंगलमेंट साझा करने की अनुमति दी जाती है, तो वे एक ऐसा संदेश भेजकर समस्या को हल कर सकते हैं जो इनपुट के आकार के साथ केवल लघुगणकीय (logarithmically) रूप से बढ़ता है। व्यावहारिक रूप से, यदि इनपुट का आकार दोगुना हो जाता है, तो संदेश की लंबाई बहुत कम, लगभग नगण्य मात्रा में बढ़ती है। हालाँकि, यदि उन्हें इस साझा एंटैंगलमेंट से वंचित कर दिया जाए, भले ही उन्हें क्लासिकल संदेशों के बजाय क्वांटम संदेश भेजने की अनुमति दी जाए, तो उन्हें जितनी जानकारी का आदान-प्रदान करना होगा, वह बहुत तेजी से बढ़ता है, जो एक पावर लॉ (power law) का अनुसरण करता है जो बहुत बड़ा है। इन दोनों परिदृश्यों के बीच का अंतर केवल थोड़ा सा नहीं है; यह घातीय है, जिसका अर्थ है कि जैसे-जैसे समस्या बड़ी होती है, प्रयास का अंतर खगोलीय हो जाता है।

शोधकर्ताओं ने एक 'सबग्रुप मेंबरशिप' (subgroup membership) की अवधारणा पर आधारित समस्याओं का एक परिवार बनाकर यह उपलब्धि हासिल की। कल्पना कीजिए कि वस्तुओं का एक बड़ा संग्रह समूहों में व्यवस्थित है, जहाँ एलिस एक विशिष्ट छोटे समूह के नियमों को जानती है, और बॉब के पास एक एकल वस्तु है। उनका लक्ष्य यह तय करना है कि क्या बॉब की वस्तु एलिस के समूह से संबंधित है। टीम ने इस समस्या का एक रूपांतर डिज़ाइन किया जहाँ यह गारंटी दी गई है कि समूह छोटे हैं। उन्होंने दिखाया कि एंटैंगलमेंट के साथ, एलिस 'रिमोट स्टेट प्रिपरेशन' (remote state preparation) नामक एक तकनीक का उपयोग करके अनिवार्य रूप से अपने समूह का विवरण केवल कुछ क्लासिकल बिट्स का उपयोग करके बॉब को "टेलीपोर्ट" कर सकती है। यह प्रक्रिया इस तथ्य पर निर्भर करती है कि एंटैमेंट उन्हें बॉब की ओर एक विशिष्ट क्वांटम अवस्था तैयार करने की अनुमति देता है, बशर्ते वे पहले से आवश्यक क्वांटम लिंक साझा करते हों, बिना उस अवस्था को भेजे। बॉब फिर एक सरल परीक्षण करता है कि क्या उसकी वस्तु पैटर्न में फिट बैठती है। हालाँकि, साझा लिंक के बिना, एलिस को एक ऐसा संदेश भेजना होगा जो समूह का वर्णन करने के लिए पर्याप्त बड़ा हो ताकि बॉब बिना किसी पूर्व क्वांटम संबंध के उसका सत्यापन कर सके। शोधकर्ताओं ने गणितीय रूप से सिद्ध किया कि यह बिना सहायता वाला संदेश काफी लंबा होना चाहिए, विशेष रूप से इनपुट के घनमूल (cube root) के अनुपात में क्वांटम बिट्स की आवश्यकता होती है, जो एंटैंगल्ड संस्करण के लघुगणकीय पैमाने के बिल्कुल विपरीत है।

यह खोज इस क्षेत्र में एक लंबे समय से चल रही बहस को सुलझाती है। पहले, यह ज्ञात था कि एंटैंगलमेंट विशिष्ट, प्रतिबंधित सेटिंग्स में मदद कर सकता है, जैसे कि जब दो पक्ष सीधे बात नहीं कर सकते बल्कि एक रेफरी को संदेश भेजने चाहिए, या जब "नहीं" वाले उत्तर अस्पष्ट हो सकते हैं। लेकिन एक मानक, टोटल फंक्शन के लिए जहाँ प्रत्येक इनपुट के लिए एक निश्चित हाँ या ना की आवश्यकता होती है, और जहाँ एलिस एक एकल संदेश बॉब को भेजती है, यह एक खुला प्रश्न था कि क्या एंटैंगलमेंट इतना नाटकीय लाभ दे सकता है। नया कार्य सिद्ध करता है कि यह कर सकता है। यह इस संभावना को भी खारिज करता है कि एक सरल ट्रिक, जो साझा यादृच्छिकता (shared randomness) के समान उपयोग की जाती है, एंटैंगलमेंट की आवश्यकता को भारी लागत के बिना समाप्त कर सकती थी। शोधकर्ताओं ने दिखाया कि केवल क्लासिकल संचार और साझा यादृच्छिकता का उपयोग करके उनके कुशल एंटैंगल्ड प्रोटोकॉल का अनुकरण करने के लिए, उन्हें घातीय रूप से लंबा संदेश भेजना होगा, जो पुष्टि करता है कि क्वांटम लिंक केवल एक सुविधा नहीं है बल्कि एक मौलिक संसाधन है जो आवश्यक संचार की प्रकृति को बदल देता है।

