⚛️ उच्च-ऊर्जा सिद्धांत

Nonlinear Higher-Spin Theory in $O(4,1)$ de Sitter Space

यह शोध पत्र फर्मियन्स की उपस्थिति में $O(4,1)$ डी सिटर ज्यामिति के अनुकूल नॉनलीनियर हायर-स्पिन गेज सिद्धांतों के चार संस्करण प्रस्तावित करता है, जिनमें से दो में $\mathbb{Z}_2\times \mathbb{Z}_2$ ली सुपरएल्जेब्रा संरचना है और दो में बोसोनिक क्षेत्र में यूनिटैरिटी (unitarity) के साथ-साथ छद्म-इनवोल्यूशन (pseudo-involutions) प्रदर्शित होते हैं जो टाइम रिवर्शल या स्पेसटाइम डबलिंग से जुड़े (एंटी)यूनिटैरिटी का सुझाव देते हैं।

मूल लेखक: O. A. Gelfond, M. A. Vasiliev

प्रकाशित 2026-10-27

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CC BY 4.0

मूल लेखक: O. A. Gelfond, M. A. Vasiliev

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जिस ब्रह्मांड में हम निवास करते हैं वह विस्तार कर रहा है, एक ऐसा तथ्य जिसने ब्रह्मांडीय इतिहास के बारे में हमारी समझ को नया रूप दिया है। दशकों से, भौतिकविदों ने वास्तविकता को बनाने वाले मौलिक कणों और बलों का वर्णन करने के लिए क्वांटम फील्ड थ्योरी नामक एक गणितीय ढांचे पर भरोसा किया है। यह ढांचा एक स्थिर या संकुचित ब्रह्मांड में खूबसूरती से काम करता है, लेकिन हमारे विस्तारशील ब्रह्मांड पर लागू होने पर यह लड़खड़ा जाता है। हमारे ब्रह्मांड की विशिष्ट ज्यामिति, जिसे डी सिटर स्पेस (de Sitter space) के रूप में जाना जाता है, एक सूक्ष्म लेकिन गहरा संकट उत्पन्न करती है: जब वैज्ञानिक आधे-पूर्णांक स्पिन (half-integer spins) वाले कणों, जैसे कि इलेक्ट्रॉनों, को शामिल करने का प्रयास करते हैं, तो समीकरण अक्सर असंभव परिणाम देते हैं, जैसे कि काल्पनिक द्रव्यमान (imaginary masses) या ऋणात्मक ऊर्जा। ये गणितीय प्रेत (mathematical ghosts) संकेत देते हैं कि सिद्धांत विफल हो रहा है, जिससे हमारे ब्रह्मांड के सबसे मौलिक स्तर पर यह समझने में एक अंतराल रह जाता है कि ब्रह्मांड कैसे कार्य करता है।

इसे संबोधित करने के लिए, शोधकर्ताओं ओ.ए. जेलफोंड (O.A. Gelfond) और एम.ए. वासिलिएव (M.A. Vasiliev) ने "हायर-स्पिन" (higher-spin) क्षेत्रों की एक थ्योरी बनाने का एक नया तरीका प्रस्तावित किया है। ये काल्पनिक कण हैं जो परिचित इलेक्ट्रॉनों या फोटॉनों की तुलना में कोणीय संवेग के अधिक जटिल रूपों को वहन करते हैं। जबकि ऐसे कण एक संकुचित ब्रह्मांड में अच्छी तरह से समझे जाते हैं, हमारे विस्तारशील ब्रह्मांड में उन्हें परिभाषित करना विशेष रूप से कठिन रहा है, खासकर जब फर्मियॉन (fermions)—यानी पदार्थ के कण—शामिल हों। लेखक एक सिद्धांत के चार अलग-अलग संस्करण प्रस्तुत करते हैं जो विस्तारशील ब्रह्मांड में इन हायर-स्पिन क्षेत्रों का वर्णन करते हैं। इनमें से दो संस्करण अपने बोसोनिक क्षेत्रों (bosonic sectors) में यूनिटरी (unitary) हैं, जो उन समस्याओं (ghosts) से बचते हैं जो आमतौर पर उस विशिष्ट डोमेन में ऐसे मॉडलों को परेशान करती हैं, और साथ ही ब्रह्मांड का एक पूर्ण विवरण प्रदान करने का एक संभावित मार्ग भी पेश करते हैं जिसमें पदार्थ और ये विलक्षण हायर-स्पिन क्षेत्र दोनों शामिल हैं।

