⚛️ quantum physics

Quantum codes in the Lee metric

यह शोध पत्र डिस्क्रीट स्मॉल-शिफ्ट नॉइज़ (discrete small-shift noise) को संबोधित करने के लिए ली मेट्रिक (Lee metric) पर आधारित एक क्वांटम कोडिंग फ्रेमवर्क प्रस्तुत करता है, जो $\mathbb{Z}_q$ पर स्टेबलाइज़र कोड विकसित करता है जो क्यूबिट्स के लिए संभावित दक्षता लाभ प्रदान करते हैं जबकि बड़े- $q$ क्वाडिट्स (qudits) के लिए मौलिक दूरी सीमाओं को प्रकट करते हैं और हेलिकल रेपिटिशन कोड्स (helical repetition codes) के स्व-सुधारात्मक गुणों का अन्वेषण करते हैं।

मूल लेखक: Jinkang Guo, Yiqiu Han, Aranya Chakraborty, Shubham P. Jain, Tianhao Liu, Victor V. Albert, Andrew Lucas

प्रकाशित 2026-10-06

📖 6 मिनट में पढ़ें🧠 गहराई से पढ़ें

CC BY 4.0

मूल लेखक: Jinkang Guo, Yiqiu Han, Aranya Chakraborty, Shubham P. Jain, Tianhao Liu, Victor V. Albert, Andrew Lucas

मूल पेपर CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) के तहत लाइसेंस किया गया है। ✨ नीचे दिए गए पेपर की यह व्याख्या AI से तैयार की गई है। इसे लेखकों ने न तो लिखा है, न इसका समर्थन किया है। तकनीकी सटीकता के लिए मूल पेपर देखें। पूरा डिस्क्लेमर पढ़ें

एक कामकाजी क्वांटम कंप्यूटर बनाने की दौड़ में, वैज्ञानिक एक मौलिक समस्या का सामना कर रहे हैं: सूचना के नाजुक बिट्स, जिन्हें क्वबिट्स (qubits) कहा जाता है, लगातार शोर (noise) से घिरे रहते हैं। यह शोर त्रुटियों (errors) का कारण बनता है, जिससे गणना पूरी होने से पहले ही नाजुक गणनाएँ गड़बड़ा जाती हैं। इससे निपटने के लिए, शोधकर्ता क्वांटम एरर करेक्शन (quantum error correction) का उपयोग करते हैं, जो एक ऐसी विधि है जहाँ सूचना को कई भौतिक कणों में फैला दिया जाता है ताकि यदि एक दूषित हो जाए, तो अन्य गलतियों को प्रकट कर सकें और उन्हें ठीक कर सकें। वर्षों से, मानक दृष्टिकोण ने प्रत्येक संभावित त्रुटि को समान रूप से संभावित माना है, और उन्हें केवल इस आधार पर गिना है कि उनमें कितने कण शामिल हैं। यह ऐसा है जैसे यह मान लेना कि एक पुस्तक में टाइपो (typo) होना उतना ही सामान्य है जितना कि एक एकल अक्षर का गायब होना, जितना कि पूरे पैराग्राफ का अर्थहीन होना। हालाँकि, कई वास्तविक दुनिया की प्रणालियों में, जैसे कि डेटा स्टोर करने के लिए उपयोग किए जाने वाले परमाणुओं के घूमते हुए नाभिक (nuclei), बड़े और अराजक बदलावों की तुलना में छोटी गलतियाँ कहीं अधिक आम हैं। इन प्रणालियों का भौतिक विज्ञान स्वाभाविक रूप से बड़े उछालों के बजाय छोटे, कोमल बदलावों को प्राथमिकता देता है।