जिस विशिष्ट समस्या का उपयोग टीम ने इसे सिद्ध करने के लिए किया है, वह 'बुलियन हिडन मैचिंग' (Boolean Hidden Matching) नामक एक पहेली का सामान्यीकरण है, लेकिन इसे साधारण बिट्स के बजाय संख्याओं के समूहों के साथ अनुकूलित किया गया है। उन्होंने एक ऐसी स्थिति बनाई जहाँ एलिस और बॉब को यह जांचना होगा कि क्या कई बिंदुओं पर उनके डेटा के बीच एक जटिल संबंध मौजूद है। शामिल समूहों के गणितीय ढांचे को सावधानीपूर्वक चुनकर, विशेष रूप से 'सामान्यीकृत हाइजनबर्ग ग्रुप' (generalized Heisenberg group) के रूप में जाने जाने वाले समूह का उपयोग करके, उन्होंने यह सुनिश्चित किया कि बिना सहायता वाला क्वांटम प्रोटोकॉल विफल हो जाएगा जब तक कि वह भारी मात्रा में जानकारी न भेजे। प्रमाण इन समूहों के गणितीय व्यवहार के गहरे गुणों पर निर्भर करता है, जो यह दर्शाता है कि बिना एंटैंगल्ड लिंक के, एलिस द्वारा भेजी गई सूचना सही उत्तर को गलत उत्तर से उच्च संभाव्यता के साथ अलग करने के लिए बहुत कमजोर है। परिणाम एक स्पष्ट, गणितीय अलगाव है: एक कार्य जिसे एंटैंगलमेंट की उपस्थिति में एक फुसफुसाहट के साथ हल किया जा सकता है, लेकिन इसकी अनुपस्थिति में चिल्लाने की आवश्यकता होती है।

यह कार्य केवल एक सैद्धांतिक तर्क को ही नहीं सुलझाता है; यह क्वांटम संचार की सीमाओं को स्पष्ट करता है। यह दिखाता है कि जबकि एंटैंगलमेंट अपने आप में सूचना प्रसारित नहीं कर सकता, यह संचार के लिए एक शक्तिशाली एम्पलीफायर के रूप में कार्य करता है जब इसकी अनुमति दी जाती है। शोधकर्ताओं ने यह भी नोट किया कि उनके कुशल प्रोटोकॉल के लिए बड़ी मात्रा में साझा एंटैंगलमेंट की आवश्यकता होती है—विशेष रूप से, एंटैंगल्ड जोड़ेओं की संख्या जो इनपुट के आकार के साथ रैखिक रूप से बढ़ती है। यह एक नया प्रश्न खड़ा करता है: क्या बहुत कम एंटैंगलमेंट के साथ इसी तरह की घातीय बचत प्राप्त करना संभव है, या साझा लिंक्स का बड़ा भंडार एक आवश्यक लागत है? फिलहाल, उत्तर खुला है, लेकिन आगे का रास्ता स्पष्ट है। टीम ने स्थापित किया है कि वन-वे सेटिंग में टोटल फंक्शन्स के लिए, एंटैंगलमेंट की शक्ति वास्तविक, गहन और संचार लागत को उन तरीकों से कम करने में सक्षम है जो पहले असंभव माने जाते थे।

तकनीकी सारांश: एंटैंगलमेंट-असिस्टेड और अनअसिस्टेड वन-वे क्वांटम संचार के बीच एक घातांकीय पृथक्करण (Exponential Separation)

समस्या विवरण (Problem Statement)

