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Determining the Number of Symmetry Sectors in Composite Quantum Spectra

यह शोध पत्र हर्मिटी और गैर-हर्मिटी प्रणालियों दोनों से प्राप्त सम्मिश्र क्वांटम स्पेक्ट्रा में समरूपता क्षेत्रों (symmetry sectors) की संख्या निर्धारित करने के लिए एक 'बेस्ट सबसेट तकनीक' का प्रस्ताव करता है, जो स्पेक्ट्रल उतार-चढ़ाव की रैंडम मैट्रिक्स एन्सेम्बल्स के साथ तुलना करके किया जाता है, जिससे पूर्व-डी-सिमेट्राइजेशन या समरूपता आयामों के ज्ञान की आवश्यकता समाप्त हो जाती है।

मूल लेखक: Nisarg Vyas, S. Harshini Tekur, M. S. Santhanam

प्रकाशित 2026-10-05

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CC BY 4.0

मूल लेखक: Nisarg Vyas, S. Harshini Tekur, M. S. Santhanam

मूल पेपर CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) के तहत लाइसेंस किया गया है। ✨ नीचे दिए गए पेपर की यह व्याख्या AI से तैयार की गई है। इसे लेखकों ने न तो लिखा है, न इसका समर्थन किया है। तकनीकी सटीकता के लिए मूल पेपर देखें। पूरा डिस्क्लेमर पढ़ें

क्वांटम भौतिकी के विशाल परिदृश्य में, वैज्ञानिक अक्सर उन ऊर्जा स्तरों के अराजक मिश्रण में पैटर्न खोजने की कोशिश करते हैं जो परमाणुओं और अणुओं के पास होते हैं। जब कोई प्रणाली सरल और पूर्वानुमानित होती है, तो ये ऊर्जा स्तर एक नियमित, असंबद्ध तरीके से दिखाई देते हैं, ठीक वैसे ही जैसे छत पर गिरती बारिश की बूंदें अनियमित अंतराल पर पड़ती हैं। हालाँकि, जब एक प्रणाली जटिल और अराजक (chaotic) हो जाती है, तो ऊर्जा स्तर आपस में क्रिया करने लगते हैं और एक-दूसरे को एक विशिष्ट तरीके से धकेलते (repel) हैं, जिससे एक विशिष्ट सांख्यिकीय छाप (statistical fingerprint) बन जाती है। यह छाप इतनी विश्वसनीय है कि भौतिक विज्ञानी इसका उपयोग यह निदान करने के लिए करते हैं कि कोई प्रणाली अराजक व्यवहार कर रही है या नहीं। लेकिन इसमें एक पेच है: यह नैदानिक उपकरण तभी काम करता है जब वैज्ञानिक केवल एक ही शुद्ध प्रकार की अराजकता को देख रहा हो। यदि प्रणाली में छिपे हुए नियम हैं, जैसे कि समरूपता (symmetries) जो ऊर्जा स्तरों को अलग-अलग, स्वतंत्र समूहों में विभाजित करती हैं, तो इन स्तरों का मिश्रण शोर जैसा दिखता है, जो भ्रम की एक परत के नीचे वास्तविक अराजक संकेत को छिपा देता है।

द दशकों से, शोधकर्ता इस समस्या से जूझ रहे हैं जब वे इन छिपे हुए समूहों को आसानी से अलग नहीं कर पाते हैं। यदि समूह समान आकार के हैं, तो उन्हें पहचानने के तरीके मौजूद हैं, लेकिन वास्तविक दुनिया की प्रणालियों में अक्सर बहुत अलग आकार के समूह होते हैं, जिससे बिना आंतरिक संरचना को पहले से जाने यह कार्य लगभग असंभव हो जाता है। यहीं पर, भारतीय विज्ञान शिक्षा अनुसंधान संस्थान (IISER) और माइंडब्रग रिसर्च (MindBrug Research) के शोधकर्ताओं द्वारा विकसित एक नया दृष्टिकोण एक नया नजरिया प्रदान करता है। उन्होंने सीधे इस बिखरे हुए, मिश्रित डेटा से इन छिपे हुए समूहों की गिनती करने का एक तरीका तैयार किया है, जिसमें सिस्टम को पहले सुलझाने या उसके अंतर्निहित नियमों को जानने की आवश्यकता नहीं है।

