A deterministic polynomial chaos Galerkin method for non-Markovian quantum state diffusion

क्वांटम दुनिया में, कण शायद ही कभी अकेले अस्तित्व में होते हैं। वे लगातार अपने आसपास के वातावरण से टकराते रहते हैं, खींचते हैं और ऊर्जा का आदान-प्रदान करते हैं, चाहे वह वातावरण गैस का बादल हो, एक ठोस क्रिस्टल हो, या विद्युत चुम्बकीय तरंगों का सागर हो। जब एक क्वांटम सिस्टम अपने परिवेश के साथ परस्पर क्रिया करता है, तो वह अपने नाजुक, अलग गुणों को खो देता है और ऐसे तरीकों से व्यवहार करने लगता है जिन्हें समझना कठिन होता है। वैज्ञानिक इन्हें "ओपन क्वांटम सिस्टम" (खुली क्वांटम प्रणालियाँ) कहते हैं। चुनौती यह पता लगाने की है कि सिस्टम कैसे बदलता है, बिना उस विशाल वातावरण के हर एक कण को ट्रैक किए जिससे वह स्पर्श कर रहा है। यह विशेष रूप से तब कठिन हो जाता है जब वातावरण में "स्मृति" (मेमोरी) होती है, जिसका अर्थ है कि सिस्टम की पिछली अंतःक्रियाएं उसके भविष्य के व्यवहार को प्रभावित करती रहती हैं। इसे नॉन-मार्कोवियन डायनेमिक्स (non-Markovian dynamics) के रूप में जाना जाता है, और इसका अनुकरण (सिमुलेशन) करना उन शोधकर्ताओं के लिए एक बाधा रहा है जो रासायनिक प्रतिक्रियाओं से लेकर भविष्य के क्वांटम कंप्यूटरों के संचालन तक सब कुछ समझने की कोशिश कर रहे हैं।

दशकों से, इस समस्या से निपटने का मानक तरीका हजारों रैंडम सिमुलेशन चलाना रहा है। कल्पना कीजिए कि आप हर कदम पर हवा की दिशा का अनुमान लगाने के लिए एक कंप्यूटर मॉडल चलाकर मौसम की भविष्यवाणी करने की कोशिश कर रहे हैं; परिणाम एक अराजक मिश्रण होगा। एक विश्वसनीय पूर्वानुमान प्राप्त करने के लिए, आपको उस मॉडल को थोड़े अलग रैंडम अनुमानों के साथ हजारों बार चलाना होगा और फिर परिणामों का औसत निकालना होगा। वर्तमान विधियाँ ओपन क्वांटम सिस्टम के लिए बिल्कुल इसी तरह काम करती हैं: वे सिस्टम के लिए हजारों "ट्रैजेक्टरीज" (संभावित पथों), या संभावित इतिहासों को उत्पन्न करती हैं, और वास्तविक व्यवहार खोजने के लिए उनका औसत निकालती हैं। हालांकि यह दृष्टिकोण काम करता है, लेकिन यह अविश्वसनीय रूप से धीमा है और सांख्यिकीय शोर (statistical noise) के प्रति संवेदनशील है, जिसका अर्थ है कि जब तक आप एक बड़ी संख्या में सिमुलेशन नहीं चलाते, उत्तर कभी भी पूरी तरह से स्पष्ट नहीं होता।

सिंगापुर नेशनल यूनिवर्सिटी के शोधकर्ताओं की एक टीम ने एक अलग रास्ता प्रस्तावित किया है। हजारों रैंडम अनुमानों पर निर्भर रहने के बजाय, उन्होंने एक ऐसी विधि विकसित की है जो इस समस्या को एक एकल, नियत (डिटरमिनिस्टिक) गणना में बदल देती है। इसे एक हजार बार मौसम मॉडल चलाने की आवश्यकता के बजाय एक एकल, अत्यधिक परिष्कृत समीकरण के रूपв रूप में देखें जो एक साथ सभी संभावनाओं को समाहित करता है। उनकी नई तकनीक, जिसे 'डिटरमिनिस्टिक पॉलिनोमियल चाओस गैलरकिन मेथड' (deterministic polynomial chaos Galerkin method) कहा जाता है, वैज्ञानिकों को एक ही बार में, स्मृति रखने वाले वातावरण के साथ परस्पर क्रिया करने वाले क्वांटम सिस्टम के व्यवहार का एक अत्यधिक सटीक सन्निकटन (approximation) कंप्यूट करने की अनुमति देती है। इसका परिणाम एक ऐसी गणना है जो न केवल रैंडम सैंपलिंग की सांख्यिकीय त्रुटियों से मुक्त है, बल्कि पारंपरिक तरीकों की तुलना में सैकड़ों गुना तेज भी है।

