⚛️ उच्च-ऊर्जा सिद्धांत

TQFT gravity dual to the orbifold groupoid of Narain code CFTs over $\mathbb{Z}_4$

यह शोध पत्र $A_3$ लैटिस से निर्मित नरेन कोड (Narain code) CFTs के एक परिवार के प्रतिरूप (dual) एक टोपोलॉजिकल फील्ड थ्योरी को स्थापित करता है, जो यह प्रदर्शित करता है कि उनकी सात असमान (inequivalent) थ्योरीज़ एक एकल अबेलियन चेर्न-साइमन्स (abelian Chern-Simons) थ्योरी की विशिष्ट टोपोलॉजिकल बाउंड्री कंडीशंस के रूप में उभरती हैं और गेजिंग (gauging) एवं सीगल-वील (Siegel-Weil) पहचानों के माध्यम से उनके अंतर्संबंधों का विश्लेषण करती हैं।

मूल लेखक: Rajae Sammani, Abdellah Sebbar

प्रकाशित 2026-10-23

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CC BY 4.0

मूल लेखक: Rajae Sammani, Abdellah Sebbar

मूल पेपर CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) के तहत लाइसेंस किया गया है। ✨ नीचे दिए गए पेपर की यह व्याख्या AI से तैयार की गई है। इसे लेखकों ने न तो लिखा है, न इसका समर्थन किया है। तकनीकी सटीकता के लिए मूल पेपर देखें। पूरा डिस्क्लेमर पढ़ें

सैद्धांतिक भौतिकी के विशाल परिदृश्य में, एक निरंतर प्रयास यह समझने का है कि ब्रह्मांड को बुनियादी स्तर से कैसे बनाया जा सकता है। भौतिक विज्ञानी अक्सर उन पैटर्नों की तलाश करते हैं जो सूक्ष्म क्वांटम कणों की दुनिया को स्थूल गुरुत्वाकर्षण और स्पेस-टाइम (देश-काल) की दुनिया से जोड़ते हैं। इस अन्वेषण के लिए एक शक्तिशाली उपकरण 'कॉन्फॉर्मल फील्ड थ्योरीज' (conformal field theories) नामक सिद्धांतों का एक वर्ग है, जो उन प्रणालियों का वर्णन करते हैं जो हर पैमाने पर एक जैसी दिखती हैं। इस परिवार के भीतर, 'नारैन थ्योरीज' (Narain theories) के रूप में जाना जाने वाला एक विशिष्ट प्रकार है, जो एक टोरस (torus) पर चलते हुए स्ट्रिंग्स (strings) का मॉडल बनाता है, जो डोनट के आकार जैसा होता है। ये सिद्धांत आमतौर पर मापदंडों के एक निरंतर सेट द्वारा परिभाषित होते हैं, जिससे उन्हें पूरी तरह से सूचीबद्ध करना कठिन हो जाता है। इस अराजकता में व्यवस्था लाने के लिए, शोधकर्ताओं ने एरर-करेक्टिंग कोड (error-correcting codes) का उपयोग करने की एक विधि विकसित की है, जो उसी प्रकार का गणित है जिसका उपयोग आपके फोन या अंतरिक्ष संचार में डेटा की सुरक्षा के लिए किया जाता है। इन निरंतर भौतिक विज्ञान को विविक्त (discrete) कोड के एक सीमित सेट में बदलकर, वे इन सिद्धांतों को सटीकता के साथ गिन और वर्गीकृत कर सकते हैं, जिससे एक अनंत समस्या एक प्रबंधनीय सूची में बदल जाती है।