मुख्य चुनौती यह है कि विभिन्न समरूपता समूहों से आने वाले ऊर्जा स्तर आपस में कैसे मिलते हैं। एक ऐसे गायक दल (choir) की कल्पना करें जहाँ तीन अलग-अलग वर्गों के गायक एक साथ गा रहे हैं, लेकिन वर्गों में लोगों की संख्या अलग-अलग है। यदि आप पूरे समूह को सुनते हैं, तो वह एक शोर जैसा लगेगा। यदि समूह समान आकार के होते, तो मिश्रण का पैटर्न अनुमानित होता, लेकिन जब आकार भिन्न होते हैं, तो पैटर्न विकृत और पढ़ने में कठिन हो जाता है। पिछले प्रयासों में इस समस्या को हल करने के लिए पड़ोसी ऊर्जा स्तरों के बीच के अंतराल (spacing) को देखा गया था, लेकिन यह विधि तब विफल हो गई जब समूह असमान थे, क्योंकि यह अक्सर समूहों की संख्या की गलत गिनती की ओर ले जाती थी। शोधकर्ताओं ने महसूस किया कि केवल निकटतम पड़ोसियों को देखना पर्याप्त नहीं था; उन्हें एक छिपी हुई लय खोजने के लिए स्तरों के अनुक्रम में आगे देखना होगा।

टीम ने एक तकनीक पेश की जिसे वे 'बेस्ट सबसेट तकनीक' (Best Subset Technique) कहते हैं। डेटा के पूरे संग्रह का एक साथ विश्लेषण करने के बजाय, उनकी विधि डेटा के विभिन्न हिस्सों का परीक्षण करने में शामिल है। वे व्यवस्थित रूप से स्पेक्ट्रम के छोटे और छोटे हिस्से चुनते हैं, उन क्षेत्रों पर ध्यान केंद्रित करते हैं जहाँ विभिन्न समूह सबसे अधिक ओवरलैप होते हैं। प्रत्येक हिस्से के लिए, वे उन स्तरों के बीच के अंतराल की गणना करते हैं जो न केवल एक-दूसरे के बगल में हैं, बल्कि कई चरणों से अलग हैं। इन व्यापक अंतरालों के सांख्यिकीय वितरण की एकल अराजक प्रणाली के सैद्धांतिक हस्ताक्षर (theoretical signature) के विरुद्ध तुलना करके, वे पहचान सकते हैं कि डेटा का कौन सा हिस्सा वास्तविक अंतर्निहित संरचना को प्रकट करता है। यह विधि अनिवार्य रूप से डेटा के उस विशिष्ट अंश और विशिष्ट अंतराल की खोज करती है जो एक एकल अराजक प्रणाली के सैद्धांतिक हस्ताक्षर से सबसे सटीक रूप से मेल खाता है।

जब शोधकर्ताओं ने इस तकनीक को रैंडम मैट्रिसेस (random matrices) के कंप्यूटर सिमुलेशन पर लागू किया, जो इन क्वांटम प्रणालियों के गणितीय मॉडल के रूप में कार्य करते हैं, तो परिणाम आश्चर्यजनक थे। उन मामलों में जहाँ पारंपरिक विधियाँ समूहों की संख्या गलत बताती थीं, नई तकनीक ने सही संख्या को सफलतापूर्वक पहचाना। उदाहरण के लिए, ऊर्जा स्तरों के चार अलग-अलग समूहों वाले एक सिमुलेशन में, मानक विश्लेषण ने सुझाव दिया कि केवल तीन समूह थे। नई विधि ने, डेटा के सबसे सूचनात्मक उपसमुच्चय (subset) को अलग करके, सही ढंग से पहचान लिया कि चार समूह थे। यह सफलता विभिन्न प्रकार के रैंडम मैट्रिसेस में भी बनी रही, जिनमें वे जटिल, गैर-प्रतिवर्ती (non-reversible) सिस्टम भी शामिल हैं जहाँ ऊर्जा प्राप्त की जा सकती है या खोई जा सकती है, न कि केवल मानक सिस्टम जहाँ ऊर्जा संरक्षित रहती है।