इस सफलता का मूल आधार यह है कि शोधकर्ता वातावरण की "स्मृति" को कैसे संभालते हैं। पुराने दृष्टिकोण में, स्मृति को एक जटिल, बदलते हुए रैंडम शोर के रूप में माना जाता है जो हर बार सिमुलेशन चलाने पर बदल जाता है। नई विधि इस शोर को निर्माण खंडों (building blocks) के एक सीमित सेट में तोड़ देती है, ठीक वैसे ही जैसे एक जटिल ध्वनि को संगीत के विशिष्ट नोट्स के सेट में विभाजित किया जाता है। इन निश्चित घटकों के साथ वातावरण के प्रभाव का प्रतिनिधित्व करके, शोधकर्ता गति के समीकरणों को इस तरह से फिर से लिख सकते हैं कि वे अब रैंडम संयोग पर निर्भर नहीं रहते। इसके बजाय, समस्या गतियों का एक सेट बन जाती है जो यह वर्णन करती है कि सिस्टम इन निश्चित घटकों के आधार पर कैसे विकसित होता है। यह एक अराजक, संभाव्य समस्या को एक संरचित, पूर्वानुमेय समस्या में बदल देता है जिसे मानक कंप्यूटर सॉल्वर उच्च सटीकता के साथ संभाल सकते हैं।

अपने विचार का परीक्षण करने के लिए, टीम ने इस विधि को कई चुनौतीपूर्ण परिदृश्यों पर लागू किया जो क्वांटम भौतिकी में सामान्य हैं। उन्होंने एक सरल टू-लेवल सिस्टम (two-level system) को देखा, जो एक छोटे चुंबक के समान है जो ऊपर या नीचे की ओर इशारा कर सकता है, और जो कणों के एक गर्म स्नान (warm bath) के साथ परस्पर क्रिया करता है। उन्होंने पहाड़ियों और घाटियों के परिदृश्य के माध्यम से चलते हुए एक कण का भी अनुकरण किया, और यहाँ तक कि प्रसिद्ध डबल-स्लिट प्रयोग का भी मॉडल बनाया, जहाँ एक कण दो छिद्रों से गुजरता है और एक हस्तक्षेप पैटर्न (interference pattern) बनाता है। प्रत्येक मामले में, उन्होंने अपनी नई विधि की तुलना सर्वोत्तम मौजूदा तकनीकों के साथ की, जिसमें हजारों-ट्रैजेक्टरी वाला दृष्टिकोण और अन्य उन्नत गणितीय उपकरण शामिल हैं। परिणाम चौंकाने वाले थे। टू-लेवल सिस्टम टेस्ट में, नई विधि ने पारंपरिक रैंडम तरीकों की तुलना में काफी कम त्रुटियों के साथ परिणाम दिए, जबकि इसे चलाने में एक सेकंड से भी कम समय लगा। इसके विपरीत, पारंपरिक तरीकों को बहुत कम स्तर की सटीकता प्राप्त करने के लिए कई मिनटों से लेकर घंटों तक का समय लगा।

शोधकर्ताओं ने जटिल, तीन-आयामी प्रणालियों का अनुकरण करके अपनी विधि को उसकी सीमाओं तक पहुँचाया, जहाँ कण एक श्रृंखला में एक साथ जुड़े होते हैं। ये सिमुलेशन विशेष रूप से कठिन होते हैं क्योंकि जैसे-जैसे सिस्टम बढ़ता है, चरों (variables) की संख्या विस्फोट के साथ बढ़ती है। इन जटिल मामलों में भी, नई विधि ने सफलतापूर्वक कैप्चर किया कि कण समय के साथ एक-दूसरे को कैसे प्रभावित करते हैं, और सहसंबंध (correlation) तथा गति के अपेक्षित पैटर्न को उच्च शुद्धता के साथ पुनरुत्पादित किया। यह विधि नॉन-क्वाड्रेटिक पोटेंशियल (non-quadratic potentials) को संभालने में भी सक्षम सिद्ध हुई, जो ऐसे परिदृश्य हैं जो साधारण परवलय (parabolas) नहीं हैं, और इसने सटीक रूप से उस क्वांटम इंटरफेरेंस के दमन को मॉडल किया जब वातावरण बहुत शोर वाला हो जाता है। ये निष्कर्ष बताते हैं कि यह विधि उन वास्तविक, अव्यवस्थित स्थितियों को संभालने के लिए पर्याप्त मजबूत है जो अक्सर सरल मॉडलों को विफल कर देती हैं।