टीम द्वारा सामना की गई मुख्य कठिनाई अंतरिक्ष की ज्यामिति और क्वांटम यांत्रिकी के नियमों के बीच संघर्ष से उपजी है। एक संकुचित ब्रह्मांड में, कणों की परस्पर क्रिया का वर्णन करने वाले गणितीय उपकरण सुचारू रूप से कार्य करते हैं। हालांकि, हमारे विस्तारशील ब्रह्मांड में, वही उपकरण फर्मियॉन के द्रव्यमान को एक काल्पनिक संख्या (imaginary number) में बदल देते हैं, जिसका कोई भौतिक अर्थ नहीं है। इसे ठीक करने के पिछले प्रयासों में अक्सर फर्मियॉनों को पूरी तरह से हटा देना या यह स्वीकार करना शामिल था कि सिद्धांत अधूरा है। जेलफोंड और वासिलिएव ने एक अलग दृष्टिकोण अपनाया। उन्होंने महसूस किया कि यह निर्धारित करने के नियम कि कौन सी गणितीय मात्राएं "वास्तविक" (real) हैं और कौन सी "काल्पनिक" (imaginary) हैं, उन्हें संशोधित किया जा सकता है। 'क्लेन ऑपरेटर्स' (Klein operators)—जो गणितीय उपकरण हैं जो कणों के गुणों को बदलने वाले स्विच की तरह कार्य करते हैं—का उपयोग करते हुए एक विशिष्ट प्रकार की समरूपता (symmetry) प्रक्रिया को पेश करके, उन्होंने द्रव्यमान पदों को वास्तविक और भौतिक बनाए रखने का एक तरीका खोजा।

शोधकर्ताओं ने दो मुख्य प्रकार के समाधान विकसित किए, जिन्हें उन्होंने टाइप-I और टाइप-II लेबल किया। पहला प्रकार, टाइप-I, मानक नियमों के संशोधन पर निर्भर करता है जो प्रभावी रूप से सिद्धांत में फर्मियन क्षेत्रों की संख्या को दोगुना कर देता है। यह दोहराव दिखने वाले कणों का भौतिक दोहराव नहीं है, बल्कि एक गणितीय आवश्यकता है जो समीकरणों को संतुलित करने की अनुमति देती है। इस संस्करण में, सिद्धांत डी सिटर स्पेस में "घोस्ट्स" (गैर-यूनिटरी व्यवहार) की ओर ले जाता है, जिसका अर्थ है कि इसमें अस्थिरताएं हैं जो इसे एक पूर्णतः सुसंगत भौतिक सिद्धांत बनने से रोकती हैं। यह संस्करण पहले के उन प्रस्तावों के समान है जो सरल मॉडलों के लिए तो काम करते थे लेकिन सभी प्रकार के पदार्थ को शामिल करने पर संघर्ष करते रहे।

