Closed locally symmetric spacetimes

ब्रह्मांड की कल्पना एक एकल, चिकने कपड़े के रूप में नहीं, बल्कि आकृतियों और ज्यामितियों के एक विशाल संग्रह के रूप में करें जो यह निर्धारित करते हैं कि पदार्थ और ऊर्जा कैसे चलते हैं। भौतिकी में, इन आकृतियों को स्पेसटाइम (spacetime) कहा जाता है। कुछ सपाट होते हैं, जैसे कागज की एक शांत शीट; अन्य वक्रीय होते हैं, जैसे किसी गोले या सैडल (saddle) की सतह। दशकों से, वैज्ञानिक विशेष रूप से एक विशिष्ट प्रकार के वक्रीय स्पेसटाइम में रुचि रखते रहे हैं जो एक दर्पण की तरह व्यवहार करता है: यदि आप इसके एक छोटे से हिस्से को देखते हैं, तो यह बिल्कुल वैसा ही दिखता है जैसा कि कोई अन्य हिस्सा, चाहे आप कहीं भी हों या कैसे भी गति कर रहे हों। इन्हें स्थानीय रूप से सममित स्पेसटाइम (locally symmetric spacetimes) कहा जाता है। बड़ी चुनौती यह रही है कि क्या ये आकृतियाँ एक परिमित, कॉम्पैक्ट ब्रह्मांड बनाने के लिए "बंद" हो सकती हैं जो बिना किसी किनारे या दरार के, एक गोले की सतह की तरह खुद पर वापस लौट आता है। यदि ऐसा बंद ब्रह्मांड मौजूद है, तो इसे पूर्णतः संपूर्ण होना चाहिए, जिसका अर्थ है कि इसके माध्यम से यात्रा करने वाला यात्री कभी भी अचानक किनारे से नीचे नहीं गिरेगा या किसी विलक्षणता (singularity) से नहीं टकराएगा। इन बंद ब्रह्मांडों को पूर्ण सिद्ध करना और उनकी आंतरिक संरचना को समझना एक बड़ी चुनौती रही है, जिसके पहेली के कई हिस्से हाल ही में हल हुए हैं।

एक नए अध्ययन में, गणितज्ञ सौहेब अलनुत इन बंद, स्थानीय रूप से सममित स्पेसटाइम की ज्यामिति और व्यवहार पर काम करते हैं। उनका कार्य पुष्टि करता है कि जब ये स्पेसटाइम बंद होते हैं, तो वे वास्तव में पूर्ण होते हैं, जिसका अर्थ है कि वे अखंड और अटूट हैं। अधिक महत्वपूर्ण बात यह है कि वह इन आकृतियों के निर्माण का मानचित्र तैयार करते हैं। वह दिखाते हैं कि जब एक बंद स्पेसटाइम में एक सपाट, मिन्कोव्स्की स्पेस (Minkowski space)—वह ज्यामिति जिसका उपयोग सापेक्षता के सिद्धांत में हमारे अपने ब्रह्मांड का वर्णन करने के लिए किया जाता है—के साथ अन्य वक्रीय स्थान शामिल होते हैं जो या तो सघन रूप से पैक किए गए हैं या फैले हुए हैं, तो संरचना सख्त नियमों का पालन करती है। अलनुत सिद्ध करते हैं कि इस बंद ब्रह्मांड के भीतर होने वाली गतिविधियों का समूह यादृच्छिक नहीं है; यह अत्यधिक संगठित है। विशेष रूप से, उन मामलों में जहाँ मिन्कोव्स्की कारक मौजूद है, इस बंद ब्रह्मांड के सपाट भाग पर कार्य करने वाली गतिविधियाँ वक्रीय भागों पर कार्य करने वाली गतिविधियों से मजबूती से जुड़ी हुई हैं। वे स्वतंत्र रूप से अलग या मुड़ नहीं सकतीं। इसका अर्थ यह है कि यदि आप ब्रह्मांड के सपाट खंड में होने वाली गति को जानते हैं, तो आप स्वतः ही उसके वक्रीय खंडों में होने वाली गति को भी जान लेते हैं। हालाँकि, शोध पत्र में यह भी उल्लेख किया गया है कि यह विशिष्ट जुड़ाव तब लागू नहीं होता यदि लोरेन्त्ज़ कारक (Lorentz factor) एक मिन्कोव्स्की स्पेस नहीं है।

