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Exponential lower bounds on the fermionic Gaussian rank of magic states and the bosonic coherent state rank of Fock states

यह शोध पत्र मैजिक स्टेट्स के फर्मिओनिक गॉसियन रैंक पर घातांकीय निचली सीमाएं स्थापित करता है और सिद्ध करता है कि बोसोनिक फॉक स्टेट्स का कोहेरेंट स्टेट बॉर्डर रैंक उनके मोड अधिभोग (mode occupations) का गुणनफल है, जिससे एक लंबे समय से चली आ रही धारणा का समाधान होता है और क्वांटम प्रणालियों के लिए शास्त्रीय सिमुलेशन जटिलता की समझ को आगे बढ़ाया जाता है।

मूल लेखक: Oliver Reardon-Smith

प्रकाशित 2026-10-05

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CC BY 4.0

मूल लेखक: Oliver Reardon-Smith

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ब्रह्मांड अपने सबसे सूक्ष्म स्तरों पर कैसे काम करता है, इसे समझने की खोज में, भौतिकविदों ने लंबे समय से एक शक्तिशाली युक्ति का सहारा लिया है: यदि कोई प्रणाली पर्याप्त सरल है, तो हम एक मानक कंप्यूटर के साथ उसके व्यवहार की गणना कर सकते हैं। दशकों से, क्वांटम प्रणालियों का एक विशिष्ट वर्ग—वे जिनमें कण ऐसे सख्त नियमों का पालन करते हैं जो अपवर्जन (exclusion) और समरूपता (symmetry) पर आधारित हैं, जिन्हें फर्मियॉन (fermions) कहा जाता है—को कुशलतापूर्वक सिम्युलेट किया जा सका है। ये प्रणालियाँ, जिन्हें अक्सर "मुक्त" (free) या "गॉसियन" (Gaussian) कहा जाता है, एक अनुमानित और व्यवस्थित तरीके से व्यवहार करती हैं जिसे शास्त्रीय मशीनें बिना किसी कठिनाई के संभाल सकती हैं। हालाँकि, एक वास्तव में शक्तिशाली क्वांटम कंप्यूटर बनाने के लिए, वैज्ञानिकों को एक विशेष घटक पेश करना होगा जो इस व्यवस्था को तोड़ दे। वे इन घटकों को "मैजिक स्टेट्स" (magic states) कहते हैं। ये अत्यधिक जटिल क्वांटम विन्यास हैं जो, जब इन सरल प्रणालियों में जोड़े जाते हैं, उन गणनाओं को करने की क्षमता को अनलॉक करते हैं जो शास्त्रीय कंप्यूटरों के लिए संभव नहीं हैं। केंद्रीय प्रश्न शोधकर्ताओं के लिए यह रहा है कि एक शास्त्रीय कंप्यूटर को इन मैजिक स्टेट्स को सिम्युलेट करने के लिए कितनी अतिरिक्त मेहनत करने की आवश्यकता है। इसका उत्तर एक संख्या में निहित है जिसे "रैंक" (rank) कहा जाता है, जो अनिवार्य रूप से यह गिनता है कि एक एकल जटिल, जादुई टुकड़े को बनाने के लिए कितने सरल, व्यवस्थित टुकड़ों की आवश्यकता है।