इस दृष्टिकोण की शक्ति वास्तविक भौतिक मॉडलों, जैसे कि ट्रांसवर्स-फील्ड आइज़िंग मॉडल (transverse-field Ising model) नामक एक विस्केंद्रित चुंबकीय प्रणाली पर भी सिद्ध हुई। इस प्रणाली में, शोधकर्ताओं ने तीन अलग-अलग सिस्टम आकारों से एक मिश्रित स्पेक्ट्रम बनाया। नई तकनीक के बिना, विश्लेषण ने गलत निष्कर्ष निकाला कि वहाँ चार समरूपता समूह थे। हालाँकि, बेस्ट सबसेट तकनीक को लागू करके और डेटा के इष्टतम अंश पर ध्यान केंद्रित करके, विश्लेषण ने सही ढंग से तीन समूहों की उपस्थिति को प्रकट किया। इसी तरह, कणों के एक ऐसे मॉडल का परीक्षण करते समय जहाँ कण गैर-पारस्परिक (non-reciprocal) तरीके से चलते हैं, जहाँ भौतिकी के नियमों को थोड़ा तोड़कर एकतरफा परिवहन की अनुमति दी जाती है, विधि ने फिर से सही संख्या में अंतर्निहित समरूपता खंडों (symmetry sectors) की पुष्टि की।

इस कार्य का एक प्रमुख निष्कर्ष यह है कि तकनीक की सफलता छिपे हुए समूहों के सापेक्ष आकार पर बहुत अधिक निर्भर करती है। जब दो समूह लगभग समान आकार के होते हैं, तो विधि को काम करने के लिए लगभग पूरे डेटासेट की आवश्यकता होती है। हालाँकि, जैसे-जैसे समूहों के बीच आकार का अंतर बढ़ता है, विधि अधिक कुशल हो जाती है, जिसे सत्य को प्रकट करने के लिए डेटा के केवल एक छोटे, विशिष्ट हिस्से की आवश्यकता होती है। उल्लेखनीय रूप से, यह व्यवहार मॉडल के विशिष्ट विवरणों के बजाय सिस्टम के मौलिक समरूपता वर्ग (symmetry class) पर निर्भर करता है, जो यह सुझाव देता है कि यहाँ एक सार्वभौमिक सिद्धांत काम कर रहा है। शोधकर्ताओं ने पाया कि दो समूहों वाले सिस्टम के लिए, डेटा का इष्टतम अंश सिस्टम की समरूपता के प्रकार और समूह के आकारों के अनुपात द्वारा निर्धारित होता है, न कि कणों के सूक्ष्म विवरणों द्वारा।

यह कार्य जटिल क्वांटम प्रणालियों का अध्ययन करने वाले भौतिकविदों के लिए एक मजबूत उपकरण प्रदान करता है, विशेष रूप से उन प्रणालियों के लिए जहाँ आंतरिक समरूपताएं अज्ञात हैं या गणना करना बहुत कठिन है। ऊर्जा स्तरों को सीधे स्पेक्ट्रल डेटा से गिनने की अनुमति देकर, बेस्ट सबसेट तकनीक स्तरों को अलग करने के लिए जटिल, अक्सर असंभव, गणितीय रूपांतरणों की आवश्यकता को समाप्त करती है। यह एक पहले के अस्पष्ट संकेत को एक स्पष्ट नैदानिक उपकरण में बदल देती है, जिससे सैद्धांतिक मॉडलों और भविष्य के वास्तविक क्वांटम सामग्रियों के प्रयोगों दोनों में अराजकता की अधिक सटीक समझ संभव हो पाती है। इस विधि को सिस्टम के हैमिल्टनियन (Hamiltonian), या उसके शासी समीकरणों को पहले से जानने की आवश्यकता नहीं है, जो इसे क्वांटम जगत की छिपी हुई वास्तुकला को खोजने के लिए एक बहुमुखी उपकरण बनाता है।

तकनीकी सारांश: संयुक्त क्वांटम स्पेक्ट्रा में सममिति क्षेत्रों (Symmetry Sectors) की संख्या निर्धारित करना