इस दृष्टिकोण का एक सबसे महत्वपूर्ण लाभ इसकी दक्षता है। क्योंकि यह हजारों रैंडम ट्रैजेक्टरीज के समूह को एक एकल नियत समाधान (deterministic solve) से बदल देता है, इसलिए कम्प्यूटेशनल लागत पिछले आवश्यक ट्रैजेक्टरीज की संख्या के लगभग बराबर के कारक से गिर जाती है। परीक्षणों में, इसका अर्थ सैकड़ों गुना की गति वृद्धि थी। इसके अलावा, क्योंकि यह विधि रैंडम सैंपलिंग पर निर्भर नहीं है, यह "सांख्यिकीय शोर" को समाप्त कर देती है जो अक्सर डेटा में सूक्ष्म विवरणों को धुंधला कर देता है। यह शोधकर्ताओं को सूक्ष्म प्रभावों को देखने की अनुमति देता है, जैसे कि एक क्वांटम तरंग सटीक रूप से कैसे फैलती है या यह खुद के साथ कैसे हस्तक्षेप करती है, बिना रैंडम त्रुटि के धुंधलेपन के प्रभाव के। यह विधि लचीली भी है; इसे विभिन्न प्रकार के वातावरणों वाले सिस्टमों पर लागू किया जा सकता है और इसे उन मानक संख्यात्मक सॉल्वरों (numerical solvers) का उपयोग करने के लिए अनुकूलित किया जा सकता है जो पहले से ही वैज्ञानिक कंप्यूटिंग में व्यापक रूप से उपलब्ध हैं।

यह कार्य अपने स्वयं के प्रतिबंधों के बिना नहीं है। शोधकर्ताओं ने नोट किया कि जैसे-जैसे वातावरण की जटिलता बढ़ती है, इसे वर्णित करने के लिए आवश्यक निर्माण खंडों की संख्या भी बढ़ती है। इसका अर्थ है कि अत्यंत बड़े या जटिल प्रणालियों के लिए, गणना का आकार अभी भी बढ़ेगा, हालांकि यह विधि विकल्पों की तुलना में अधिक कुशल बनी रहती है। टीम का सुझाव है कि भविष्य के कार्य इन निर्माण खंडों के चयन को अधिक अनुकूल बनाने पर केंद्रित हो सकते हैं, जिससे विधि को स्वचालित रूप से समस्या के सबसे महत्वपूर्ण हिस्सों पर अपना संसाधन केंद्रित करने की अनुमति मिल सके। हालाँकि, फिलहाल के लिए, यह विधि ओपन क्वांटम सिस्टम के अनुकरण के लिए एक शक्तिशाली नया उपकरण है।

एक समस्या को जो हजारों रैंडम अनुमानों की आवश्यकता रखती थी, उसे एक एकल, सटीक गणना में बदलकर, यह शोध वास्तविक दुनिया में क्वांटम सिस्टम के व्यवहार में एक स्पष्ट खिड़की प्रदान करता है। यह प्रदर्शित करता है कि क्वांटम मैकेनिक्स में मेमोरी प्रभावों के अनुकरण के लिए भारी मेहनत को ब्रूट-फोर्स एवरेजिंग (brute-force averaging) पर निर्भर होने की आवश्यकता नहीं है। इसके बजाय, सही गणितीय ढांचे के साथ, वैज्ञानिक बहुत कम समय में उच्च सटीकता प्राप्त कर सकते हैं। रैंडम सैंपलिंग से नियत गणना की ओर यह बदलाव क्वांटम प्रौद्योगिकियों के विकास को गति दे सकता है, जिससे शोधकर्ता अपने व्यवहार का अभूतपूर्व गति और स्पष्टता के साथ अनुकरण करके बेहतर सेंसर, अधिक कुशल रासायनिक प्रक्रियाएं और अधिक विश्वसनीय क्वांटम कंप्यूटरों को डिजाइन कर सकेंगे।