वर्षों से, वैज्ञानिक जानते थे कि यह संख्या बड़ी होनी चाहिए, लेकिन वे यह सिद्ध नहीं कर सके कि वास्तव में कितनी बड़ी। वे जानते थे कि जैसे-जैसे आप अधिक मैजिक स्टेट्स जोड़ते हैं, यह तेजी से बढ़ता है, लेकिन सर्वोत्तम गणितीय प्रमाणों ने केवल यह दिखाया कि यह एक धीमी, द्विघाती (quadratic) गति से बढ़ता है, जबकि सबसे बुनियादी सिमुलेशन ने सुझाव दिया कि यह घातीय (exponentially) रूप से बढ़ सकता है। इस अंतर ने क्षेत्र में एक बड़ी अनिश्चितता छोड़ दी थी। यदि यह संख्या धीरे-धीरे बढ़ती है, तो यह संभव हो सकता है कि इन शक्तिशाली क्वांटम कंप्यूटरों को साधारण मशीनों पर भी सिम्युलेट किया जा सके। यदि यह घातीय रूप से बढ़ती है, तो यह पुष्टि करता कि क्वांटम कंप्यूटर वास्तव में एक विशिष्ट और श्रेष्ठ श्रेणी की मशीन बने रहेंगे। हाल ही में एक अध्ययन में, पोलिश एकेडमी ऑफ साइंसेज के सेंटर फॉर थियोरेटिकल फिजिक्स के ओलिवर रियरडन-स्मिथ ने एक विशिष्ट, महत्वपूर्ण प्रकार के मैजिक स्टेट के लिए इस अंतर को कम किया है। एक नई गणितीय विधि विकसित करके, शोधकर्ता ने सिद्ध किया कि इन जटिल अवस्थाओं को बनाने के लिए आवश्यक सरल टुकड़ों की संख्या केवल तेजी से ही नहीं बढ़ती; बल्कि यह लगभग 1.4 की घात के रूप में प्रतियों की संख्या के साथ घातीय रूप से विस्फोट करती है। हालाँकि शोध पत्र नोट करता है कि इस नए निचले स्तर (lower bound) और 2 की घात वाले ज्ञात ऊपरी स्तर (upper bound) के बीच एक बड़ा अंतर बना हुआ है, और दो से अधिक प्रतियों के लिए इस क्षेत्र के भीतर सटीक रैंक का मान पूरी तरह से अज्ञात है, फिर भी यह परिणाम घातीय जटिलता के साक्ष्य को महत्वपूर्ण रूप से मजबूत करता है।

यह अध्ययन एक विशिष्ट चार-कण विन्यास पर केंद्रित है, एक ऐसी अवस्था जो क्वांटम तर्क के लिए एक मौलिक निर्माण खंड के रूप में कार्य करती है, जो कणों की स्थितियों को बदलने में सक्षम है। शोधकर्ता ने एक सीधा सवाल पूछा: यदि आप इन अवस्थाओं में से दो को लेते हैं और उन्हें मिलाते हैं, तो उस परिणाम को पुन: निर्मित करने के लिए आपको कितने सरल, व्यवस्थित अवस्थाओं को जोड़ना होगा? पिछले तरीके यह खारिज नहीं कर सके कि क्या कुछ सरल अवस्थाओं का समूह पर्याप्त हो सकता है। रियरडन-स्मिथ का कार्य प्रदर्शित करता है कि यह असंभव है। केवल दो प्रतियों के लिए, प्रमाण दिखाता है कि इसे पुन: निर्मित करने के लिए कम से कम चार सरल अवस्थाओं की आवश्यकता होती है। जब आप इसे कई प्रतियों तक बढ़ाते हैं, तो आवश्यकता केवल दोगुनी नहीं होती; बल्कि प्रत्येक नई प्रति जोड़ने पर यह लगभग 1.4 के कारक से गुणा हो जाती है। इसका अर्थ है कि जैसे-जैसे आप अधिक मैजिक स्टेट्स जोड़ते हैं, शास्त्रीय कंप्यूटर पर उन्हें सिम्युलेट करने के लिए आवश्यक कम्प्यूटेशनल प्रयास आसमान छूने लगता है, जिससे यह पुष्टि होती है कि ये प्रणालियाँ वास्तव में शास्त्रीय मशीनों के लिए कठिन (intractable) हैं, कम से कम प्रमाणित निचले स्तरों के भीतर।

इस निष्कर्ष तक पहुँचने के लिए, शोधकर्ता ने एक ऐसी तकनीक का उपयोग किया जो गणितीय संरचनाओं के लिए एक उच्च-रिज़ॉल्यूशन माइक्रोस्कोप की तरह कार्य करती है। जटिल अवस्था को शून्य से बनाने के बजाय, यह विधि अवस्था का विश्लेषण उसे एक अलग गणितीय स्थान में प्रक्षेपित (project) करके करती है। कल्पना कीजिए कि आप एक जटिल 3D वस्तु को उसकी छाया को देखकर समझने की कोशिश कर रहे हैं; यदि छाया सरल है, तो वस्तु सरल हो सकती है, लेकिन यदि छाया अविश्वसनीय रूप से जटिल है, तो वस्तु को जटिल होना चाहिए। इस मामले में, शोधकर्ता ने एक विशिष्ट मैट्रिक्स बनाया, जो अवस्था का प्रतिनिधित्व करने वाला संख्याओं का एक ग्रिड है, और सिद्ध किया कि मैजिक स्टेट्स के लिए, यह ग्रिड हमेशा स्वतंत्र सूचनाओं से भरा होता है। इसके विपरीत, सरल, व्यवस्थित अवस्थाओं के लिए, ग्रिड हमेशा बहुत पतला और दोहराव वाला होता है। इन ग्रिडों की "मोटाई" की तुलना करके, शोधकर्ता ने दिखाया कि आप चाहे किसी भी तरह से सरल अवस्थाओं को संयोजित करें, आप उस मोटाई को उत्पन्न नहीं कर सकते जो मैजिक स्टेट से मेल खाती हो, जब तक कि आप उनका एक विशाल संख्या में उपयोग न करें। इस पद्धति ने एक अटूट निचला स्तर (lower bound) प्रदान किया, यह सिद्ध करते हुए कि जटिलता अंतर्निहित और अपरिहार्य है।

