Bessel-Hagen currents, reducibility charges, and local gravitational energy

ब्रह्मांड में, गुरुत्वाकर्षण वह बल है जो तारों को एक साथ थामे रखता है और आकाशगंगाओं की गति को निर्देशित करता है। एक सदी से अधिक समय से, भौतिकविदों ने इस बल का वर्णन करने के लिए 'जनरल रिलेटिविटी' (सामान्य सापेक्षता) नामक नियमों के एक समूह का उपयोग किया है। ये नियम गुरुत्वाकर्षण को केवल एक खिंचाव के रूप में नहीं, बल्कि स्वयं स्थान (space) और समय (time) के ताने-बाने के एक झुकाव के रूप में देखते हैं। जबकि यह सिद्धांत ग्रहों की कक्षा या विशाल वस्तुओं के चारों ओर प्रकाश के मुड़ने का वर्णन करने के लिए खूबसूरती से काम करता है, लेकिन जब वैज्ञानिक एक सरल प्रश्न का उत्तर देने की कोशिश करते हैं: गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र की ऊर्जा वास्तव में कहाँ स्थित है?, तो यह एक गहरे पहेली में फंस जाता है। भौतिकी के अन्य सिद्धांतों में, जैसे कि विद्युत चुंबकत्व (electromagnetism), ऊर्जा का एक स्पष्ट पता होता है; आप एक विशिष्ट स्थान की ओर इशारा कर सकते हैं और कह सकते हैं, "ऊर्जा यहाँ है।" लेकिन गुरुत्वाकर्षण के लिए, उत्तर हमेशा निराशाजनक रूप से अस्पष्ट रहा है। ऊर्जा फैली हुई या छिपी हुई प्रतीत होती है, जिससे इसे अंतरिक्ष में किसी एक बिंदु पर बिना विरोधाभासों के निर्धारित करना असंभव हो जाता है। यह समस्या गुरुत्वाकर्षण तरंगों द्वारा कितनी ऊर्जा ले जाई जाती है, इसे समझने के लिए महत्वपूर्ण है, जो आधुनिक वेधशालाओं द्वारा पता लगाए गए स्थान-समय (space-time) की लहरें हैं।

शोधकर्ताओं के एक दल ने एक बहुत ही विशिष्ट प्रश्न पूछकर इस लंबे समय से चले आ रहे पहेली को सुलझाने का प्रयास किया है: क्या, सैद्धांतिक रूप से भी, एक ऐसा सूत्र लिखना संभव है जो गुरुत्वाकर्षण की ऊर्जा का वर्णन इस तरह से करे जो पूरी तरह से स्थानीय (local) और पूरी तरह से अपरिवर्तनीय (invariant) हो? इसे समझने के लिए, कल्पना कीजिए कि आप एक तालाब में लहर की ऊर्जा का वर्णन करने का प्रयास कर रहे हैं। यदि आप अपना दृष्टिकोण थोड़ा बदलते हैं, या अपने समन्वय तंत्र (coordinate system) को बदलते हैं, तो लहर की ऊर्जा का वर्णन भौतिकी के नियमों को तोड़े बिना नहीं बदलना चाहिए। शोधकर्ताओं की भाषा में, वे एक "स्ट्रिक्टली गेज-इनवेरिएंट" (सख्ती से गेज-अपरिवर्तनीय) विवरण की तलाश कर रहे हैं। यह कहने का एक तकनीकी तरीका है कि विवरण को सत्य और सुसंगत रहना चाहिए, चाहे आप अपने आस-पास के स्थान को कैसे भी मापें या लेबल करें। उन्होंने अपना ध्यान गुरुत्वाकर्षण के सबसे सरल संस्करण पर केंद्रित किया, जिसे 'लीनियराइज्ड ग्रेविटी' (रैखिकीकृत गुरुत्वाकर्षण) कहा जाता है, जो कमजोर गुरुकर्षण क्षेत्रों का वर्णन करता है, जैसे कि एक ब्लैक होल से बहुत दूर, जहाँ गणित अधिक प्रबंधनीय होता है। उन्होंने गुरुत्वाकर्षण के अधिक जटिल संस्करणों को भी देखा जिनमें स्थान-समय के वक्रता के वर्ग (curvature of space-time squared) शामिल हैं, जो वे सिद्धांत हैं जिन्हें मानक मॉडल की समस्याओं को ठीक करने के लिए प्रस्तावित किया गया है लेकिन अभी भी उनका परीक्षण किया जा रहा है।