दूसरा प्रकार, टाइप-II, एक अधिक सुरुचिपूर्ण और आशाजनक समाधान प्रदान करता है। यह संस्करण Z2 × Z2 ली सुपर-एल्जेब्रा (Lie superalgebra) नामक एक विशिष्ट बीजगणितीय संरचना का उपयोग करता है। यह संरचना एक परिष्कृत छंटाई प्रणाली की तरह कार्य करती है जो क्षेत्रों को उनके गुणों के आधार पर विभिन्न श्रेणियों में व्यवस्थित करती है। उल्लेखनीय रूप से, यह व्यवस्था फर्मियॉनों की उपस्थिति के बावजूद सिद्धांत को इसके बोसोनिक क्षेत्र में यूनिटरी बनाए रखने की अनुमति देती है, हालांकि पूर्ण सिद्धांत मानक यूनिटैरिटी प्राप्त नहीं करता है। इस सेटअप में, क्षेत्रों की भूमिकाएं इस तरह बदल जाती हैं कि द्रव्यमान की भौतिक वास्तविकता बनी रहती है। लेखकों ने पाया कि यह सिद्धांत "बोसोनिक क्षेत्र में यूनिटरी" है, जिसका अर्थ है कि बोसोनिक क्षेत्रों के लिए सभी संभावित परिणामों की प्रायिकताएं एक के बराबर होती हैं, जो किसी भी भौतिक सिद्धांत को उसके उस क्षेत्र में सार्थक बनाने के लिए एक मौलिक आवश्यकता है। इसके अलावा, इस सिद्धांत में एक अद्वितीय समरूपता गुण है जिसे 'स्यूडो-इनवोल्यूशन' (pseudo-involution) कहा जाता है। इसका अर्थ यह है कि यदि आप समरूपता प्रक्रिया को दो बार लागू करते हैं, तो यह बोसॉनों को उनकी मूल स्थिति में वापस ला देता है लेकिन फर्मियॉनों के चिह्न को उलट देता है। यह सूक्ष्म व्यवहार महत्वपूर्ण है क्योंकि यह एक विस्तारशील ब्रह्मांड की सीमा पर फर्मियॉनों के ज्ञात गुणों के साथ संरेखित होता है, और उन विरोधाभासों से बचता है जो आमतौर पर मानक यूनिटैरिटी के बजाय समय उत्क्रमण (time reversal) या स्पेस-टाइम दोहरीकरण से जुड़ी (एंटी)यूनिटैरिटी के कारण उत्पन्न होते हैं।

इस कार्य का महत्व उस अंतर को पाटने की क्षमता में निहित है जो लंबे समय से हायर-स्पिन सिद्धांतों और हमारे विस्तारशील ब्रह्मांड की वास्तविकता के बीच एक खाई पैदा किए हुए है। संयुग्मन (conjugation) के नियमों को—वह प्रक्रिया जो यह निर्धारित करती है कि क्या वास्तविक है और क्या काल्पनिक है—को सावधानीपूर्वक समायोजित करके, लेखकों ने दिखाया है कि एक ऐसा सिद्धांत बनाना संभव है जिसमें फर्मियॉन को शामिल किया जा सके बिना बोसोनिक क्षेत्र में गणितीय निरर्थकता उत्पन्न किए। उन्होंने यह सिद्ध नहीं किया कि ये हायर-स्पिन कण प्रकृति में मौजूद हैं, न ही उन्होंने डार्क एनर्जी (dark energy) के रहस्य को सुलझाया है, जो ब्रह्मांड के विस्तार को संचालित करने वाला बल है। इसके बजाय, उन्होंने एक कठोर गणितीय ढांचा प्रदान किया है जो यह प्रदर्शित करता है कि ऐसा सिद्धांत संभव है। उन्होंने दिखाया है कि जिन बाधाओं को पहले अजेय माना जाता था, वे वास्तव में पार करने योग्य हैं यदि आप सिद्धांत की मौलिक समरूपताओं पर पुनर्विचार करने के लिए तैयार हैं।