समस्या विवरण
जटिल क्वांटम प्रणालियों में स्पेक्ट्रल उतार-चढ़ाव (Spectral fluctuations) को आमतौर पर रैंडम मैट्रिक्स थ्योरी (RMT) का उपयोग करके मॉडल किया जाता है। RMT एन्सेम्बल्स (जैसे विग्नर-डायसन या गिनेब्रे) के साथ मात्रात्मक सहमति केवल तभी होती है जब विश्लेषण किया गया स्पेक्ट्रम एक एकल अपरिमेय सममिति क्षेत्र (Irreducible symmetry sector) से प्राप्त एक "शुद्ध अनुक्रम" (Pure sequence) हो। हालांकि, भौतिक प्रणालियों में अक्सर असतत सममितियाँ (जैसे पैरिटी, परावर्तन) होती हैं जो हिल्बर्ट स्पेस को $m$ इनवेरिएंट सबस्पेस में विभाजित करती हैं। इसके परिणामस्वरूप होने वाला स्पेक्ट्रम $m$ सांख्यिकीय रूप से स्वतंत्र स्तर अनुक्रमों का एक संयुक्त सुपरपोजिशन होता है।

बिना "डीसिमेट्राइजेशन" (ब्लॉक्स को अलग किए बिना) ऐसे संयुक्त स्पेक्ट्रा का विश्लेषण करने से अस्पष्ट परिणाम मिलते हैं, जो अक्सर अंतर्निहित RMT सहसंबंधों को छिपा देते हैं और पॉइसन-जैसे (Poisson-like) सांख्यिकी का भ्रम पैदा करते हैं। यद्यपि सममिति का पता लगाने के लिए पूर्व विधियाँ मौजूद हैं, वे महत्वपूर्ण सीमाओं से ग्रस्त हैं:

उन्हें सममिति संरचना या हैमिल्टनियन के पूर्व ज्ञान की आवश्यकता होती है।
वे "अनफोल्डिंग" (Unfolding) पर निर्भर करती हैं, जिसके लिए स्तर घनत्व (Level density) के पूर्व ज्ञान की आवश्यकता होती है।
उच्च-क्रम अंतराल अनुपात (HOSRs) का उपयोग करने वाले मौजूदा दृष्टिकोण उन मामलों तक सीमित हैं जहाँ सममिति ब्लॉक्स के आयाम समान (Equal dimensions) होते हैं और वे मुख्य रूप से गौसियन ऑर्थोगोनल एन्सेम्बल्स (GOE) पर लागू होते हैं।
असमान आयामों वाले ब्लॉक्स के लिए ब्लॉक्स की संख्या ( $m$ ) के विभिन्न मानों (जैसे $m=3, 4$ ) के बीच अंतर करना लगभग असंभव हो जाता है, क्योंकि संयुक्त स्पेक्ट्रम की स्पेक्ट्रल सांख्यिकी $m$ क्षेत्रों की संख्या को विशिष्ट रूप से पहचान नहीं पाती है।

मुख्य चुनौती असमान ब्लॉक आयामों वाले एक संयुक्त स्पेक्ट्रम से, सममिति संरचना के पूर्व ज्ञान या अनफोल्डिंग की आवश्यकता के बिना, सममिति क्षेत्रों की संख्या ( $m$ ) और उनके वास्तविक स्पेक्ट्रल सांख्यिकी को निर्धारित करना है।

कार्यप्रणाली: बेस्ट सबसेट तकनीक (BST)
लेखक $m$ का अनुमान लगाने के लिए उच्च-क्रम अंतराल अनुपात (HOSRs) का उपयोग करने वाला एक संख्यात्मक एल्गोरिदम जिसे बेस्ट सबसेट तकनीक (BST) कहा जाता है, प्रस्तावित करते हैं।