ये निष्कर्ष केवल चार-कण अवस्था से आगे प्रकाश और ध्वनि तरंगों, जिन्हें बोसोन (bosons) के रूप में जाना जाता है, वाली व्यापक श्रेणी के क्वांटम सिस्टम तक विस्तृत हैं। इस क्षेत्र में, शोधकर्ता ने एक लंबे समय से चले आ रहे अनुमान को संबोधित किया कि प्रकाश के एक विशिष्ट, अत्यधिक उत्तेजित (excited) अवस्था को बनाने के लिए कितने सरल तरंग पैटर्न की आवश्यकता होती है। अध्ययन ने पुष्टि की कि आवश्यक पैटर्न की संख्या प्रत्येक मोड में कणों की संख्या प्लस एक के गुणनफल के ठीक बराबर है। इस परिणाम ने एक बहस को समाप्त कर दिया जो क्षेत्र में लंबे समय से बनी हुई थी, यह दिखाते हुए कि इन प्रकाश-आधारित अवस्थाओं की जटिलता मोड में कणों के वितरण द्वारा निर्धारित होती है। इसके अलावा, अध्ययन ने इस पर गौर किया कि क्या होता है जब सिमुलेशन पूर्ण नहीं होता है। वास्तविक दुनिया में, कंप्यूटर अक्सर अनुमानों (approximations) के साथ काम करते हैं, जो समय बचाने के लिए थोड़ी सी त्रुटि स्वीकार करते हैं। शोधकर्ता ने सिद्ध किया कि भले ही आप त्रुटि के लिए एक छोटा मार्जिन छोड़ दें, फिर भी आवश्यक सरल अवस्थाओं की संख्या लगभग सटीक संख्या के समान ही रहती है। जटिलता केवल इसलिए गायब नहीं हो जाती क्योंकि आप थोड़े कम सटीक होने के लिए तैयार हैं।

यह कार्य महत्वपूर्ण है क्योंकि यह क्वांटम कंप्यूटरों की शक्ति के बारे में एक बड़े संदेह को दूर करता है। कुछ समय के लिए, एक उम्मीद बनी हुई थी कि चतुर गणितीय युक्तियाँ शास्त्रीय कंप्यूटरों को इन मैजिक स्टेट्स को कुशलतापूर्वक सिम्युलेट करने की अनुमति दे सकती हैं, शायद अपेक्षित टुकड़ों से कम टुकड़ों के साथ उन्हें वर्णित करने का तरीका ढूंढकर। यह अध्ययन, कम से कम परीक्षित अवस्थाओं के संबंध में, उस दरवाजे को बंद कर देता है। यह पुष्टि करता है कि "जादू" वास्तविक है और इसे सिम्युलेट करने की कम्प्यूटेशनल लागत कम से कम घातीय है, जो प्रति प्रति (copy) लगभग 1.4 की दर से बढ़ती है। परिणाम बताते हैं कि जैसे-जैसे क्वांटम कंप्यूटर स्केल होते हैं, अधिक मैजिक स्टेट्स जोड़ने से वे शास्त्रीय मशीनों के लिए नकल करना तेजी से कठिन होता जाएगा, जिससे क्वांटम तकनीक का लाभ सुरक्षित होगा। हालांकि बड़े सिस्टमों के लिए आवश्यक टुकड़ों की सटीक संख्या भविष्य के शोध का विषय बनी हुई है, क्योंकि निचले और ऊपरी स्तरों के बीच का अंतर अभी भी व्यापक है, दिशा अब स्पष्ट है: जटिलता एक ऐसी दर पर बढ़ती है जो यह सुनिश्चित करती है कि क्वांटम कंप्यूटर एक अद्वितीय और शक्तिशाली उपकरण बने रहेंगे, जो शास्त्रीय सिमुलेशन की पहुंच से बहुत दूर हैं।