भौतिकविदों की एक टीम ने अब एक नया ढांचा विकसित किया है जो इस वास्तविकता को ध्यान में रखता है। त्रुटियों को गिनने के लिए कि वे कितने कणों को छूती हैं, इसके बजाय, वे उन्हें उनके द्वारा उत्पन्न किए गए बदलाव के आकार से मापते हैं। यह दृष्टिकोण, जिसे ली मेट्रिक (Lee metric) कहा जाता है, एक छोटे से धक्के को एक मामूली त्रुटि और एक बड़ी छलांग को एक बड़ी त्रुटि मानता है। इन छोटे, बार-बार होने वाले धक्कों से विशेष रूप से सुरक्षा करने वाले कोड डिजाइन करके, शोधकर्ताओं ने पाया कि वे बहुत अधिक कुशल सिस्टम बना सकते हैं। उन्होंने पाया कि कुछ प्रकार के क्वांटम हार्डवेयर के लिए, ये नए कोड पुराने तरीकों की तुलना में कम भौतिक कणों का उपयोग करके त्रुटियों का पता लगा सकते हैं और उन्हें ठीक कर सकते हैं। कुछ मामलों में, उन्होंने ऐसे कोड खोजे जो दो प्रकार की त्रुटियों को केवल छह कणों के साथ ठीक कर सकते थे, जबकि पारंपरिक पद्धति को ग्यारह कणों की आवश्यकता होती। यह दक्षता एक महत्वपूर्ण प्रगति है, जो यह सुझाव देती है कि हम असंभव रूप से बड़ी संख्या में घटकों की आवश्यकता के बिना अधिक शक्तिशाली क्वांटम मेमोरी बना सकते हैं।

शोधकर्ताओं ने केवल बेहतर कोड खोजने तक ही सीमित नहीं रहे; उन्होंने यह भी पता लगाया कि गणना के लिए आवश्यक जटिल क्रियाओं के दौरान ये कोड कैसे व्यवहार करते हैं। उन्होंने मानचित्रित किया कि जब क्वांटम गेट (quantum gates), जो सूचना को संचालित करने वाले उपकरण हैं, लागू किए जाते हैं, तो त्रुटियाँ कैसे फैलती हैं। उन्होंने पाया कि जबकि कुछ ऑपरेशन छोटी त्रुटियों को बढ़ा सकते हैं, अन्य उन्हें अपरिवर्तित छोड़ देते हैं, जिससे यह स्पष्ट होता है कि कौन से उपकरण उपयोग करने के लिए सुरक्षित हैं। उनके काम का एक विशेष रूप से चतुर हिस्सा इन नए कोडों को मानक दो-स्तरीय क्वबिट्स (two-level qubits) की भाषा में अनुवादित करना था। उन्होंने दिखाया कि चार-स्तरीय कणों पर बने कोड को दो-स्तरीय प्रणालियों के लिए मजबूत कोड में बदला जा सकता है, जिससे सूचना संग्रहीत करने के नए तरीके खुल गए जो पहले छिपे हुए थे। इस अनुवाद ने खुलासा किया कि इनमें से कुछ नए कोडों में विशेष गेट होते हैं जिन्हें सीधे पूरे सिस्टम पर लागू किया जा सकता है, जो एक ऐसी विशेषता है जो क्वांटम कंप्यूटिंग में दुर्लभ और अत्यधिक मूल्यवान है।

इन सफलताओं के बावजूद, शोध पत्र एक स्पष्ट सीमा भी निर्धारित करता है। टीम ने सिद्ध किया कि इन उन्नत कोडों के साथ भी, एक विशिष्ट, वांछनीय तरीके से सूचना की रक्षा करने की एक कठोर सीमा है। उन्होंने प्रदर्शित किया कि इन कोडों के लिए, त्रुटि-सुधार की दूरी (error-correcting distance) सिस्टम के आकार के साथ रैखिक रूप से (linearly) ही बढ़ सकती है, चाहे कणों की आंतरिक अवस्थाएँ कितनी भी बड़ी क्यों न हों। यह खोज एक अप्रत्याशित बाधा को प्रकट करती है कि बड़े-q क्वाडिट (large-q qudit) के विशाल आंतरिक हिल्बर्ट स्पेस (Hilbert space) का उपयोग उच्च-ली-दूरी (high-Lee-distance) वाले कोड बनाने के लिए नहीं किया जा सकता है। यह इस उम्मीद को खारिज करता है कि केवल कणों को बड़ा या अधिक जटिल बनाने से स्वचालित रूप से एक पूर्ण, स्व-सुधारने वाली क्वांटम मेमोरी बन जाएगी जो कमरे के तापमान पर काम करती है। भौतिकी के नियम, जैसा कि उनके विश्लेषण से पता चला है, त्रुटि-सुधार की शक्ति को थर्मल शोर (thermal noise) के मुकाबले तेजी से बढ़ने से रोकते हैं, जैसा कि कुछ लोगों ने आशा की थी।