ओटावा विश्वविद्यालय के शोधकर्ताओं की एक टीम ने इस दृष्टिकोण को आगे बढ़ाया है, जिसमें उन्होंने इन सिद्धांतों के एक विशिष्ट परिवार पर ध्यान केंद्रित किया है जो आंशिक रूप से रहस्यमय बना हुआ था। उन्होंने $A_3$ नामक एक लैटिस (lattice) और शून्य से तीन तक की संख्याओं पर आधारित एक विशिष्ट प्रकार के कोड से उत्पन्न होने वाले बाईस विशिष्ट सिद्धांतों के एक समूह की जांच की। जबकि एक पिछले अध्ययन ने इन बाईस सिद्धांतों को सफलतापूर्वक सूचीबद्ध और वर्गीकृत किया था, उसने यह प्रश्न खुला छोड़ दिया था कि वे भौतिक रूप से एक साथ कैसे फिट होते हैं। यह नया शोध पत्र उस लापता मानचित्र को प्रदान करता है, जो यह प्रकट करता है कि सभी बाईस सिद्धांत वास्तव में एक ही अंतर्निहित तीन-आयामी टोपोलॉजिकल फील्ड थ्योरी के विभिन्न रूप हैं। इस 'बल्क थ्योरी' (bulk theory) को एक एकल, ठोस वस्तु के रूप में और इन बाईस सिद्धांतों को उसके चारों ओर लिपटे जाने के विभिन्न तरीकों के रूप में सोचें। जिस तरह मिट्टी का एक टुकड़ा कई अलग-अलग आकारों में ढाला जा सकता है, उसी तरह यह एकल बल्क थ्योरी बाईस अलग-अलग बाउंडरी कंडीशंस (boundary conditions) का समर्थन करती है, जिनमें से प्रत्येक सूची के एक सिद्धांत के अनुरूप है।

शोधकर्ताओं ने पाया कि ये बाईस सिद्धांत सभी समान रूप से जुड़े हुए नहीं हैं। वे अपने कोड की आंतरिक संरचना के आधार पर तीन अलग-अलग समूहों, या ऑर्बिट्स (orbits) में विभाजित हैं। एक समूह में "फ्री" (free) सिद्धांत हैं, दूसरा "मिक्सड" (mixed) सिद्धांतों को रखता है, और तीसरा एक एकल "टॉर्शन" (torsion) सिद्धांत को धारण करता है। मुख्य निष्कर्ष यह है कि आप मानक समरूपताओं (symmetries) को लागू करके या मापदंडों को बदलकर एक सिद्धांत को दूसरे समूह में परिवर्तित नहीं कर सकते; आपको 'गेजिंग' (gauging) नामक एक प्रक्रिया करनी होगी। यह एक विशिष्ट भौतिक क्रिया है जो सिद्धांत की मौलिक प्रकृति को बदल देती है। टीम ने इन सिद्धांतों के बीच के प्रत्येक संभावित संबंध का मानचित्रण किया, यह दिखाते हुए कि कौन से जोड़े आकार दो या चार के आकार के सिमेट्री ग्रुप को गेज करके आपस में जुड़ सकते हैं। उन्होंने पाया कि कनेक्शनों का जाल अत्यंत जटिल है: एकल टॉर्शन सिद्धांत अन्य सभी सिद्धांतों से केवल एक कदम दूर है, जबकि फ्री और मिक्सड सिद्धांतों के कुछ जोड़े काफी बड़े अंतर से अलग हैं, जिन्हें जोड़ने के लिए अधिक जटिल ऑपरेशन की आवश्यकता होती है।

इन कनेक्शनों का मानचित्रण करने के अलावा, लेखकों ने यह भी पता लगाया कि जब इन सिद्धांतों को रूपांतरित किया जाता है तो उनके भौतिक स्पेक्ट्रम (physical spectrum) के साथ क्या होता है। उन्होंने कणों के ऊर्जा स्तरों में परिवर्तन को ट्रैक किया, यह देखते हुए कि 'गेजिंग' या तो ऊर्जा अंतराल (energy gap) को बढ़ा सकता है, जिससे सिद्धांत अधिक स्थिर हो जाता है, या इसे कम कर सकता है, जिससे नए हल्के अवस्थाएँ (light states) उत्पन्न होती हैं। एक उल्लेखनीय उदाहरण में, उन्होंने दिखाया कि कैसे विशिष्ट अवस्थाओं को हटाकर एक सरल सिद्धांत से एक बड़े ऊर्जा अंतराल वाला सिद्धांत बनाया जा सकता है, जो प्रभावी रूप से स्पेक्ट्रम को फ़िल्टर करता है। यह प्रक्रिया 'करंट्स' (currents) को भी प्रभावित करती है, जो सिद्धांत के भीतर चार्ज के प्रवाह हैं। कुछ मामलों में, गेजिंग की प्रक्रिया पूरी तरह से नए करंट उत्पन्न करती है जो पहले मौजूद नहीं थे, जो रूपांतरण द्वारा निर्मित 'ट्विस्टेड सेक्टर्स' (twisted sectors) में ही दिखाई देते हैं। यह विस्तृत लेखांकन भौतिकविदों को यह भविष्यवाणी करने की अनुमति देता है कि नेटवर्क के माध्यम से चलते समय किसी सिद्धांत के गुण बिल्कुल कैसे बदलेंगे।