तकनीकी सारांश: फर्मियोनिक गॉसियन और बोसोनिक कोहेरेंट स्टेट रैंक पर घातांकीय निचली सीमाएँ (Exponential Lower Bounds)

समस्या विवरण
क्वांटम यांत्रिकी के लिए हालिया शास्त्रीय सिमुलेशन एल्गोरिदम "मैजिक" अवस्थाओं (non-free states) को "फ्री" अवस्थाओं (जैसे स्टेबलाइजर अवस्थाएं, फर्मियोनिक गॉसियन अवस्थाएं, या बोसोनिक कोहेरेंट अवस्थाएं) के रैखिक संयोजनों में विघटित करने पर निर्भर करते हैं। इन सिमुलेशनों की गणनात्मक लागत मैजिक अवस्था के रैंक (rank) द्वारा निर्धारित होती है—जो कि ऐसे विघटन के लिए आवश्यक फ्री अवस्थाओं की न्यूनतम संख्या है। जबकि मैजिक अवस्थाओं के लिए स्टेबलाइजर और फर्मियोनिक गॉसियन रैंक के लिए घातांकीय ऊपरी सीमाएं (exponential upper bounds) ज्ञात हैं, कठोर निचली सीमाएं (rigorous lower bounds) दुर्लभ रही हैं। स्टेबलाइजर रैंक के लिए, सर्वोत्तम ज्ञात निचली सीमाएं द्विघाती ( $\tilde{\Omega}(k^2)$ ) हैं, और मैजिक अवस्थाओं के फर्मियोनिक गॉसियन रैंक के लिए, पहले केवल मामूली स्थिरांक (trivial constants) से परे कोई सीमा स्थापित नहीं की गई थी। इसी तरह, बोसोनिक संदर्भ में, जबकि संदर्भ [1] ने फॉक अवस्थाओं (Fock states) के कोहेरेंट-स्टेट रैंक के लिए सुपरपॉलीनोमियल निचली सीमा सिद्ध की थी, सटीक मान एक अनुमान (conjecture) बना हुआ था। यह कार्य इन रैंकों के लिए बिना शर्त घातांकीय निचली सीमाओं (unconditional exponential lower bounds) की कमी को संबोधित करता है।

कार्यप्रणाली (Methodology)
यह शोध पत्र एक सामान्यीकृत फ्लैटनिंग मैप (generalized flattening map) दृष्टिकोण का उपयोग करता है, जो स्टेटवेक्टर्स के मैट्रिक्स-वैल्यूड फंक्शन्स का उपयोग करके रैंक की निचली सीमाएं प्राप्त करता है। मुख्य तकनीक एक मैट्रिक्स $M(\psi)$ का निर्माण करना है जहाँ कॉलम एक विशिष्ट सेट के रैखिक ऑपरेटरों (जैसे मेजरोना मोनोमियल्स या विशिष्ट डिफरेंशियल ऑपरेटर्स) द्वारा लक्ष्य अवस्था $|\psi\rangle$ पर की गई क्रिया के अनुरूप होते हैं। उप-योगबद्धता (subadditivity) के सिद्धांत के अनुसार, यदि $|\psi\rangle = \sum_{i=1}^r \alpha_i |f_i\rangle$ है, तो $\text{rank}(M(\psi)) \leq \sum \text{rank}(M(|f_i\rangle))$ होगा।