हालाँकि, कहानी हार के साथ समाप्त नहीं होती है। शोधकर्ताओं ने कोड का एक विशिष्ट वर्ग पहचाना, जो सिस्टम के माध्यम से सर्पिल (spiral) पैटर्न को दोहराते हुए बनाया गया है, जो कुछ परिस्थितियों में अविश्वसनीय रूप से लंबे समय तक सूचना को संग्रहीत कर सकता है। ये कोड त्रुटियों के लिए एक वन-वे स्ट्रीट की तरह कार्य करते हैं; जबकि एक छोटी गलती करना आसान है, गलती से पूरी तरह से एक अलग, गलत अवस्था तक पहुँच जाना अत्यधिक कठिन है। सिमुलेशन में, इन कोडों ने सूचना को बनाए रखने की क्षमता दिखाई जो सिस्टम के बड़ा होने पर तेजी से (exponentially) बढ़ती है, बशर्ते कणों में पर्याप्त आंतरिक अवस्थाएँ हों। यह सुझाव देता है कि भले ही एक पूर्ण, सार्वभौमिक स्व-सुधारने वाली मेमोरी पहुंच से बाहर हो सकती है, फिर भी लंबे समय तक जीवित रहने वाली क्वांटम मेमोरी बनाने के लिए आशाजनक मार्ग मौजूद हैं, जो वास्तविक दुनिया में क्वांटम तकनीक के भविष्य के लिए एक यथार्थवादी उम्मीद प्रदान करते हैं। शोधकर्ताओं ने पाया कि ये स्पाइरल कोड एक प्रकार की त्रुटियों (Z-errors) को उच्च तापमान पर स्वचालित रूप से सुरक्षित कर सकते हैं, लेकिन क्या वे दूसरे प्रकार की त्रुटियों (X-errors) को भी उसी तरह सुरक्षित कर सकते हैं, यह अभी भी एक खुला प्रश्न बना हुआ है।

तकनीकी सारांश: ली मेट्रिक (Lee Metric) में क्वांटम कोड

समस्या विवरण
क्वांटम त्रुटि सुधार (quantum error correction) के वर्तमान सैद्धांतिक ढांचे मुख्य रूप से क्यूबिट्स (दो-स्तरीय प्रणालियों) को मानते हैं और हैमिंग मेट्रिक (Hamming metric) का उपयोग करते हैं, जो इस बात की गणना करता है कि कितनी भौतिक उप-प्रणालियों (physical subsystems) पर त्रुटि कार्य करती है। हालाँकि, कई भौतिक प्लेटफॉर्म, जैसे कि न्यूक्लियर स्पिन या सुपरकंडक्टिंग सर्किट, स्वाभाविक रूप से $q$ -स्तरीय प्रणालियों (qudits) को धारण करते हैं जहाँ $q > 2$ है। इन प्रणालियों में, त्रुटियों को अक्सर फेज स्पेस में छोटे विस्थापन (displacement noise वाले निरंतर-चर प्रणालियों के समान) के रूप में मॉडल किया जाता है, न कि मनमाने पाउली फ्लिप्स (Pauli flips) के रूप में। फलस्वरूप, एक परिमाण $k$ का विस्थापन (जैसे, $X^k$ ) परिमाण 1 के विस्थापन से भौतिक रूप से भिन्न होता है, और इसकी होने की प्रायिकता विस्थापन के परिमाण के साथ घटती जाती है। मानक हैमिंग मेट्रिक इस संरचना को पकड़ने में विफल रहता है, क्योंकि यह $X^1$ और $X^k$ को समान भार (weight) वाला त्रुटि मानता है यदि वे समान संख्या में क्वडिट्स पर कार्य करते हैं। यह शोध पत्र ली मेट्रिक का उपयोग करते हुए $\mathbb{Z}_q$ पर क्वांटम स्टेबलाइजर कोडों के लिए एक व्यवस्थित औपचारिक ढांचा विकसित करके साहित्य के इस अंतराल को संबोधित करता है, जो त्रुटियों को केवल उनके सपोर्ट साइज के बजाय उनके $X$ और $Z$ शिफ्ट के परिमाण के आधार पर भारित करता है।

कार्यप्रणाली
लेखक ली मेट्रिक में क्वांटम कोडों के लिए एक व्यापक सैद्धांतिक ढांचा विकसित करते हैं, जो शास्त्रीय ली-मेट्रिक कोडिंग थ्योरी को क्वांटम डोमेन में विस्तारित करता है। कार्यप्रणाली कई प्रमुख चरणों में आगे बढ़ती है:

मेट्रिक की परिभाषा: शोध पत्र $n$ क्वडिट्स पर पाउली स्ट्रिंग्स $X^x Z^z$ के लिए दो मेट्रिक्स को परिभाषित करता है:
- पृथक ली मेट्रिक (Separate Lee Metric): यह जोड़ी $(|x|_L, |z|_L)$ को रिकॉर्ड करता है, जो CSS कोड के लिए उपयुक्त है।
- संयुक्त ली मेट्रिक (Joint Lee Metric): यह योग $|x|_L + |z|_L$ को रिकॉर्ड करता है। क्यूबिट्स के लिए, यह $Y$ त्रुटियों को भार 2 और $X$ तथा $Z$ को भार 1 देता है, जो इस धारणा को दर्शाता है कि $Y$ त्रुटियाँ स्वतंत्र $X$ और $Z$ प्रक्रियाओं से उत्पन्न होती हैं। ली वेट $|x|_L$ को $\sum \min(x_i, q-x_i)$ के रूप में परिभाषित किया गया है।
स्टेबलाइजर फॉर्मलिज्म (Stabilizer Formalism): लेखक ली मेट्रिक का उपयोग करके $\mathbb{Z}_q$ के लिए सिम्प्लेक्टिक स्टेबलाइजर फॉर्मलिज्म का सामान्यीकरण करते हैं। वे स्फीयर-पैकिंग बाउंड्स (sphere-packing bounds) प्राप्त करते हैं और उन परफेक्ट कोड्स (perfect codes) की पहचान करते हैं जो इन सीमाओं को छूते हैं। हैमिंग मेट्रिक के विपरीत, जहाँ परफेक्ट क्वांटम कोड दुर्लभ हैं और दूरी 3 तक सीमित हैं, ली मेट्रिक उच्च दूरी और विविध मापदंडों (जैसे, $\mathbb{Z}_{10}$ पर एक सिंगल-क्विडिट परफेक्ट कोड) वाले परफेक्ट कोड की अनुमति देता है।
CSS कोड और टोरशन (Torsion): कार्य का एक महत्वपूर्ण हिस्सा कंपोजिट $q$ पर CSS कोड पर केंद्रित है। लेखक कोडस्पेस संरचना का विश्लेषण करने के लिए पैरिटी-चेक मैट्रिसेस के स्मिथ नॉर्मल फॉर्म (Smith Normal Form - SNF) का उपयोग करते हैं। वे स्पष्ट रूप से "टोरशन फैक्टर्स" को परिभाषित करते हैं, जहाँ लॉजिकल क्वडिट्स के आयाम $q$ को विभाजित करते हैं लेकिन $q$ से कम होते हैं। यह विशिष्ट आयामों वाले लॉजिकल ऑपरेटर्स के निर्माण और लॉजिकल ऑपरेटर्स के स्पष्ट संयुग्मी युग्मों (conjugate pairs) के व्युत्पन्न की अनुमति देता है।
फॉल्ट टॉलरेंस और गेट स्प्रेड: शोध पत्र क्लिफोर्ड गेट्स (Clifford gates) के लिए ली एरर स्प्रेड ( $w_B$ ) की अवधारणा पेश करता है, जो यह मापता है कि एक गेट त्रुटि के ली वेट को कितना बढ़ा सकता है। यह GKP कोड्स में विस्थापन त्रुटियों के प्रवर्धन (amplification) के समान है। लेखक सिद्ध करते हैं कि किसी लॉजिकल गेट की फॉल्ट दूरी, कोड की दूरी और गेट के स्प्रेड के अनुपात द्वारा सीमित होती है। वे स्प्रेड 1 वाले गेटों (परम्यूटेशन और फूरियर गेट्स) की पहचान करते हैं जो ली वेट को सटीक रूप से संरक्षित करते हैं।