यह कार्य जिस केंद्रीय प्रश्न को संबोधित करता है वह यह है कि क्या साझा एंटैंगलमेंट (shared entanglement), कुल बूलियन फलनों (total Boolean functions) के लिए वन-वे (one-way) सेटिंग में संचार जटिलता (communication complexity) में घातांकीय लाभ प्रदान कर सकता है। जबकि रिलेशनल समस्याओं और आंशिक फलनों (जैसे कि सिमल्टेनियस मैसेज पासिंग मॉडल में) के लिए एंटैंगलमेंट-असिस्टेड और अनअसिस्टेड मॉडलों के बीच घातांकीय पृथक्करण पहले से ज्ञात थे, यह एक खुला प्रश्न बना हुआ था कि क्या कुल फलनों के लिए भी ऐसा पृथक्करण मौजूद है जब संचार केवल एलिस से बॉब तक एक संदेश तक ही सीमित हो। विशेष रूप से, लेखक यह जांचते हैं कि क्या कोई कार्य पूर्व एंटैंगलमेंट के साथ $O(\log n)$ क्लासिकल बिट्स के साथ हल किया जा सकता है, जबकि बिना एंटैंगलमेंट के $\Omega(n^{1/3})$ क्यूबिट्स की आवश्यकता होती है।

कार्यप्रणाली (Methodology)

लेखक सबग्रुप मेंबरशिप प्रॉब्लम (subgroup membership problem) के एक संस्करण पर आधारित कुल बूलियन फलनों के एक परिवार का निर्माण करते हैं, जिसे विशेष रूप से एक कुशल एंटैंगलमेंट-असिस्टेड अपर बाउंड और एक मजबूत अनअसिस्टेड लोअर बाउंड को सुगम बनाने के लिए तैयार किया गया है।

1. मुख्य फलन: शिफ्टेड इक्वैलिटी (Shifted Equality)

प्राथमिक अध्ययन की वस्तु शिफ्टेड इक्वैलिटी समस्या है, जिसे $\text{ShiftEq}_{G,r}$ द्वारा दर्शाया गया है।

इनपुट: एलिस दो फलन $g_1, g_2: \mathbb{Z}_2^r \to G$ प्राप्त करती है, और बॉब एक फलन $h: \mathbb{Z}_2^r \to G$ और एक शिफ्ट वेक्टर $s \in \mathbb{Z}_2^r$ प्राप्त करता है।
कार्य: यह निर्धारित करना कि क्या सभी $x \in \mathbb{Z}_2^r$ के लिए $g_1(x)g_2(x+s) = h(x)$ है।
सबग्रुप मेंबरशिप से संबंध: लेखक $\text{ShiftEq}_{G,r}$ को बाउंडेड-ऑर्डर सबग्रुप मेंबरशिप समस्या ( $\text{Memb}_{\tilde{G}, k}$ ) में कम (reduce) करते हैं। वे एक बड़ा समूह $\tilde{G}$ निर्मित करते हैं जिससे शिफ्टेड इक्वैलिटी की स्थिति एक विशिष्ट तत्व के सबग्रुप में होने की जाँच करने के समान हो जाती है, जिसका क्रम (order) अधिकतम $k = 2^{r+1}$ है।

2. अपर बाउंड: एंटैंगलमेंट-असिस्टेड प्रोटोकॉल

बाउंडेड-ऑर्डर सबग्रुप मेंबरशिप समस्या के लिए, लेखक एक एंटैंगलमेंट-असिस्टेड वन-वे क्लासिकल प्रोटोकॉल डिजाइन करते हैं:

तकनीक: एक मानक क्वांटम प्रोटोकॉल (जिसमें एलिस एक क्वांटम स्टेट भेजती है) के बजाय, एलिस रिमोट स्टेट प्रिपरेशन (Remote State Preparation - RSP) का उपयोग करती है।
तंत्र (Mechanism): एलिस बॉब की ओर एक विशिष्ट मिश्रित अवस्था (mixed state) $\rho$ को रिमोटली तैयार करती है। यह अवस्था सबग्रुप $H$ के लेफ्ट कोसेट स्टेट्स (left coset states) का एक यूनिफॉर्म मिश्रण है।
दक्षता: क्योंकि अवस्था $\rho$ रैंक $m = [G:H]$ वाली एक मिश्रित अवस्था है, इसलिए RSP एलिस को आवश्यक जानकारी $O(\log |H|)$ बिट्स का उपयोग करके संचार करने की अनुमति देता है। चूंकि सबग्रुप का क्रम $k$ द्वारा सीमित है, इसलिए संचार लागत $O(\log k)$ है।
सत्यापन (Verification): बॉब अपने इनपुट तत्व $g$ द्वारा राइट मल्टीप्लिकेशन (right multiplication) के अनुरूप एक यूनिटरी ऑपरेटर का उपयोग करके प्राप्त अवस्था पर हैडामार्ड टेस्ट (Hadamard test) करता है। यदि $g \in H$ है, तो यह परीक्षण प्रायः 1 के साथ स्वीकार करता है और आदर्श स्थिति में अन्यथा 0 के साथ।