यह शोध पत्र इस गहरे प्रश्न को भी संबोधित करता है कि ये सिद्धांत गुरुत्वाकर्षण से कैसे संबंधित हैं। भौतिकी के होलोग्राफिक दृष्टिकोण में, एक बाउंड्री पर स्थित सिद्धांत बल्क में स्थित गुरुत्वाकर्षण के सिद्धांत का द्वैत (dual) होता है। शोधकर्ताओं ने बल्क स्पेस के सभी संभावित आकारों पर विभाजन फलन (partition functions) का योग निकाला, जिसे 'हैंडलबॉडी सम' (handlebody sum) कहा जाता है। आयामों के केवल एक जोड़े वाले सरल मामले के लिए, यह योग सभी संभावित सिद्धांतों के औसत से पूरी तरह मेल खाता था। हालांकि, यहाँ अध्ययन किए गए दो जोड़ों वाले मामले के लिए, परिणाम अधिक सूक्ष्म था। स्पेस-टाइम के मानक आकारों पर किया गया योग सभी बाईस सिद्धांतों को समान रूप से कवर नहीं करता था। इसके बजाय, इसने केवल बारह "फ्री" सिद्धांतों पर एक समान औसत उत्पन्न किया। सभी बाईस सिद्धांतों, जिनमें मिक्सड और टॉर्शन शामिल हैं, का औसत प्राप्त करने के लिए, एक अतिरिक्त योगदान की आवश्यकता थी। यह अतिरिक्त हिस्सा स्पेस-टाइम के एक विशिष्ट आकार के अनुरूप है जिसमें इसके केंद्र में एक 'लाइन डिफेक्ट' (line defect) चलता है, जो एक ऐसी संरचना है जिसे पिछले, सरल मॉडलों में अनदेखा कर दिया गया था।

इस खोज का एक महत्वपूर्ण निहितार्थ यह है कि हम इन सिद्धांतों को डिस्क्रीट कोड और निरंतर गुरुत्वाकर्षण से कैसे जोड़ते हैं। शोधकर्ताओं ने सिद्ध किया कि तीन या अधिक आयामों वाले सिस्टम के लिए, मानक स्पेस-टाइम आकारों पर किया गया योग सभी बाउंड्री सिद्धांतों के सरल, धनात्मक संयोजन के रूप में नहीं लिखा जा सकता है। दूसरे शब्दों में, मानक ग्रेविटेशनल पाथ इंटीग्रल (gravitational path integral) सभी सिद्धांतों के समूह को एक सरल तरीके से पुनरुत्पादित करने में विफल रहता है। यह सुझाव देता है कि अधिक जटिल प्रणालियों के लिए, बल्क ग्रेविटी और बाउंड्री कोड के बीच का संबंध अधिक नाजुक है, जिसे गणित को काम करने के लिए गैर-मानक टोपोलॉजिकल कॉन्फ़िगरेशन की आवश्यकता होती है। यह कार्य पुष्टि करता है कि जबकि एरर-करेक्टिंग कोड इन सिद्धांतों के वर्गीकरण के लिए एक शक्तिशाली सीमित ढांचा प्रदान करते हैं, गुरुत्वाकर्षण के साथ उनका सेतु हमेशा एक सरल औसत नहीं होता है, और इस स्तर पर ब्रह्मांड की संरचना पहले से कहीं अधिक समृद्ध और अधिक प्रतिबंधित है।

तकनीकी सारांश: $\mathbb{Z}_4$ पर आधारित नरेन कोड CFTs के ऑर्बिफ़ोल्ड ग्रूपॉइड के लिए TQFT ग्रेविटी ड्यूल