यह अध्ययन कुछ प्रकार के बंद ब्रह्मांडों के अस्तित्व के बारे में चल रही लंबी बहस को भी सुलझाता है। लंबे समय से, यह स्पष्ट नहीं था कि क्या एक विशिष्ट प्रकार का वक्रीय स्पेसटाइम, जिसे एंटी-डी सिटर स्पेस (anti-de Sitter space) के रूप में जाना जाता है, अन्य आकृतियों के साथ मिलकर बंद हो सकता है। अलनुत प्रदर्शित करते हैं कि यदि ऐसा ब्रह्मांड मौजूद है, तो उसे उस स्थान के एक मानक, सुस्थापित संस्करण का एक परिमित आवरण (finite cover) होना चाहिए। वह यह भी सिद्ध करते हैं कि एक अन्य प्रकार का स्पेसटाइम, जिसे डी सिटर स्पेस (de Sitter space) के रूप में जाना जाता है, किसी भी सममित रीमानियन स्पेस (Riemannian space) के साथ मिलकर बिल्कुल भी बंद नहीं हो सकता है, जिससे उन विशिष्ट सामग्रियों से बने एक परिमित ब्रह्मांड की संभावना खारिज हो जाती है। इसके अलावा, वह कैहेन-वालेख स्पेस (Cahen-Wallach spaces) नामक स्पेसटाइम के एक विशेष वर्ग की जांच करते हैं, जिनमें प्रकाश-समान गति (light-like movement) का एक अद्वितीय, समानांतर प्रवाह होता है। वह दिखाते हैं कि इन स्थानों के किसी भी बंद संस्करण में, यह प्रवाह पूरी तरह से स्थिर और अनुमानित होता है, कभी भी अराजक या अनिश्चित नहीं होता।

इस कार्य का सबसे संतोषजनक परिणाम उन पथों के संबंध में है जिनसे वस्तुएं इन ब्रह्मांडों के माध्यम से गुजरती हैं। साधारण, सपाट स्थान में, एक सीधी रेखा अनंत तक जाती है। वक्रीय स्थान में, रेखाएं मुड़ सकती हैं। ज्यामिति में एक क्लासिक प्रश्न यह है कि क्या एक बंद ब्रह्मांड में कम से कम एक ऐसा पथ होना चाहिए जो स्वयं पर वापस लौटता है, जिससे एक यात्री बिना मुड़े अपने शुरुआती बिंदु पर वापस आ सके। जबकि यह एकल, धनात्मक वक्रता वाले बंद ब्रह्मांडों (जैसे एक गोले) के लिए हमेशा सत्य होता है, सापेक्षता के मिश्रित वक्रता वाले ब्रह्मांडों के लिए यह अज्ञात था। अलनुत सिद्ध करते हैं कि किसी भी बंद, स्थानीय रूप से सममित स्पेसटाइम के लिए, ऐसा लूप बनाने वाला पथ अवश्य मौजूद होना चाहिए। इसका अर्थ है कि इन विशिष्ट, गणितीय रूप से पूर्ण ब्रह्मांडों में, एक यात्री हमेशा एक ऐसा मार्ग खोज सकता है जो उसे घर वापस लाता है। यह कार्य केवल इन संभावनाओं को सूचीबद्ध नहीं करता है; यह एक कठोर, चरण-दर-चरण प्रमाण प्रदान करता है कि ये संरचनाएं न केवल संभव हैं बल्कि सख्त, अनुमानित नियमों का पालन करती हैं। इन जटिल आकृतियों को उनके मौलिक घटकों में तोड़कर और यह दिखाकर कि वे एक साथ कैसे फिट होती हैं, यह अध्ययन एक स्पष्ट, निर्णायक चित्र प्रस्तुत करता है कि एक बंद, सममित ब्रह्मांड कैसा दिखता है और कैसे व्यवहार करता है।