फर्मियोनिक मामला:
- ऑपरेटर्स: लेखक $C_p(\psi)$ मैप्स को परिभाषित करते हैं जहाँ कॉलमों को अवस्था पर डिग्री- $p$ मेजरोना मोनोमियल्स लागू करके उत्पन्न किया जाता है।
- लक्ष्य अवस्था: ध्यान $k$ प्रतियों के 4-क्यूबिट मैजिक अवस्था $|M\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|0000\rangle + |1111\rangle)$ के टेंसर उत्पाद पर केंद्रित है।
- विश्लेषण: $C_p(|M\rangle^{\otimes k})$ (अंश/numerator) का रैंक, प्रोजेक्टिव पॉली ग्रुप के कॉसेटों (cosets) को शामिल करने वाले कॉम्बिनेटोरियल तर्कों का उपयोग करके, मैजिक अवस्था के स्टेबलाइजर ग्रुप द्वारा उत्पन्न ऑर्थोगोनल वेक्टर्स की गिनती द्वारा निचली सीमा द्वारा सीमित है। $C_p(|0\rangle)$ (हर/denominator, जो एक गॉसियन अवस्था को दर्शाता है) का रैंक, ज्यामितीय श्रृंखला अनुमानों (geometric series estimates) का उपयोग करके ऊपरी सीमा द्वारा सीमित है।
- अनुमानित रैंक ( $\delta$ -approximate rank): $\delta$ -अनुमानित रैंक के लिए, लेखक एक एकर्ट-यंग-मिर्सकी (Eckart–Young–Mirsky) प्रमेय का उपयोग करते हैं, जो लक्षित अवस्था और उसके सन्निकटन के बीच फ्रोबिनियस नॉर्म (Frobenius norm) दूरी को फ्लैटन किए गए मैट्रिक्स के सिंगुलर मानों (singular values) से जोड़ता है।
- लघु $k$ के लिए सटीक रैंक: $k=2$ के लिए, एसिम्प्टोटिक विधि एक कमजोर सीमा ( $r \geq 3$ ) देती है। $r \geq 4$ को सिद्ध करने के लिए, लेखक $\text{Spin}(16, \mathbb{C})$ इनवेरियंट्स का उपयोग करते हैं। वे समस्या को स्पिनर वैरायटी के दूसरे सेकेंट वैरायटी (second secant variety) में मैप करते हैं और उन इनवेरिएंट पॉलीनोमियल्स के ग्रोबनर बेसिस (Gröbner bases) का निर्माण करते हैं जो रैंक $\leq 3$ वाली अवस्थाओं पर शून्य होते हैं लेकिन $|M\rangle^{\otimes 2}$ पर गैर-शून्य होते हैं।
बोसोनिक मामला:
- ऑपरेटर्स: लेखक एक "फ्लैटनिंग" मैट्रिक्स $M^m$ को परिभाषित करते हैं, जो एक विशिष्ट रेंज में वेक्टर $p, q$ द्वारा इंडेक्स किया गया है, जिसके एंट्रीज फॉक बेसिस गुणांकों से प्राप्त होते हैं।
- विश्लेषण: वे सिद्ध करते हैं कि किसी भी कोहेरेंट अवस्था के लिए, इस मैट्रिक्स का रैंक 1 है। इसके विपरीत, फॉक अवस्था $|m\rangle = |m_1, \dots, m_n\rangle$ के लिए, मैट्रिक्स का पूर्ण रैंक $d = \prod_j (1+m_j)$ है।
- अनुमानित रैंक: मैट्रिक्स रैंक की निरंतरता (continuity) और फ्रोबिनियस नॉर्म पर कॉची-श्वार्ज़ असमानताओं (Cauchy-Schwarz inequalities) का लाभ उठाते हुए, फिडेलिटी $F$ के माध्यम से मजबूत सीमाएं प्राप्त की गई हैं।