शोधकर्ताओं ने यह पता लगाने के लिए कि क्या एक विशिष्ट प्रकार की गणितीय वस्तु, एक टेंसर (tensor) जो ऊर्जा घनत्व के मानचित्र के रूप में कार्य करता है, इन सिद्धांतों के लिए अस्तित्व में हो सकती है, एक व्यवस्थित खोज की। उन्होंने इस मानचित्र के लिए सख्त नियम लागू किए: इसे सरल, स्थानीय टुकड़ों से बना होना चाहिए, इसे एक बहुपद अभिव्यक्ति (polynomial expression) होनी चाहिए (जिसका अर्थ है कि इसमें क्षेत्र के मानों का मानक गुणा और जोड़ शामिल है), और इसे स्थान और समय की समरूपताओं का सम्मान करना चाहिए। उन्होंने सबसे स्पष्ट उम्मीदवारों की जांच से शुरुआत की। गुरुत्वाकर्षण के सबसे सरल सिद्धांत, जिसे 'फियर्स-पॉली' (Fierz-Pauli) कहा जाता है, के लिए गणित की आवश्यकता है कि ऊर्जा मानचित्र स्वयं क्षेत्र और उसके पहले परिवर्तनों से बना हो। हालाँकि, शोधकर्ताओं ने पाया कि इन सामग्रियों से एक गेज-इनवेरिएंट वस्तु बनाने का एकमात्र तरीका क्षेत्र के दूसरे परिवर्तनों, या वक्रता (curvature), को देखना है। यह एक विसंगति पैदा करता है: ऊर्जा मानचित्र को उन "डेरिवेटिव्स" या परिवर्तनों की आवश्यकता है जो सिद्धांत द्वारा एक सरल, स्थानीय सूत्र में मौजूद होने की अनुमति नहीं दी गई है। यह केवल ईंटों का उपयोग करके घर बनाने की कोशिश करने जैसा है जब ब्लूप्रिंट के लिए कंक्रीट से बनी नींव की आवश्यकता होती है; सामग्रियां डिजाइन में फिट नहीं बैठती हैं।

स्थान-समय की वक्रता से सीधे निर्मित अधिक जटिल सिद्धांतों की ओर बढ़ते हुए, शोधकर्ताओं ने एक विशाल, व्यवस्थित खोज की। उन्होंने वक्रता के हर संभावित संयोजन को ऊर्जा का प्रतिनिधित्व करने वाले आकार में संयोजित करने के तरीके सूचीबद्ध किए, और प्रत्येक की आवश्यक गुणों के लिए जाँच की। उन्होंने उन संयोजनों की तलाश की जो स्थान-समय के निर्देशांकों (coordinates) को बदलने या घुमाने पर भी समान रहेंगे। उन्होंने पाया कि चार आयामों में, केवल एक विशिष्ट गणितीय संरचना जिसने संरक्षण नियमों (अर्थात ऊर्जा का निर्माण या विनाश नहीं होता है) को संतुष्ट किया, वह शून्य निकली। सरल शब्दों में, एकमात्र "समाधान" जो उन्हें मिला, वह एक खाली पृष्ठ था। अन्य संभावित उम्मीदवार इसलिए विफल रहे क्योंकि वे ऊर्जा का संरक्षण नहीं करते थे या समन्वय परिवर्तन के साथ बदल जाते थे। उन्होंने अधिक विलक्षण, "विषम" (odd) संयोजनों की भी जाँच की जो परावर्तन के तहत अलग व्यवहार करते हैं, लेकिन विशिष्ट, सरल गुरुत्वाकर्षण तरंगों के विरुद्ध परीक्षण किए जाने पर वे भी लुप्त हो गए। परिणाम इन सिद्धांतों के लिए एक स्थानीय ऊर्जा मानचित्र के अस्तित्व के विरुद्ध एक निश्चित प्रमाण था।

यह निष्कर्ष महत्वपूर्ण है क्योंकि यह एक लंबे समय से चली आ रही आशा पर विराम लगाता है कि इन विशिष्ट ढांचों के भीतर गुरुत्वाकर्षण ऊर्जा का एक पूर्ण, स्थानीय विवरण पाया जा सकता है। शोधकर्ताओं ने दिखाया कि बाधा केवल एक विशेष अनुमान की विफलता नहीं है, बल्कि स्वयं सिद्धांत का एक मौलिक गुण है। उन्होंने प्रदर्शित किया कि स्थान-समय की अनुवाद समरूपता (translation symmetry), जो आमतौर पर एक संरक्षित ऊर्जा धारा की ओर ले जाती है, गुरुत्वाकर्षण में विद्युत चुंबकत्व की तुलना में अलग तरह से व्यवहार करती है। विद्युत चुंबकत्व में, स्थिति में एक साधारण बदलाव से एक स्पष्ट ऊर्जा घनत्व प्राप्त होता है। गुरुकर्षण में, वही बदलाव क्षेत्र के विवरण में एक "रिडंडेंसी" (अनावश्यकता) के रूप में कार्य करता है, एक ऐसी विशेषता जो स्थानीय ऊर्जा घनत्व के निर्माण को रोकता है। एक स्थानीय ऊर्जा मानचित्र के बजाय, सिद्धांत एक "सतह आवेश" (surface charge) प्रदान करता है, एक ऐसी मात्रा जिसे केवल एक क्षेत्र की सीमा (boundary) को देखकर मापा जा सकता है, न कि उसके भीतर के किसी बिंदु को। यह सतह आवेश वास्तविक और गैर-शून्य है, लेकिन यह उस स्थानीय ऊर्जा घनत्व से भिन्न वस्तु है जिसकी वैज्ञानिक तलाश कर रहे थे।