3. लोअर बाउंड: अनअसिस्टेड क्वांटम प्रोटोकॉल

अनअसिस्टेड क्वांटम वन-वे संचार के लिए लोअर बाउंड को सिद्ध करने के लिए, लेखक एक नवीन विश्लेषणात्मक तकनीक विकसित करते हैं जो एंटैंगलमेंट-असिस्टेड और अनअसिस्टेड प्रोटोकॉल के बीच अंतर करती है।

हार्ड डिस्ट्रीब्यूशन (Hard Distribution): वे एक वितरण (distribution) परिभाषित करते हैं जहाँ एलिस के इनपुट रैंडम फलन हैं, और बॉब का इनपुट $h$ एलिस के फलनों का एक "शिफ्टेड प्रोडक्ट" है जिसे एक सेंट्रल एलिमेंट $\zeta \in Z(G)$ (जिसका ऑर्डर 3 है) द्वारा गुणा किया गया है। फलन का मान इस बात पर निर्भर करता है कि मल्टीप्लायर आइडेंटिटी है या नहीं।
सफलता की प्रायिकता का बाउंड: याओ के मिन-मैक्स सिद्धांत (Yao's min-max principle) का उपयोग करके, सफलता की प्रायिकता को बॉब के POVM तत्वों के एक एक्सपेक्टेशन (expectation) के ऑपरेटर नॉर्म द्वारा सीमित किया जाता है।
विश्लेषणात्मक सन्निकटन (Analytic Approximation): मुख्य तकनीकी नवाचार शिफ्ट संरचना से उत्पन्न स्वतंत्र पदों के योग के एक्सपेक्टेशन को स्वतंत्र पदों के एक्सपेक्टेशन द्वारा अनुमानित करना है। यह प्रत्येक शिफ्ट $s$ के लिए रैंडम फेज रोटेशन $\zeta^{\phi_s}$ पेश करके प्राप्त किया जाता है।
ग्रुप रिप्रेजेंटेशन थ्योरी: स्वतंत्र और आश्रित (dependent) मामलों के बीच के अंतर को फंक्शन स्पेस पर कार्य करने वाले ऑपरेटर $(I-P)K$ के स्पेक्ट्रल नॉर्म द्वारा सीमित किया जाता है। फूरियर डोमेन में जाने पर, यह नॉर्म $1/D$ द्वारा सीमित दिखाया जाता है, जहाँ $D$ उस इरिड्यूसिबल रिप्रेजेंटेशन (irrep) का न्यूनतम आयाम है जिसमें सेंट्रल एलिमेंट $\zeta$ नॉन-ट्रिवियल है।
ग्रुप इंस्टेंशिएशन: लेखक समूह $G$ को फील्ड $\mathbb{F}_3$ पर एक सामान्यीकृत हाइजनबर्ग ग्रुप (generalized Heisenberg group) $H_m$ के रूप में स्थापित करते हैं। इस समूह के लिए, वे सिद्ध करते हैं कि $D = 3^m$ है। $m \approx 2^{2r}$ के लिए पैरामीटर्स चुनकर, वे सुनिश्चित करते हैं कि $D$ , इनपुट साइज के सापेक्ष घातांकीय रूप से बड़ा है, जिससे किसी भी कम-संचार वाले अनअसिस्टेड क्वांटम प्रोटोकॉल की सफलता की प्रायिकता रैंडम गेसिंग के करीब रहने के लिए मजबूर हो जाती है।

मुख्य योगदान और परिणाम

मुख्य प्रमेय (Theorem 1.1)

लेखक एक कुल बूलियन फलनों का परिवार $f_n: \{0, 1\}^n \times \{0, 1\}^n \to \{0, 1\}$ प्रदर्शित करते हैं कि:

एंटैंगलमेंट-असिस्टेड: $\Theta(n)$ साझा EPR पेयर्स का उपयोग करते हुए, $O(\log n)$ संचार लागत और त्रुटि $\le 1/3$ के साथ एक वन-वे क्लासिकल प्रोटोकॉल मौजूद है।
अनअसिस्टेड: बिना एंटैंगलमेंट के किसी भी वन-वे क्वांटम (या रैंडमाइज्ड क्लासिकल) प्रोटोकॉल को समान त्रुटि बाउंड प्राप्त करने के लिए $\Omega(n^{1/3})$ बिट्स/क्यूबिट्स की आवश्यकता होती है।