समस्या और संदर्भ
यह शोध पत्र $\mathbb{Z}_4$ रिंग पर आधारित एरर-करेक्टिंग कोड्स के माध्यम से "कंस्ट्रक्शन A" से निर्मित नरेन कॉन्फॉर्मल फील्ड थ्योरीज (CFTs) के एक विशिष्ट परिवार के भौतिक अर्थ की जांच करता है। जबकि पिछले कार्यों ने स्व-द्वैत (self-dual) कोड्स और नरेन लैटिस, तथा $U(1)$ ग्रेविटी में हैंडलबॉडीज के योग के बीच संबंध स्थापित किया था, ये परिणाम मुख्य रूप से प्राइम या स्क्वायर-फ्री अल्फ़ाबेट्स तक ही सीमित थे। लेखक $A_3$ रूट लैटिस परिवार पर ध्यान केंद्रित करते हैं, जो $\mathbb{Z}_4$ पर आधारित एक ऐसा मामला है जहाँ अल्फ़ाबेट स्क्वायर-फ्री नहीं है और कोड्स सभी "फ्री" (अर्थात, सभी $\mathbb{Z}_4^d$ के आइसोमोर्फिक नहीं) नहीं हैं। विशेष रूप से, दो हाइपरबोलिक पेयर्स ( $d=2$ , सेंट्रल चार्ज $c=\bar{c}=6$ ) के लिए, वर्गीकरण बीस-दो (twenty-two) अलग-अलग इवन सेल्फ-ड्यूअल ग्लूइंग कोड्स को दर्शाता है जो सात इनइक्विवेलेंट टी-ड्यूलिटी क्लासेस (T-duality classes) में आते हैं। मुख्य समस्या इस परिवार के लिए बल्क टोपोलॉजिकल फील्ड थ्योरी (TQFT) ड्यूल, ऑर्बिफ़ोल्ड ग्रूपॉइड की संरचना, और इस नॉन-स्क्वायर-फ्री संदर्भ में ग्रेविटेशनल पाथ इंटीग्रल (हैंडलबोडीज का योग) की प्रकृति को समझना है।

कार्यप्रणाली (Methodology)
लेखक बीजगणितीय कोडिंग थ्योरी, लैटिस कंस्ट्रक्शन और 3D टोपोलॉजिकल फील्ड थ्योरी तकनीकों के संयोजन का उपयोग करते हैं:

बल्क-बाउंड्री कॉरेस्पोंडेंस: वे बल्क थ्योरी को एक एकल एबेलियन चेर्न-साइमन थ्योरी के रूप में पहचानते हैं, जिसे $Z_2$ (अनट्विस्टेड $\mathbb{Z}_4^2$ गेज थ्योरी के समकक्ष) कहा जाता है, जिसके टोपोलॉजिकल बाउंड्री कंडीशंस को इवन सेल्फ-ड्यूअल ग्लूइंग कोड्स द्वारा लेबल किया गया है। यह SymTFT (सिमिट्री टोपोलॉजिकल फील्ड थ्योरी) या "सैंडविच" चित्र का उपयोग करता है।
ऑर्बिफ़ोल्ड वेब कंस्ट्रक्शन: कोड्स के मॉड्यूलो 2 रिडक्शन का उपयोग करते हुए, लेखक विभिन्न बाउंड्री कंडीशंस को जोड़ने वाले गेज ग्रुप्स को व्युत्पन्न करते हैं। वे सात टी-ड्यूलिटी क्लासेस के बीच मैपिंग करने के लिए फाईनाइट सिमिट्रीज़ ( $\mathbb{Z}_2, \mathbb{Z}_4, \mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2$ ) को गेज़ करने के लिए ट्विस्टेड पार्टीशन फंक्शन्स को स्पष्ट रूप से निर्मित करते हैं।
हैंडलबोडी समेशन: लेखक जेनस-वन हैंडलबॉडीज पर बल्क चेर्न-साइमन थ्योरी के पार्टीशन फंक्शन की गणना करते हैं। इसमें वैक्यूम स्टेट पर कार्य करने वाले $SL(2, \mathbb{Z}_4)$ के वेइल रिप्रेजेंटेशन (Weil representation) का मूल्यांकन करना और कोड वेक्टर्स पर प्रोजेक्शन करना शामिल है।
फाईनाइट सीगल-वील आइडेंटिटी (Finite Siegel-Weil Identity): वे एक पहचान सिद्ध करते हैं जो हैंडलबॉडी सम को फ्री कोड्स के यूनिफॉर्म एवरेज ( $A_d$ ) और टोरशन कोड के बीच व्यक्त करती है, जिसमें हाइपरबोलिक पेयर्स ( $d$ ) की विभिन्न संख्याओं के लिए गुणांकों का विश्लेषण किया गया है।