HOSR परिभाषा: आइगेनवैल्यू (या सिंगुलर वैल्यू) $E_i$ के एक क्रमबद्ध अनुक्रम के लिए, $k$ --वाँ क्रम अंतराल अनुपात इस प्रकार परिभाषित है: $r^{(k)}_i = \frac{E_{i+2k} - E_{i+k}}{E_{i+k} - E_i}$ ।
सैद्धांतिक आधार: $m$ समान आकार के ब्लॉक्स के एक संयुक्त स्पेक्ट्रम में, "लूज इंटरलीविंग" (Loose interleaving) गुण यह सुझाव देता है कि प्रत्येक $(m+1)$ -वाँ आइगेनवैल्यू संभवतः उसी ब्लॉक से आता है। फलस्वरूप, $k$ --वें क्रम अंतराल अनुपात का वितरण ( $k$ -SRD) एक विशिष्ट स्केलिंग नियम का पालन करता है जहाँ प्रभावी डायसन इंडेक्स $\beta'$ प्रभावी $\beta'$ से संबंधित होता है। विशेष रूप से, समान ब्लॉक्स के लिए, $P^k(r, \beta, m) = P(r, \beta')$ , जहाँ $\beta' = k = m$ (ऑर्थोगोनल क्लासेज के लिए) या $\beta' = k+1 = m+1$ (यूनिटरी क्लासेज के लिए) है।
असमान ब्लॉक समस्या: जब ब्लॉक आयाम ( $N_i$ ) असमान होते हैं, तो आइगेनवैल्यू सपोर्ट अलग तरह से स्केल करता है (जैसे, गौसियन एन्सेम्बल्स के लिए $\Delta N \propto \sqrt{N}$ )। इसके कारण पूरे स्पेक्ट्रम में "लूज इंटरलीविंग" गुण टूट जाता है, क्योंकि छोटे ब्लॉक्स से आइगेनवैल्यू बड़े ब्लॉक्स की तुलना में विरल (Sparse) होते हैं।
BST समाधान: लेखक यह देखते हैं कि स्पेक्ट्रम का एक विशिष्ट अंश ( $f$ $f$ ) (आमतौर पर अधिकतम ओवरलैप वाला क्षेत्र, जैसे गौसियन के लिए केंद्र या विशार्ट/गिनेब्रे के लिए निचला सिरा) सभी योगदान देने वाले ब्लॉक्स के बारे में पर्याप्त जानकारी बनाए रखता है।
- एल्गोरिदम $f \in (0, 1)$ के सीमा और $k$ के क्रम के लिए पुनरावृत्ति (Iterate) करता है।
- प्रत्येक जोड़ी $(k, f)$ के लिए, यह सबसेट पर अनुभवजन्य (Empirical) $k$ -SRD की गणना करता है।
- यह इस अनुभवजन्य वितरण और सैद्धांतिक RMT वितरण $P(r, \beta')$ के बीच कुलबैक-लीब्लर (KL) डाइवर्जेंस, $DKL(k, f)$ की गणना करता है, जहाँ $\beta'$ सममिति वर्ग (जैसे GOE के लिए $\beta' = k$ ) द्वारा निर्धारित होता है।
- इष्टतम पैरामीटर $k^*$ और $f^*$ को $DKL(k, f)$ सतह के वैश्विक न्यूनतम (Global minimum) के रूप में पहचाना जाता है।
- $m$ और $k^*$ के बीच संबंध (जैसे GOE के लिए $m = k^*$ ) के माध्यम से $m$ को स्व-सुसंगत (Self-consistently) रूप से निकाला जाता है।

प्रमुख परिणाम
BST को कई रैंडम मैट्रिक्स एन्सेम्बल्स और भौतिक मॉडलों पर मान्य किया गया था:

रैंडम मैट्रिक्स एन्सेम्बल्स:
- गौसियन (GOE/GUE): चार GUE मैट्रिसेस के संयुक्त स्पेक्ट्रा ( $N \in \{5000, 10000, 15000, 20000\}$ ) पर लागू किया गया। बिना BST के, मानक HOSR विश्लेषण ने गलत तरीके से $m=3$ (क्योंकि $k^*=3$ था) की पहचान की। BST ने $k^*=4$ के साथ $m=4$ को सही ढंग से पहचाना, क्योंकि इसने $k^*=4$ पर और एक विशिष्ट इष्टतम अंश $f^* \approx 32\%$ पर वैश्विक न्यूनतम पाया।
- विशार्ट और गिनेब्रे: विधि ने चार विशार्ट-लैगुएर (Wishart-Laguerre) और गिनेब्रे एन्सेम्बल्स के संयुक्त स्पेक्ट्रा के लिए $m$ को सफलतापूर्वक निर्धारित किया (गिनेब्रे के लिए सिंगुलर वैल्यू का विश्लेषण करते हुए), जो गैर-हर्मिटीय (Non-Hermitian) परिवेशों में इसकी प्रयोज्यता को दर्शाता है।
- $f^*$ का स्केलिंग: दो ब्लॉक्स ( $m=2$ ) के मामले में जहाँ आयाम असमान हैं ( $N_1$ और $N_2$ ), $f^*$ का मान मुख्य रूप से $N_2/N_1$ के अनुपात और डायसन इंडेक्स $\beta$ पर निर्भर करता है, न कि विशिष्ट एन्सेम्बल के विवरणों पर। जैसे-जैसे $N_2/N_1 \to 1$ , $f^* \to 1$ होता है।
भौतिक मॉडल:
- ट्रांसवर्स-फील्ड इसिंग मॉडल (TFIM): अराजक गतिकी (Chaotic dynamics) वाले एक विस्केंद्रित (Disordered), ऑल-टू-ऑल TFIM पर लागू किया गया। संयुक्त स्पेक्ट्रम को $N \in \{14, 15, 16\}$ स्पिन वाले सिस्टम से बनाया गया था। मानक विश्लेषण ने $m=4$ का सुझाव दिया, जबकि BST ने केवल सर्वश्रेष्ठ सबसेट ( $f^* \approx 21\%$ ) का उपयोग करके $m=3$ को सही ढंग से निकाला।
- नॉन-हर्मिटीयन हार्डकोर बोसोन मॉडल: आधा-भरने (Half-filling) पर एक आयामी नॉन-रेसिप्रोकल मॉडल। इसका स्पेक्ट्रम GinUE क्लास से संबंधित है। BST ने $L \in \{16, 17, 18\}$ आकारों के सिस्टम से प्राप्त संयुक्त स्पेक्ट्रा के लिए $m=3$ की पुष्टि की। इस विशिष्ट मामले में, स्पेक्ट्रम ने आकार-निर्भर स्केलिंग नहीं दिखाई, जिसका अर्थ है कि ओवरलैप समान था, और BST ने मानक विश्लेषण द्वारा प्राप्त परिणाम की पुष्टि की।

महत्व और दावे
यह शोध पत्र दावा करता है कि BST जटिल क्वांटम प्रणालियों में सममिति क्षेत्रों की संख्या निर्धारित करने के लिए एक सामान्य, मॉडल-स्वतंत्र तकनीक प्रदान करता है। इसके प्राथमिक योगदान हैं:

असमान आयामों को संभालना: यह HOSRs की उपयोगिता को असमान आयामों वाले ब्लॉक्स के सामान्य मामले तक विस्तारित करता है, जहाँ पिछली विधियाँ विफल हो जाती हैं।
डीसिमेट्राइजेशन की आवश्यकता नहीं: यह सममिति-अनुकूल आधार (Symmetry-adapted bases) बनाने या स्पेक्ट्रल अनफोल्डिंग करने की आवश्यकता के बिना सममिति संरचना का निष्कर्ष निकालने की अनुमति देता है, जो प्रयोगात्मक डेटा या छिपी हुई सममिति वाले सिस्टम के लिए महत्वपूर्ण है।
सार्वभौमिकता (Universality): यह तकनीक हर्मिटीय (Gaussian, Wishart) और गैर-हर्मिटीय (Ginibre) दोनों प्रणालियों पर समान रूप से लागू होती है।
मजबूती (Robustness): यह विधि इस बात पर निर्भर करती है कि "लूज इंटरलीविंग" गुण एक विशिष्ट स्पेक्ट्रल सबसेट ( $f^*$ ) के भीतर पुनः प्राप्त किया जा सकता है, जो मैट्रिक्स आयाम के साथ आइगेनवैल्यू सपोर्ट के स्केलिंग द्वारा नियंत्रित होता है।

लेखक नोट करते हैं कि हालांकि यह विधि अनुभवजन्य रूप से मजबूत है, असमान-आकार वाले सामान्य मामले में $f^*$ के स्केलिंग और लूज इंटरलीविंग गुण की वैधता के लिए विश्लेषणात्मक समर्थन अभी भी भविष्य के अनुसंधान का विषय है। वे यह भी सुझाव देते कि भविष्य के कार्य को विशार्ट एन्सेम्बल्स तक विस्तारित किया जा सकता है जहाँ $N \neq M$ , क्योंकि उन मामलों में दोनों स्पेक्ट्रल किनारे (Edges) सिस्टम साइज के साथ गैर-तुच्छ (Non-trivially) रूप से स्केल करते हैं।

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