Local random quantum circuits converge to the Porter-Thomas distribution in polynomial depth

क्वांटम कंप्यूटर उन चीजों को कर सकते हैं जो क्लासिकल मशीनें नहीं कर सकतीं, इसे सिद्ध करने की खोज में, वैज्ञानिकों ने एक विशिष्ट प्रकार के डिजिटल प्रयोग की ओर रुख किया है: क्वांटम प्रोसेसर पर ऑपरेशनों के यादृच्छिक अनुक्रमों (random sequences) को चलाना और उनके परिणामों को मापना। इस कार्य को, जिसे रैंडम सर्किट सैंपलिंग (random circuit sampling) कहा जाता है, "क्वांटम एडवांटेज" के लिए एक बेंचमार्क माना जाता है, जो एक ऐसा मील का पत्थर है जहाँ एक क्वांटम उपकरण सर्वश्रेष्ठ सुपरकंप्यूटरों से बेहतर प्रदर्शन करता है। इसके पीछे का सिद्धांत एक सांख्यिकीय पैटर्न पर आधारित है जिसे पोर्टर-थॉमस वितरण (Porter-Thomas distribution) कहा जाता है। एक वास्तव में यादृच्छिक क्वांटम प्रक्रिया के आउटपुट को संभावनाओं के एक परिदृश्य (landscape) के रूप में कल्पना करें; एक पूर्णतः यादृच्छिक प्रणाली के लिए, यह परिदृश्य एक विशिष्ट, अनुमानित आकार का अनुसरण करता है जहाँ कुछ परिणाम बहुत संभावित होते हैं और अन्य नगण्य होते हैं, लेकिन समग्र पैटर्न सुसंगत रहता है। वर्षों तक, शोधकर्ताओं ने यह माना कि यहाँ तक कि उथले (shallow), अपूर्ण क्वांटम सर्किट भी अंततः इस पैटर्न में स्थिर हो जाएंगे, लेकिन इस धारणा में एक कठोर गणितीय आधार की कमी थी। बिना प्रमाण के, यह एक खुला प्रश्न बना रहा कि क्या वे अव्यवस्थित, सीमित-गहराई वाले सर्किट जिन्हें हम वास्तव में प्रयोगशाला में बना सकते हैं, वास्तव में उस आदर्श यादृच्छिकता की नकल करते हैं जो क्वांटम सुप्रीमेसी के सबसे कड़े परीक्षणों को पास करने के लिए आवश्यक है।

टेक्सास विश्वविद्यालय, ऑस्टिन के शोधकर्ताओं की एक टीम ने अब वह लापता प्रमाण प्रदान कर दिया है। उन्होंने प्रदर्शित किया कि स्थानीय यादृच्छिक क्वांटम सर्किट, विशेष रूप से वे जो एक "ब्रिकवर्क" (brickwork) पैटर्न में व्यवस्थित हैं जहाँ गेट पड़ोसी क्वबिट्स पर परतों में कार्य करते हैं, वास्तव में पोर्टर-थॉमस वितरण की ओर अभिसरित (converge) होते हैं। उनका कार्य दिखाता है कि जैसे-जैसे सर्किट की गहराई—ऑपरेशनों की परतों की संख्या—एक निश्चित बहुपद पैमाने (polynomial scale) तक बढ़ती है, मशीन का सांख्यिकीय आउटपुट कुल भिन्नता दूरी (total variation distance) में एक गणितीय रूप से सटीक व्युत्क्रम-बहुपद त्रुटि सीमा के भीतर, आदर्श यादृच्छिक वितरण के करीब हो जाता है। यह खोज महत्वपूर्ण है क्योंकि यह लीनियर क्रॉस एंट्रॉपी बेंचमार्क (Linear Cross Entropy Benchmark) को मान्य करती है, जो यह प्रमाणित करने के लिए उपयोग किया जाने वाला मानक परीक्षण है कि एक क्वांटम कंप्यूटर ने ऐसा कार्य किया है जो क्लासिकल मशीनों के लिए बहुत कठिन है। इन सर्किटों को स्वाभाविक रूप से अपेक्षित सांख्यिकीय आकार में विकसित होने का प्रमाण देकर, लेखकों ने हालिया प्रायोगिक क्वांटम एडवांटेज के दावों के सैद्धांतिक आधार को मजबूत किया है।