ग्रे मैप्स (Gray Maps) के माध्यम से क्यूबिटाइजेशन: क्वडिट और क्यूबिट आर्किटेक्चर के बीच के अंतर को पाटने के लिए, लेखक $\mathbb{Z}_4$ स्टेबलाइजर कोड को क्यूबिट कोड में बदलने के लिए ग्रे मैप का उपयोग करते हैं। वे प्रदर्शित करते हैं कि यह मैप $\mathbb{Z}_4^n$ पर ली मेट्रिक से $\mathbb{Z}_2^{2n}$ पर हैमिंग मेट्रिक में एक आइसोमेट्री (isometry) है। महत्वपूर्ण रूप से, वे दिखाते हैं कि जबकि $\mathbb{Z}_4$ पाउली ऑपरेटर्स क्यूबिट क्लिफोर्ड गेट्स में मैप होते हैं, $\mathbb{Z}_4$ क्लिफोर्ड गेट्स क्लिफोर्ड पदानुक्रम (Clifford hierarchy) के तीसरे स्तर (जिसमें $T$ और $CS$ जैसे नॉन-क्लिफोर्ड गेट्स शामिल हैं) में मैप होते हैं।
ली-LDPC कोड और सीमाएँ: लेखक ली-LDPC कोड को परिभाषित करते हैं, जहाँ चेक मैट्रिसेस का ली वेट सीमित होता है। संख्या सिद्धांत (geometry of numbers) के उपकरणों का उपयोग करते हुए, वे सिद्ध करते हैं कि किसी भी गैर-तुच्छ (nontrivial) क्वांटम ली-LDPC कोड के लिए, ली दूरी $n$ के सापेक्ष $O(n)$ से अधिक नहीं हो सकती है, जो $q$ के संबंध में समान रूप से लागू होता है। यह एक बाधा स्थापित करता है कि उच्च-दूरी वाले कोड प्राप्त करने के लिए केवल $q$ को बढ़ाना पर्याप्त नहीं है।
सेल्फ-करेक्शन और मेमोरी: शोध पत्र हेलिकल रिपिटिशन कोड्स (helical repetition codes) और उनके हाइपरग्राफ उत्पादों की जांच करता है। वे दिखाते हैं कि स्थानीय मेट्रोपोलिस डायनेमिक्स के तहत, कुछ शास्त्रीय हेलिकल कोड्स बड़े $q$ के लिए पर्याप्त तापमान पर तेजी से घटित होने वाली मेमोरी समय (exponentially long memory times) प्रदर्शित करते हैं, जिसका श्रेय ऊर्जा अवरोधों और एंट्रॉपी प्रभावों दोनों को दिया जाता है। जब इन्हें हाइपरग्राफ उत्पादों के माध्यम से क्वांटम CSS कोड में विस्तारित किया जाता है, तो ये कोड $Z$ त्रुटियों के लिए सेल्फ-करेक्शन विरासत में प्राप्त करते हैं, हालांकि $X$ त्रुटि स्व-सुधार की स्थिति एक खुला प्रश्न बनी हुई है।