मुख्य योगदान और परिणाम

बल्क थ्योरी और सिमिट्री ऑर्बिट्स: $d=2$ पर बीस-दो कोड थ्योरीज को एक एकल बल्क चेर्न-साइमन थ्योरी $Z_2$ के टोपोलॉजिकल बाउंड्री कंडीशंस के रूप में पहचाना गया है। बल्क की इन्वर्टिबल सिमिट्रीज़ (टी-ड्यूलिटीज़ और फ्रैक्शनल बी-फील्ड शिफ्ट्स) इन बाउंड्रीज़ को कोड के ग्रुप टाइप के आधार पर तीन अलग-अलग ऑर्बिट्स में व्यवस्थित करती हैं:
- फ्री (Free): 12 कोड्स (क्लासेस $F_0, F_1, F_2$ )।
- मिक्सड (Mixed): 9 कोड्स (क्लासेस $M_0, M_1, M_2$ )।
- टोरशन (Torsion): 1 कोड (क्लास $T$ )।
  लेखक प्रदर्शित करते हैं कि अलग-अलग ऑर्बिट्स की थ्योरीज केवल इन्वर्टिबल सिमिट्रीज़ द्वारा नहीं जोड़ी जा सकतीं; वे केवल गेज़िंग (gauging) द्वारा संबंधित हैं।
ऑर्बिफ़ोल्ड वेब: लेख सात क्लासेस के बीच गेज़िंग्स के पूर्ण वेब का निर्माण करता है।
- गेज़िंग, कोड्स के मॉड्यूलो 2 इंटरसेक्शन द्वारा निर्धारित होती है।
- कनेक्शन ऑर्डर 2, 4, या 8 के समूहों के माध्यम से मौजूद हैं।
- सात में से पाँच क्लासेस विशिष्ट गेज़िंग्स के तहत स्व-द्वैत (self-dual) हैं (टी-ड्यूलिटीज़ से संबंधित)।
- विशेष रूप से, टोरशन क्लास $T$ हर अन्य क्लास के एक गेज़िंग स्टेप के भीतर है, जबकि विशिष्ट जोड़े (जैसे, $F_1$ और $M_0$ ) को जुड़ने के लिए ऑर्डर 8 के गेज़िंग की आवश्यकता होती है।
- लेखक CFT स्पेक्ट्रम, गैप, लाइट स्टेट्स की डिजेनरेसी और $\widehat{su}(2)$ करंट अलजेब्रा के उद्भव सहित इन गेज़िंग्स के प्रभाव की स्पष्ट गणना करते हैं। उदाहरण के लिए, टोरशन क्लास $T$ को $\mathbb{Z}_2$ द्वारा गेज़ करने से मिक्स क्लास $M_2$ प्राप्त होता है, जिससे स्पेक्ट्रल गैप $1/2$ से बढ़कर $1$ हो जाता है।
फाईनाइट सीगल-वील आइडेंटिटी और हैंडलबॉडी सम:
- लेखक एक फाईनाइट सीगल-वील आइडेंटिटी सिद्ध करते हैं जो किसी भी संख्या में पेयर्स $d$ के लिए मान्य है। यह पहचान हैंडलबॉडी सम $P_d[e_0]$ को फ्री कोड्स के यूनिफॉर्म एवरेज ( $A_d$ ) और टोरशन कोड वेक्टर ( $v_{T_d}$ ) के रूप में व्यक्त करती है।
- केस $d=2$ : टोरशन कोड का गुणांक शून्य हो जाता है। हैंडलबॉडी सम बारह फ्री थ्योरीज के यूनिफॉर्म एवरेज के ठीक बराबर है। सभी बीस-दो थ्योरीज पर यूनिफॉर्म एवरेज को टोरशन कोड वेक्टर के आनुपातिक एक विशिष्ट करेक्शन टर्म जोड़कर प्राप्त किया जाता है: $Z_{all} = \frac{9}{11}Z_{free} + \frac{2}{11}Z_T$ ।
- केस $d \ge 3$ : टोरशन कोड का गुणांक ऋणात्मक हो जाता है। फलस्वरूप, हैंडलबॉडी स्टेट (कोड स्पेस में वेक्टर) कोड बाउंड्री स्टेट्स के गैर-ऋणात्मक रैखिक संयोजन के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता है। हालांकि, लेखक स्पष्ट रूप से नोट करते हैं कि यह स्वयं स्केलर पार्टीशन फंक्शन के सकारात्मक अपघटन को बाहर नहीं करता है, क्योंकि बल्क स्टेट्स से पार्टीशन फंक्शन्स तक का मैप इनजेक्टिव नहीं है। क्या स्केलर पार्टीशन फंक्शन एक सकारात्मक अपघटन को स्वीकार करता है, यह एक खुला प्रश्न बना हुआ है।