शोधकर्ताओं ने एक विशिष्ट आर्किटेक्चर पर ध्यान केंद्रित किया जिसे ब्रिकवर्क सर्किट कहा जाता है, जहाँ गेट्स को पड़ोसी क्वबिट्स के जोड़ों पर बारी-बारी से परतों में लागू किया जाता है, ठीक वैसे ही जैसे दीवार में ईंटें बिछाना। उन्होंने विश्लेषण किया कि कैसे एक विशिष्ट शून्य और एक के स्ट्रिंग को मापने की संभावना सर्किट के गहरा होने के साथ बदलती है। उनके विश्लेषण से पता चला कि क्वबिट्स की संख्या के एक विशिष्ट घात (power) के अनुपात में गहराई वाले सर्किट के लिए, परिणामों का वितरण पोर्टर-थॉमस वक्र के साथ संरेखित होता है। यह प्रमाण एक साधारण अवलोकन नहीं बल्कि एक जटिल गणितीय यात्रा है जो कई उन्नत अवधारणाओं को जोड़ती है। टीम को यह दिखाना था कि सर्किट के मोमेंट्स (moments), या सांख्यिकीय औसत, एक पूर्णतः यादृच्छिक प्रणाली के मोमेंट्स से मेल खाते हैं, और फिर यह सिद्ध करना था कि औसत का यह मिलान, विशिष्ट स्मूथनेस (smoothness) गुणों के साथ मिलकर, पूरे वितरण के करीब होने की गारंटी देने के लिए पर्याप्त है। उन्होंने अंतराल को पाटने के लिए जटिल विश्लेषण (complex analysis) और संभाव्यता सिद्धांत (probability theory) की तकनीकों का उपयोग किया, जिससे यह सिद्ध हुआ कि केवल कुछ सांख्यिकीय औसत जानना, पूरे वितरण के आकार को जानने के लिए पर्याप्त नहीं है।

उनकी खोज का एक प्रमुख हिस्सा सर्किट के माध्यम से यादृच्छिकता के प्रसार को समझना है। उन्होंने दिखाया कि भले ही गेट्स स्थानीय हों, जो केवल निकटतम पड़ोसियों पर कार्य करते हैं, यादृच्छिकता इतनी कुशलता से प्रसारित होती है कि पूरा सिस्टम कुछ चरणों के बाद ऐसा व्यवहार करता है जैसे कि वह वैश्विक रूप से यादृच्छिक हो। टीम ने सिद्ध किया कि इन सर्किटों के वास्तविक आउटपुट और आदर्श पोर्टर-थॉमस वितरण के बीच की दूरी सर्किट की गहराई बढ़ने के साथ तेजी से घटती है। विशेष रूप से, उन्होंने दिखाया कि क्वबिट्स की संख्या के साथ स्केलिंग करने वाले सर्किट के लिए, वास्तविक आउटपुट और आदर्श पैटर्न के बीच का अंतर नगण्य हो जाता है, जो क्वबिट्स की संख्या की एक घात के व्युत्क्रमानुपाती दर से घटता है। इसका अर्थ है कि जैसे-जैसे क्वांटम सिस्टम बड़ा होता जाता है, सन्निकटन (approximation) अधिक सटीक होता जाता है, बशर्ते कि सर्किट पर्याप्त गहरा हो।

यह कार्य एक सूक्ष्म लेकिन महत्वपूर्ण गणितीय बाधा को भी संबोधित करता है। संभाव्यता सिद्धांत में, यह जानना कि दो वितरणों के पहले कुछ औसत समान हैं, स्वतः ही यह नहीं बताता कि वे दोनों एक ही वितरण हैं; दो अलग-अलग आकृतियों के औसत ऊँचाई समान हो सकती है लेकिन वे अन्य स्थानों पर पूरी तरह से भिन्न दिख सकती हैं। शोधकर्ताओं ने संभाव्यता वितरणों की "स्मूथनेस" (smoothness) का विश्लेषण करने के लिए नई तकनीकें विकसित करके इस बाधा को पार किया। उन्होंने प्रदर्शित किया कि इन यादृच्छिक सर्किटों का आउटपुट पर्याप्त रूप से स्मूथ और सुव्यवस्थित है, जिससे वे यह पुष्टि करने के लिए उन्नत गणितीय उपकरणों का उपयोग करने में सक्षम हुए कि वितरण वास्तव में करीब हैं। यह आवश्यक था क्योंकि पिछले तरीके केवल यह दिखा सकते थे कि सर्किट कुछ परीक्षणों, जैसे कि लीनियर क्रॉस एंट्रॉपी बेंचमार्क, को पास करते हैं, बिना यह सिद्ध किए कि अंतर्निहित वितरण वास्तव में पोर्टर-थॉमस है। इस निकटता को स्थापित करके, लेखकों ने पुष्टि की कि बेंचमार्क वास्तविक क्वांटम यादृच्छिकता का एक विश्वसनीय संकेतक है।