तकनीकी योगदान

कुल फलनों के लिए प्रथम घातांकीय पृथक्करण: यह वन-वे सेटिंग में कुल फलन के लिए एंटैंगलमेंट-असिस्टेड क्लासिकल संचार और अनअसिस्टेड क्वांटम संचार के बीच ज्ञात पहला एसिम्प्टोटिक (asymptotic) पृथक्करण है।
परिशोधित सिमुलेशन थ्योरम: लेखक शि और झू [SZ08] के सिमुलेशन थ्योरम को और अधिक सटीक बनाते हैं, यह दिखाते हुए कि $C$ बिट्स का उपयोग करने वाला एक एंटैंगलमेंट-असिस्टेड वन-वे क्लासिकल प्रोटोकॉल $O(2^C)$ बिट्स का उपयोग करके एक अनअसिस्टेड रैंडमाइज्ड वन-वे प्रोटोकॉल द्वारा सिम्युलेट किया जा सकता है। उनके लोअर बाउंड के साथ मिलकर, यह सिद्ध करता है कि $O(\log n)$ अपर बाउंड एसिम्प्टोटिक रूप से अनुकूल (optimal) है।
नई लोअर बाउंड तकनीक: वे अनअसिस्टेड क्वांटम प्रोटोकॉल के लिए लोअर बाउंड सिद्ध करने की एक विधि पेश करते हैं जो अंतर्निहित समूह के रिप्रेजेंटेशन थ्योरी पर निर्भर करती है, विशेष रूप से ऑर्डर 3 के सेंट्रल एलिमेंट्स से संबंधित ऑपरेटर्स के स्पेक्ट्रल गैप का उपयोग करती है। यह तकनीक उन सीमाओं से बचती है जो मानक लोअर-बाउंड विधियों पर लागू होती हैं जो एंटैंगलमेंट-असिस्टेड प्रोटोकॉल पर भी समान रूप से लागू होती हैं।

महत्व और दावे

यह शोध पत्र बुहरमन और डी वोल्फ [BW01] तथा ब्रासार्ड [Bra03] द्वारा उठाए गए क्वांटम संचार जटिलता के एक लंबे समय से खुले प्रश्न को हल करने का दावा करता है। विशेष रूप से:

यह प्रदर्शित करता है कि साझा एंटैंगलमेंट, भले ही एक एकल संदेश तक सीमित हो, कुल फलनों के लिए घातांकीय बचत (exponential savings) सक्षम कर सकता है।
यह न्यूमैन के प्रमेय (Newman's theorem) के प्रत्यक्ष एनालॉग को खारिज करता है, जो दिखाता है कि साझा रैंडमनेस (जिसे $O(\log n)$ बिट्स के साथ सिम्युलेट किया जा सकता है) इस संदर्भ में साझा एंटै tentangमेंट का स्थान नहीं ले सकती है।
यह परिणाम रेखांकित करता है कि संचार जटिलता में एंटैंगलमेंट की "शक्ति" केवल रिलेशनल या आंशिक समस्याओं की विशेषता नहीं है, बल्कि मौलिक कार्यात्मक कार्यों तक भी विस्तृत है।

लेखक नोट करते हैं कि जबकि उनका प्रोटोकॉल $O(\log n)$ संचार प्राप्त करने के लिए एक बहुपद (polynomial) मात्रा में साझा एंटैंगलमेंट ( $\Theta(n)$ EPR पेयर्स) का उपयोग करता है, लोअर बाउंड इस ट्रेड-ऑफ को स्थापित करने के लिए केवल $\Omega(n^{1/3})$ EPR पेयर्स की आवश्यकता रखता है। वे इस खुले प्रश्न को छोड़ देते हैं कि क्या ऐसे पृथक्करण के लिए आवश्यक एंटैंगलमेंट की मात्रा को और कम किया जा सकता है।

लेखक अंत में खुले प्रश्नों की पहचान करते हैं, जिसमें यह शामिल है कि क्या टू-वे (two-way) संचार मॉडल या सिमल्टेनियस मैसेज पासिंग (SMP) सेटिंग में अनअसिस्टेड क्वांटम प्रोटोकॉल के विरुद्ध समान पृथक्करण मौजूद हैं, और क्या सरल कुल फलन इस पृथक्करण को प्राप्त कर सकते हैं।