महत्व
यह शोध पत्र दावा करता है कि यह स्क्वायर-फ्री अल्फ़ाबेट से परे नरेन CFTs के लिए TQFT ग्रेविटी ड्यूल्स की समझ को विस्तृत करता है। इसका प्राथमिक महत्व निम्नलिखित में निहित है:

नॉन-स्क्वायर-फ्री मामलों को स्पष्ट करना: यह कई हाइपरबोलिक पेयर्स के लिए $\mathbb{Z}_4$ मामले का पहला स्पष्ट उपचार प्रदान करता है, जो प्रकट करता है कि जबकि $d=2$ के लिए हैंडलबॉडी सम अकेले फ्री थ्योरीज के यूनिफॉर्म एवरेज को पुनरुत्पादित करता है, सभी बीस-दो थ्योरीज के यूनिफॉर्म एवरेज को प्राप्त करने के लिए टोरशन कोड के आनुपातिक एक करेक्शन टर्म की आवश्यकता होती। $d \ge 3$ के लिए, हैंडलबॉडी स्टेट में ऋणात्मक घटक होते हैं, जो इंगित करता है कि यह कोड बाउंड्री स्टेट्स के गैर-ऋणात्मक संयोजन के रूप में नहीं है; हालाँकि, स्केलर पार्टीशन फंक्शन के लिए एक पॉजिटिव एनसेंबल का अस्तित्व बना हुआ है, जो सुझाव देता है कि एक भौतिक एनसेंबल को परिभाषित करने के लिए नॉन-हैंडलबोडी टोपोलॉजी (विशेष रूप से लाइन डिफेक्ट्स के साथ सॉलिड टोरस) के योगदान की आवश्यकता हो सकती है।
ऑर्बिफ़ोल्ड ग्रूपॉइड संरचना: यह $A_3$ परिवार के लिए ऑर्बिफ़ोल्ड ग्रूपॉइड की पूर्ण संरचना को मैप करता है, यह दिखाते हुए कि कैसे फ्री, मिक्सड और टोरशन थ्योरीज गेज़िंग के माध्यम से आपस में जुड़ी हुई हैं, एक ऐसी संरचना जो फ्री कोड्स तक सीमित विवरणों में पहले अस्पष्ट थी।
एनसेंबल पॉजिटिविटी: यह रेखांकित करता है कि $d \ge 3$ के लिए, हैंडलबॉडी स्टेट एक पॉजिटिव कॉम्बिनेशन के रूप में विफल रहता है, जो उच्च $d$ के लिए पॉजिटिव एनसेंबल्स के अस्तित्व या स्केलर पार्टीशन फंक्शन के पॉजिटिव अपघटन को प्राप्त करने के लिए अधिक जटिल बल्क टोपोलॉजी की आवश्यकता पर सवाल उठाता है।

यह कार्य कोड CFTs के लिए SymTFT फ्रेमवर्क के एक ठोस कार्यान्वयन के रूप में कार्य करता है और एक फाईनाइट सीगल-वील आइडेंटिटी स्थापित करता है जो बल्क टोपोलॉजिकल समाजों को बाउंड्री कोड एवरेज से जोड़ता है, साथ ही नॉन-स्क्वायर-फ्री सेटिंग्स में इस पत्राचार की सीमाओं को रेखांकित करता है।

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