यह शोध पत्र इस संभावना पर भी चर्चा करता है कि एक संकुचित से विस्तारशील ब्रह्मांड में संक्रमण के दौरान इन क्षेत्रों की प्रकृति में परिवर्तन हो सकता है। लेखक अनुमान लगाते हैं कि टोपोलॉजिकल क्षेत्र (topological fields), जो आमतौर पर सिद्धांत में स्थिर मापदंडों के रूप में कार्य करते हैं, इस तरह के संक्रमण के दौरान गतिशील हो सकते हैं। यह एक ऐसी तंत्र (mechanism) का सुझाव देता है जहाँ ब्रह्मांड एक अवस्था से दूसरी अवस्था में टनल कर सकता है, जिसमें विभिन्न क्षेत्रों की भूमिकाएं आपस में बदल जाती हैं। हालांकि यह एक परिकल्पना है, यह यह समझने के लिए एक नया मार्ग खोलता है कि अंतरिक्ष का निर्वात (vacuum) कैसे विकसित हो सकता है। यह कार्य 'होलोग्राफी' (holography) से भी एक गहरा संबंध दर्शाता है, जो यह विचार है कि स्थान के एक आयतन का भौतिकी उसके सीमा (boundary) पर मौजूद एक सिद्धांत द्वारा वर्णित की जा सकती है। उनके टाइप-II मॉडल में पाई गई विशिष्ट समरूपताएं यह सुझाव देती हैं कि हमारे ब्रह्मांड की सीमा के लिए या तो स्पेस-टाइम के दोहरीकरण की आवश्यकता होगी या कणों के बीच एक विशिष्ट प्रकार के सांख्यिकीय संबंध की आवश्यकता होगी जो मानक क्वांटम यांत्रिकी से भिन्न है।

अंततः, यह शोध सैद्धांतिक भौतिकविदों को उपकरणों का एक नया सेट प्रदान करता है। यह प्रदर्शित करता है कि हायर-स्पिन सिद्धांतों और विस्तारशील ब्रह्मांड के बीच की असंगति प्रकृति का कोई मौलिक दोष नहीं है, बल्कि पहले से लागू किए गए विशिष्ट गणितीय नियमों की एक सीमा है। इन संशोधित वास्तविकता स्थितियों को पेश करके, जेलफोंड और वासिलिएव ने संभावित सिद्धांतों के परिदृश्य का विस्तार किया है, जो यह समझने के लिए एक ठोस मार्ग प्रदान करता है कि हमारे वास्तविक ब्रह्मांड में सबसे विलक्षण कण कैसे व्यवहार कर सकते हैं। उनके परिणाम सटीक और गणितीय रूप से व्युत्पन्न हैं, जो अतीत के मृत अंत (dead ends) के स्पष्ट विकल्प पेश करते हैं, और यह सुझाव देते हैं कि ब्रह्मांड अपने गणितीय विवरण में पहले की तुलना में कहीं अधिक लचीला हो सकता है।

तकनीकी सारांश: O(4, 1) डी सिटर (de Sitter) स्पेस में नॉनलीनियर हायर-स्पिन थ्योरी

समस्या विवरण (Problem Statement)
हायर-स्पिन (HS) गेज थ्योरीज एंटी-डी सिटर (AdS) स्पेस में अच्छी तरह स्थापित हैं, जहाँ वे पूर्णांक (integer) और अर्ध-पूर्णांक (half-integer) स्पिन के द्रव्यमान रहित क्षेत्रों (massless fields) का सुसंगत वर्णन करती हैं। हालाँकि, डी सिटर (dS) स्पेस में इन थ्योरीज का विस्तार करना एक मौलिक बाधा प्रस्तुत करता है: dS में कॉस्मोलॉजिकल कांस्टेंट $\Lambda$ धनात्मक होता है, जिसका अर्थ है कि पैरामीटर $\lambda$ (जहाँ $\Lambda = -\lambda^2$ ) काल्पनिक (imaginary) होना चाहिए। शुद्ध रूप से बोसोनिक HS थ्योरीज में, समीकरण $\lambda^2$ पर निर्भर करते हैं, जिससे एक सुसंगत सूत्रीकरण संभव है। लेकिन फर्मियॉन्स (fermions) की उपस्थिति में, क्षेत्र समीकरणों (field equations) में $\lambda$ की विषम घातें (odd powers) शामिल होती हैं। इसके परिणामस्वरूप काल्पनिक द्रव्यमान-सदृश पैरामीटर्स और एक जटिल एक्शन (complex action) प्राप्त होता है, जो थ्योरी को अपरिभाषित बना देता है। यह समस्या dS स्पेस में सुपरसिमेट्रिक ग्रेविटी (SUGRA) को तैयार करने में आने वाली ज्ञात कठिनाई के समान है, जहाँ $O(4,1)$ बीजगणित (algebra) के मानक यूनिटरी रिप्रेजेंटेशन धनात्मक सीमित ऊर्जा (positive bounded energy) के लिए अस्तित्व में नहीं होते हैं।

