Random-Oracle Unitary Synthesis is Impossible

क्वांटम दुनिया में, भौतिकी के मौलिक नियम रूपांतरणों की एक लगभग अनंत विविधता की अनुमति देते हैं। कल्पना कीजिए कि एक ऐसी मशीन है जो सूचना के एक टुकड़े को किसी भी संभव आकार में, चाहे वह कितना भी जटिल या विचित्र क्यों न हो, मोड़ सकती है। ये रूपांतरण, जिन्हें 'यूनिटरी' (unitaries) कहा जाता है, क्वांटम कंप्यूटिंग के निर्माण खंड हैं। हालाँकि, केवल इसलिए कि प्रकृति एक रूपांतरण की अनुमति देती है, इसका मतलब यह नहीं है कि एक कंप्यूटर उसे बना सकता है। उन यूनिटरीज़ के बीच एक विशाल अंतर है जिन्हें बनाना आसान है और उनके बीच जो वर्तमान तकनीक के साथ बनाना प्रभावी रूप रूप से असंभव है। दशकों से, वैज्ञानिक यह जानना चाहते थे कि क्या यह विभाजन वास्तविक है या यह केवल हमारी समझ में एक कमी है। विशेष रूप से, उन्होंने पूछा कि क्या प्रत्येक कठिन क्वांटम रूपांतरण को केवल एक विशिष्ट, कठिन शास्त्रीय फलन (classical function) को जानकर बनाया जा सकता है। यदि उत्तर हाँ होता, तो इसका अर्थ होता कि क्वांटम कंप्यूटिंग की सबसे कठिन समस्याएँ उतनी ही कठिन हैं जितनी कि शास्त्रीय कंप्यूटिंग की सबसे कठिन समस्याएँ, जो दोनों दुनियाओं को मजबूती से जोड़ती हैं। यदि उत्तर नहीं होता, तो यह सुझाव देता कि क्वांटम यांत्रिकी में ऐसे रहस्य हैं जिन्हें शास्त्रीय तर्क नहीं खोल सकता, जिसके लिए संभावित रूप से एक पूरी तरह से नए जटिलता सिद्धांत (theory of complexity) की आवश्यकता होगी।

शोधकर्ताओं की एक टीम ने खेल के नियमों को थोड़ा बदलकर इस प्रश्न की जांच की है। यह पूछने के बजाय कि क्या एक कंप्यूटर एक विशिष्ट, जटिल फलन का उपयोग करके एक विशिष्ट रूपांतरण बना सकता है, उन्होंने पूछा कि क्या एक कंप्यूटर केवल एक यादृच्छिक (random), संरचनाहीन फलन का उपयोग करके एक पूरी तरह से यादृच्छिक, अप्रत्याशित रूपांतरण बना सकता है। इस बदलाव ने उन्हें यह परीक्षण करने की अनुमति दी कि जब इनपुट डेटा में शोषण के लिए कोई छिपे हुए पैटर्न न हों, तो क्या संभव है। उनके निष्कर्ष निर्णायक हैं: एक यादृच्छिक फलन का उपयोग करके एक वास्तविक यादृच्छिक क्वांटम रूपांतरण को कुशलतापूर्वक संश्लेषित करना असंभव है। उन्होंने सिद्ध किया कि चाहे एल्गोरिदम कितना भी चतुर क्यों न हो, यदि वह एक ऐसे फलन पर निर्भर करता है जिसे यादृच्छिक रूप से चुना गया है, तो वह वांछित क्वांटम अवस्था बनाने में विफल रहेगा, जब तक कि वह एक खगोलीय बड़ी संख्या में प्रश्न न पूछे। यह परिणाम एक लंबे समय से चल रहे विवाद को यह दिखाकर सुलझाता है कि जटिल क्वांटम अवस्थाओं को बनाने की क्षमता पूरी तरह से प्रदान की गई सूचना की संरचना पर निर्भर करती है। उस संरचना के बिना, कार्य पहुंच से बाहर रहता है।

शोधकर्ताओं ने क्वांटम क्रिप्टोग्राफी में उपयोग किए जाने वाले एक संबंधित सिद्धांत, 'स्यूडो रैंडम यूनिटरीज' (pseudorandom unitaries), की भी खोज की। ये ऐसे क्वांटम रूपांतरण हैं जो उन लोगों के लिए यादृच्छिक दिखते हैं जो उनके निर्माण में उपयोग की गई गुप्त कुंजी (secret key) को नहीं जानते हैं, भले ही उन्हें एक सरल, कुशल प्रक्रिया द्वारा बनाया गया हो। वर्षों से, इन "नकली" यादृच्छिक रूपांतरणों को बनाने के सर्वोत्तम ज्ञात तरीके सीमित थे; वे केवल एक ऐसे पर्यवेक्षक को मूर्ख बना सकते थे जो अपेक्षाकृत कम संख्या में प्रश्न पूछता था। शोधकर्ता यह जानना चाहते थे कि क्या यह सीमा एक अस्थायी तकनीकी बाधा थी या प्रकृति का एक मौलिक नियम। उन्होंने एक नई विधि का निर्माण किया जो इन रूपांतरणों को इस तरह से सफलतापूर्वक बनाती है जो एक ऐसे पर्यवेक्षक के विरुद्ध भी सुरक्षित रहती है जो बहुत बड़ी संख्या में प्रश्न पूछता है, विशेष रूप से सिस्टम के कुल आकार के समानुपाती संख्या तक। यह पिछले तरीकों की तुलना में एक महत्वपूर्ण सुधार है, जो केवल सिस्टम के वर्गमूल के समानुपाती प्रश्नों की संख्या तक ही संभाल सकते थे।