प्रमुख योगदान और परिणाम

औपचारिकता (Formalism): संयुक्त और पृथक ली मेट्रिक्स सहित, दोनों ली मेट्रिक्स का उपयोग करके $\mathbb{Z}_q$ कोड के लिए एक कठोर स्टेबलाइजर फॉर्मलिज्म स्थापित किया गया, जिसमें स्फीयर-पैकिंग बाउंड्स और परफेक्ट कोड्स का वर्गीकरण शामिल है।
क्यूबिट लाभ: यह प्रदर्शित किया गया कि क्यूबिट्स के लिए, संयुक्त ली मेट्रिक (जो $Y$ त्रुटियों को दो बार गिनता है) के लिए अनुकूलित करने पर हैमिंग मेट्रिक की तुलना में उच्च दूरी वाले कोड प्राप्त होते हैं। उदाहरण के लिए, एक $[[9, 1, 5]]$ ली-डिस्टेंस कोड किसी भी दो $X/Z$ त्रुटियों या एक $Y$ त्रुटि को ठीक कर सकता है, जबकि दो मनमाने त्रुटियों को ठीक करने वाला सबसे छोटा हैमिंग-डिस्टेंस कोड 11 क्यूबिट्स की आवश्यकता रखता है।
परफेक्ट कोड्स: नए परिवारों के परफेक्ट क्वांटम ली कोड्स की पहचान की गई, जिसमें $\mathbb{Z}_{10}$ पर सिंगल-क्विडिट कोड और $\mathbb{Z}_{3^m}$ पर परिवार शामिल हैं, जो समान मापदंडों के लिए हैमिंग मेट्रिक में मौजूद नहीं हैं।
ईस्टिन-क्निल उल्लंघन (Eastin-Knill Violation): दिखाया गया कि ईस्टिन-क्निल प्रमेय (जो हैमिंग मेट्रिक में सभी सिंगल-क्विडिट त्रुटियों का पता लगाने वाले कोड्स के लिए ट्रांसवर्सल नॉन-क्लिफोर्ड गेट्स को रोकता है) ली-मेट्रिक कोड्स पर लागू नहीं होता है। लेखक $\mathbb{Z}_{10}$ पर एक परफेक्ट टू-क्विडिट कोड प्रस्तुत करते हैं जो सभी ली-वेट-1 त्रुटियों को ठीक करता है, फिर भी इसमें ट्रांसवर्सल लॉजिकल गेट्स का एक निरंतर परिवार मौजूद है।
क्यूबिटाइजेशन: ग्रे मैप्स का उपयोग करके $\mathbb{Z}_4$ कोड्स को "क्यूबिटाइज" करने का एक तरीका प्रदान किया गया, जो उन्हें क्लिफोर्ड पदानुक्रम के तीसरे स्तर पर ट्रांसवर्सल गेट्स वाले नॉन-एडिटिव क्यूबिट कोड्स में बदल देता है।
दूरी सीमाएँ: सिद्ध किया गया कि ली-LDPC कोड्स के लिए, ली दूरी $q$ के बावजूद $O(n)$ तक सीमित है। यह सामान्य कोड्स के विपरीत है जहाँ निश्चित $n$ के लिए दूरी $q$ के साथ बढ़ सकती है, जो ली मेट्रिक में स्पार्स-चेक निर्माणों की एक मौलिक सीमा को रेखांकित करता है।
उच्च-तापमान मेमोरी: प्रदर्शित किया गया कि शास्त्रीय हेलिकल रिपिटिशन कोड्स बड़े $q$ की सीमा में सिमिट्री ब्रेकिंग के कारण तेजी से घटित होने वाली मेमोरी के रूप में कार्य कर सकते हैं। उनके क्वांटम हाइपरग्राफ उत्पाद $Z$ त्रुटियों के लिए स्व-सुधार वाले स्थानीय 2D कोड प्रदान करते हैं।

महत्व
यह शोध पत्र तर्क देता है कि ली मेट्रिक, विशेष रूप से स्पिन क्यूब्स जैसे सिस्टम में जहाँ छोटे-शिफ्ट शोर (small-shift noise) हावी होता है, क्वांटम त्रुटि सुधार के लिए एक अधिक यथार्थवादी और संभावित रूप से अधिक शक्तिशाली ढांचा प्रदान करता है। हैमिंग मेट्रिक से आगे बढ़कर, लेखक निम्नलिखित को प्रकट करते हैं:

दक्षता: जब विशिष्ट शोर प्रोफाइल (कम-भार वाले शिफ्ट) के अनुरूप बनाया जाता है, तो कोड अधिक कुशल हो सकते हैं (समान त्रुटि सुधार क्षमता के लिए कम भौतिक संसाधन)।
नई संभावनाएँ: ली मेट्रिक परफेक्ट कोड्स और ट्रांसवर्सल गेट सेट्स के अस्तित्व को सक्षम बनाता है जो हैमिंग मेट्रिक में वर्जित हैं, जो ईस्टिन-क्निल जैसे मानक नो-गो थ्योरम्स को चुनौती देते हैं जब त्रुटि मॉडल को छोटे शिफ्ट तक सीमित कर दिया जाता है।
स्केलेबिलिटी सीमाएँ: जबकि बड़ा $q$ लाभ प्रदान करता है, शोध पत्र ली-LDPC कोड्स के लिए एक सख्त $O(n)$ सीमा की पहचान करता है, जो यह सुझाव देता है कि LDPC ढांचे के भीतर उच्च-दूरी, स्व-सुधार वाले क्वांटम मेमोरी प्राप्त करने के लिए केवल स्थानीय आयाम $q$ को बढ़ाना पर्याप्त नहीं है।

यह कार्य क्वांटम कोड्स और प्रयोगात्मक त्रुटि मॉडलों के "को-डिज़ाइन" (co-design) की ओर एक आधारभूत कदम है, जो उच्च-आयामी हिल्बर्ट स्पेस का उपयोग अधिक मजबूत क्वांटम कंप्यूटिंग के लिए करने का मार्ग प्रशस्त करता है।

इसी तरह के और पेपर