इस अध्ययन ने यह भी स्पष्ट किया कि क्यों एक युक्ति जो विद्युत चुंबकत्व के लिए काम करती है, वह गुरुत्वाकर्षण के लिए विफल हो जाती है। विद्युत चुंबकत्व में, यदि कोई गणना समन्वय के मनमाने चुनाव पर निर्भर करती प्रतीत होती है, तो त्रुटि को रद्द करने और वास्तविक, अपरिवर्तनीय ऊर्जा को प्रकट करने के लिए एक क्षतिपूर्ति समायोजन किया जा सकता है। शोधकर्ताओं ने दिखाया कि गुरुत्वाकर्षण के लिए, ऐसा क्षतिपूर्ति समायोजन बनाना असंभव है। गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र की गणितीय संरचना में एक छिपा हुआ, प्रति-सममित (antisymmetric) घटक होता है जिसे क्षेत्र चरों के किसी भी स्थानीय समायोजन द्वारा ठीक नहीं किया जा सकता है। यह समझाता है कि क्यों "कंपेंसेटर" (compensator) विधि, जो प्रकाश के लिए ऊर्जा टेंसर का सफलतापूर्वक उत्पादन करती है, गुरुत्वाकर्षण को लागू करने पर एक दीवार से टकरा जाती है। विफलता प्रयास की कमी या पहेली के गायब टुकड़े के कारण नहीं है, बल्कि इसलिए है क्योंकि गुरुत्वाकर्षण पहेली के टुकड़े अलग तरह से आकार लिए हुए हैं।

शोधकर्ताओं ने दो विशेष मामलों को भी संबोधित किया जो अक्सर गुरुत्वाकर्षण की चर्चाओं में दिखाई देते हैं: 'गॉस-बोनट टर्म' (Gauss-Bonnet term) और 'प्योर आर-स्क्वेर्ड ग्रेविटी' (pure R-squared gravity)। उन्होंने दिखाया कि ये सिद्धांत उनके मुख्य परिणाम के दायरे से बाहर हैं क्योंकि वे "डिजेनरेट" (degenerate) हैं। एक एक टोपोलॉजिकल टर्म है जो किसी भी वास्तविक, प्रसारित तरंगों का वर्णन नहीं करता है, और दूसरा एक ऐसे क्षेत्र का वर्णन करता है जो सामान्य तरीके से आगे नहीं बढ़ता है। चूंकि ये सिद्धांत गणितीय रूप से विलक्षण या तुच्छ हैं, इसलिए वे मुख्य निष्कर्ष के विरुद्ध एक प्रति-उदाहरण प्रदान नहीं करते हैं। वास्तविक, भौतिक तरंगों का वर्णन करने वाले गुरुत्वाकर्षण के मानक सिद्धांतों के लिए निष्कर्ष सुदृढ़ बना रहता है।

अंततः, यह कार्य गुरुत्वाकर्षण ऊर्जा के बारे में हमारी समझ के लिए एक स्पष्ट सीमा प्रदान करता है। यह पुष्टि करता है कि गुरुत्वाकर्षण के उन सिद्धांतों के लिए जो वास्तविक दुनिया का वर्णन करते हैं, ऊर्जा घनत्व के लिए कोई सख्त स्थानीय, गेज-इनवेरिएंट सूत्र नहीं है। गुरुत्वाकर्षण की ऊर्जा वह चीज़ नहीं है जिसे आप किसी विशिष्ट स्थान पर उसी तरह इंगित कर सकते हैं जैसे आप प्रकाश की किरण की ऊर्जा को इंगित कर सकते हैं। इसके बजाय, यह एक गुण है जो केवल तभी सार्थक होता है जब आप संपूर्ण क्षेत्र या उसकी सीमा को देखते हैं। इसका मतलब यह नहीं है कि ऊर्जा वास्तविक नहीं है; इसका मतलब केवल यह है कि इसकी प्रकृति अन्य बलों की ऊर्जा से मौलिक रूप से भिन्न है। इन सिद्धांतों में एक स्थानीय ऊर्जा घनत्व की खोज सही सूत्र खोजने के बारे में नहीं है, बल्कि यह पहचानने के बारे में है कि वह सूत्र अस्तित्व में ही नहीं है। गुरुत्वाकर्षण की ऊर्जा वास्तविक है, लेकिन यह एक वैश्विक गुण है, जो केवल ब्रह्मांड के किनारों पर प्रकट होता है, उसके आंतरिक भाग में नहीं।