हालाँकि, उनके काम ने एक कठिन सीमा भी प्रकट की। जबकि वे इन नकली यादृच्छिक रूपांतरणों की सुरक्षा को पहले की तुलना में बहुत आगे तक ले जा सके, उन्होंने सिद्ध किया कि यदि प्रक्रिया को कुशल बनाए रखना है, तो इसे सैद्धांतिक अधिकतम तक ले जाना असंभव है। उन्होंने प्रदर्शित किया कि यदि किसी विधि के लिए चरणों की संख्या के संदर्भ में कुशल होना आवश्यक है, तो वह एक बहुत बड़ी संख्या में प्रश्न पूछने वाले पर्यवेक्षक के विरुद्ध सुरक्षित नहीं रह सकती। यह एक सटीक सीमा बनाता है: आपके पास एक ऐसी विधि हो सकती है जो कुशल है और मध्यम संख्या में प्रश्नों के विरुद्ध सुरक्षित है, या आपके पास एक ऐसी विधि हो सकती है जो भारी संख्या में प्रश्नों के विरुद्ध सुरक्षित है, लेकिन आप एक ही समय में दोनों नहीं रख सकते। यह निष्कर्ष बताता है कि क्वांटम क्रिप्टोग्राफी में वर्तमान सीमाएँ केवल बेहतर एल्गोरिदम की प्रतीक्षा करने का मामला नहीं हैं; वे संभवतः ब्रह्मांड की एक मौलिक बाधा हैं।

अध्ययन ने इस व्यापक प्रश्न को भी संबोधित किया कि क्या हम कभी एक सार्वभौमिक मशीन बना सकते हैं जो सही शास्त्रीय निर्देशों के साथ किसी भी क्वांटम रूपांतरण को संश्लेषित कर सके। यह दिखाते हुए कि यादृच्छिक इनपुट यादृच्छिक आउटपुट उत्पन्न करने में विफल रहते हैं, शोधकर्ताओं ने प्रमाण दिया कि इनपुट की संरचना अनिवार्य है। केवल एक शक्तिशाली कंप्यूटर और एक यादृच्छिक फलन होना पर्याप्त नहीं है; वांछित परिणाम की ओर कंप्यूटर को निर्देशित करने के लिए फलन को सावधानीपूर्वक डिज़ाइन किया जाना चाहिए। यह दर्शाता है कि कुछ क्वांटम अवस्थाओं को बनाने की कठिनाई केवल कम्प्यूटेशनल शक्ति का मामला नहीं है, बल्कि उनके वर्णन के लिए आवश्यक सूचना की प्रकृति के प्रति अंतर्निहित है। यह कार्य इस विचार पर प्रभावी रूप से दरवाजा बंद करता है कि एक सरल, यादृच्छिक ऑरेकल (oracle) सभी क्वांटम संभावनाओं को खोलने के लिए एक सार्वभौमिक कुंजी के रूप में कार्य कर सकता है।

अंत में, यह शोध पत्र एक ऐसा चित्र प्रस्तुत करता है जहाँ दक्षता और यादृच्छिकता के बीच तनाव है। शोधकर्ताओं ने दिखाया कि जबकि हम यादृच्छिकता की बहुत प्रभावशाली नकल बना सकते हैं, यदि हम प्रक्रिया को तेज़ रखना चाहते हैं तो उन नकलियों की गुणवत्ता की एक कठोर सीमा है। उन्होंने यह भी दिखाया कि किसी भी क्वांटम रूपांतरण को बनाने के लिए एक सरल, यादृच्छिक फलन का उपयोग करने की आशा निराधार है। परिणाम केवल एक नया एल्गोरिदम या एक नई सीमा नहीं देते हैं; वे क्वांटम क्षेत्र में क्या संभव है उसकी सीमाओं को फिर से परिभाषित करते हैं। वे हमें बताते हैं कि क्वांटम दुनिया की जटिलता एक भ्रम नहीं है जिसे एक चतुर चाल से दरकिनार किया जा सकता है, बल्कि एक वास्तविक विशेषता है जिसके लिए नेविगेट करने हेतु विशिष्ट, संरचित सूचना की आवश्यकता होती है। क्वांटम तकनीक का भविष्य बनाने वालों के लिए, इसका अर्थ है कि आगे का रास्ता केवल अधिक शक्ति नहीं, बल्कि अधिक सटीक डिज़ाइन की मांग करता है। ब्रह्मांड, ऐसा प्रतीत होता है, जवाब देने से पहले यह चाहता है कि हम बिल्कुल जानते हों कि हम क्या मांग रहे हैं।