प्रमुख योगदान और परिणाम

फर्मियोनिक गॉसियन रैंक (सटीक):
यह शोध पत्र सिद्ध करता है कि $|M\rangle^{\otimes k}$ का सटीक फर्मियोनिक गॉसियन रैंक निम्नलिखित द्वारा निचली सीमाबद्ध है:
$r \geq \frac{8}{9(k+1)} \left( \frac{27(8 + 2\sqrt{7})}{256} \right)^k \approx \frac{8}{9(k+1)} (1.4018)^k$
यह पहली बार इस विशिष्ट वर्ग की मैजिक अवस्थाओं के लिए एक बिना शर्त घातांकीय निचली सीमा ( $\Omega(1.4^k)$ ) स्थापित करता है।
फर्मियोनिक गॉसियन रैंक (अनुमानित):
$\delta$ -अनुमानित विघटन के लिए, रैंक को सटीक सीमा द्वारा $(1-\delta^2)$ के कारक से निचली सीमा दी जाती है।
$k=2$ के लिए सटीक रैंक:
$\text{Spin}(16, \mathbb{C})$ इनवेरियंट्स और ग्रोबनर बेसिस का उपयोग करते हुए, लेखक सिद्ध करते हैं कि $|M\rangle^{\otimes 2}$ का सटीक रैंक 4 है। इसका तात्पर्य यह है कि किसी भी $k \geq 2$ के लिए, रैंक कम से कम 4 है, जो $r=2$ की मामूली सीमा में सुधार करता है।
गैर-गॉसियन अवस्थाओं के लिए सामान्यीकरण:
लेम्मा 2 का उपयोग करते हुए, लेखक दिखाते हैं कि किसी भी टेंसर उत्पाद $k$ निश्चित-पैरिटी गैर-गॉसियन अवस्थाओं का रैंक $|M\rangle^{\otimes k}$ के रैंक के बराबर या उससे अधिक है। इस प्रकार, घातांकीय निचली सीमा व्यापक रूप से गैर-गॉसियन अवस्थाओं के टेंसर उत्पादों पर लागू होती है, हालांकि लेखक नोट करते हैं कि रिडक्शन पद्धति के कारण बड़े सिस्टम के लिए यह सीमा ढीली (loose) हो सकती है।
बोसोनिक कोहेरेंट स्टेट रैंक:
यह शोध पत्र संदर्भ [1] के कन्जेक्चर 1 (Conjecture 1) को सिद्ध करता है: एक $n$ -मोड फॉक अवस्था $|m_1, \dots, m_n\rangle$ का कोहेरेंट स्टेट बॉर्डर रैंक $\prod_{j=1}^n (1+m_j)$ है।
- $|1\rangle^{\otimes n}$ के विशिष्ट मामले के लिए, रैंक $2^n$ है।
- अनुमानित रैंक के लिए मजबूत सीमाएं प्रदान की गई हैं, जो सन्निकटन की फिडेलिटी के साथ स्केल करती हैं।

महत्व और दावे
यह शोध पत्र दावा करता है कि यह मैजिक अवस्थाओं के फर्मियोनिक गॉसियन रैंक के लिए पहली बिना शर्त घातांकीय निचली सीमाएं प्रदान करता है, जो शास्त्रीय सिमुलेशन सीमाओं की जटिलता-सैद्धांतिक समझ के एक महत्वपूर्ण अंतर को भरता है। हालांकि इस घातांकीय आधार ( $\approx 1.4$ ) का मान ज्ञात ऊपरी सीमा ($2$) से कम है, फिर भी यह परिणाम पिछले बहुपद (polynomial) या स्थिरांक (constant) सीमाओं की तुलना में एक कठोर कदम है।

बोसोनिक संदर्भ में, यह कार्य फॉक अवस्थाओं के सटीक बॉर्डर रैंक के संबंध में एक विशिष्ट अनुमान को हल करता है, जो $|1\rangle^{\otimes n}$ अवस्था के लिए घातांकीय वृद्धि ( $2^n$ ) की पुष्टि करता है। लेखक अपनी कार्यप्रणाली की व्यापक प्रयोज्यता पर जोर देते हैं, यह नोट करते हुए कि इसका संबंध बीजगणितीय ज्यामिति (algebraic geometry - जैसे सेकेंट वैरायटी, फ्लैटनिंग मैप्स) से है, और एंटैंगलमेंट थ्योरी में इसके उपयोग की क्षमता है। हालांकि, वे स्पष्ट रूप से कहते हैं कि क्यूबिट मैजिक अवस्थाओं (जैसे $|T\rangle$ ) के स्टेबलाइजर रैंक को लागू करने के लिए क्लिफोर्ड ग्रुप (Clifford group) के गुणों के कारण महत्वपूर्ण बाधाएं हैं।

लेखक विनम्रतापूर्वक नोट करते हैं कि हालांकि उनकी सीमाएं घातांकीय हैं, वे अभी भी छोटे नंबर ऑफ कॉपियों ( $k=2$ के परे जहाँ वे $r=4$ सिद्ध करते हैं) के लिए बहुपद रैंक को खारिज नहीं करती हैं, और सामान्य गैर-गॉसियन अवस्थाओं से $4$-क्यूबिट मामले में रिडक्शन संभवतः ढीली सीमाएं देता है। यह कार्य फर्मियोनिक गैर-गॉसियनता (non-Gaussianity) के संसाधन सिद्धांत (resource theory) के लिए संभावित निहितार्थों को भी रेखांकित करता है, हालांकि यह नए प्रयोगात्मक प्रोटोकॉल का प्रस्ताव नहीं करता है।

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