यद्यपि यह प्रमाण आदर्श, शोर-मुक्त (noise-free) सर्किट पर लागू होता है, शोधकर्ता स्वीकार करते हैं कि वास्तविक दुनिया के क्वांटम कंप्यूटर त्रुटियों से ग्रस्त होते हैं। वे नोट करते हैं कि शोर जटिल पैटर्न को मिटा देता है, जिससे आउटपुट एक समान, अरुचिकर वितरण की ओर चला जाता है। हालाँकि, उनका कार्य एक आदर्श दुनिया में क्या संभव है, इसके लिए एक स्पष्ट आधार रेखा (baseline) निर्धारित करता है। वे सुझाव देते हैं कि यदि शोर को पर्याप्त रूप से कम रखा जाए, तो सर्किट शोर के हावी होने से पहले एक निश्चित गहराई तक पोर्टर-थॉमस व्यवहार प्रदर्शित करना चाहिए। यह प्रश्न खुला छोड़ देता है कि एक शोरयुक्त सर्किट वास्तव में कितनी गहराई तक जा सकता है इससे पहले कि वह अपना क्वांटम चरित्र खो दे, लेकिन नया प्रमाण इस प्रश्न का उत्तर देने के लिए आवश्यक संदर्भ बिंदु प्रदान करता है। परिणाम पुष्टि करता है कि क्वांटम एडवांटेज के लिए आवश्यक अराजक व्यवहार केवल सिमुलेशन में देखी गई एक संख्यात्मक संयोग नहीं है, बल्कि इन क्वांटम प्रणालियों का एक मौलिक गुण है जिसे कठोरता से सिद्ध किया जा सकता है।

इस कार्य के निहितार्थ पिछले प्रयोगों को मान्य करने से कहीं आगे जाते हैं। बहुपद-गहराई वाले सर्किटों के पोर्टर-थॉमस वितरण की ओर अभिसरण को सिद्ध करके, शोधकर्ताओं ने एक मजबूत सैद्धांतिक औचित्य प्रदान किया है कि ये सर्किट क्लासिकली सिम्युलेट करने में कठिन क्यों हैं। यदि आउटपुट वितरण वास्तव में पोर्टर-थॉमस है, तो इसका तात्पर्य उच्च स्तर की एंट्रॉपी और जटिलता से है जिसे क्लासिकल कंप्यूटरों के लिए दोहराना कठिन होता है। यह पचास से एक सौ क्वबिट्स वाले उपकरणों पर किए गए प्रयोगों द्वारा किए गए क्वांटम सुप्रीमेसी के दावों को अधिक वजन देता है। अध्ययन यह दावा नहीं करता है कि उसने क्षेत्र की सभी समस्याओं को हल कर दिया है, न तो यह हर प्रकार के क्वांटम सर्किट को संबोधित करता है, लेकिन यह क्वांटम प्रणालियों में यादृच्छिकता कैसे उभरती है, इसकी समझ में एक महत्वपूर्ण अंतर को भरता है। यह एक व्यापक रूप से मानी जाने वाली धारणा को, जो मजबूत संख्यात्मक साक्ष्य द्वारा समर्थित है, एक गणितीय निश्चितता में बदल देता है।

अंततः, यह शोध क्वांटम कंप्यूटर की भौतिक संरचना और उसके आउटपुट के सांख्यिकीय व्यवहार के बीच के संबंध को स्पष्ट करता है। यह दिखाता है कि ब्रिकवर्क पैटर्न में गेट्स की विशिष्ट व्यवस्था क्वांटम एडवांटेज के लिए आवश्यक जटिल, यादृच्छिक-समान सांख्यिकी उत्पन्न करने के लिए पर्याप्त है। लेखक अपना मामला बनाने के लिए सिमुलेशन पर निर्भर नहीं रहे बल्कि उन्होंने मोमेंट बाउंड्स (moment bounds), विश्लेषणात्मक अनुमानों (analytic estimates) और स्थानीय गुणों के संयोजन का उपयोग करके एक कठोर तर्क तैयार किया। उनके निष्कर्ष बताते हैं कि क्वांटम एडवाटेज प्रदर्शित करने का मार्ग सैद्धांतिक समझ की कमी से बाधित नहीं है, बल्कि गहरे, अधिक स्थिर सर्किट बनाने की इंजीनियरिंग चुनौतियों से है। वैज्ञानिक समुदाय के लिए, यह कार्य इस बात की पुष्टि करता है कि क्वांटम प्रदर्शन को मापने के उपकरण ठोस गणित पर आधारित हैं, जो इस विश्वास को मजबूत करता है कि ये मशीनें वास्तव में ऐसे क्षेत्र में कार्य कर रही हैं जिसे क्लासिकल भौतिकी आसानी से नहीं समझा सकती।