कार्यप्रणाली (Methodology)
लेखक फर्मियॉन्स के अनुकूल dS $_4$ में चार संस्करणों वाली नॉनलीनियर HS गेज थ्योरी का प्रस्ताव करते हैं। कार्यप्रणाली का आधार एडब्ल्यू (AdS $_4$ ) के मानक HS समीकरणों (जो वासिलिएव [56] के अनफोल्डेड फॉर्मलिज्म पर आधारित हैं) के हर्मिटिसीटी स्थितियों (hermiticity conditions/reality conditions) को संशोधित करना है, न कि स्वयं गति के समीकरणों (equations of motion) को बदलना।

मुख्य कार्यप्रणाली तत्व निम्नलिखित हैं:

क्लेन ऑपरेटर्स (Klein Operators): निर्माण में एक्सटीरियरर क्लेन ऑपरेटर्स ( $K = (k, \bar{k})$ ) का उपयोग किया गया है जो सहायक स्पिनर वेरिएबल्स ( $\theta^\alpha$ ) के डिफरेंशियल के साथ एंटी-कम्यूट करते हैं। ये ऑपरेटर्स फर्मियोनिक डिग्री ऑफ फ्रीडम के दोहरीकरण को संभालने और नॉनलीनियर सेक्टर में सुसंगत कंजुगेशन (conjugations) को परिभाषित करने के लिए आवश्यक हैं।
डिस्क्रीट मैप्स (Discrete Maps): लेखक HS क्षेत्रों के स्टार-प्रोडक्ट बीजगणित पर कार्य करने वाले डिस्क्रीट ऑपरेशन्स (ऑटोमोर्फिज्म, एंटी-ऑटोमोर्फिज्म, कंजुगेशन और इनवोल्यूशन) का उपयोग करते हैं।
संशोधित कंजुगेशन (Modified Conjugations): मानक AdS $_4$ $_{4}$ इनवोल्यूशन ( $\dagger$ $†$ ) को बदलने के लिए दो प्राथमिक प्रकार के कंजुगेशन पेश किए गए हैं:
- टाइप-I: एक कंजुगेशन ( $\ddagger$ ) जो पिछले SUGRA मॉडल्स [1] से प्रेरित है, जिसमें बाहरी क्लेन ऑपरेटर $K$ शामिल है। यह $K$ से स्वतंत्र फर्मियोनिक क्षेत्रों को $K\bar{K}$ के समान क्षेत्रों में मैप करता है और इसके विपरीत भी।
- टाइप-II: एक $Z_2 \times Z_2$ ली सुपर-अलजेब्रा संरचना [1, 57, 58] पर आधारित निर्माण, जो dS सिमेट्री बीजगणित को साकार करने के लिए ऑसिलेटर्स के एक विशिष्ट पुनर्परिभाषण का उपयोग करता है।
रियलिटी कंडीशंस (Reality Conditions): प्रत्येक प्रकार के लिए, दो प्रकार की रियलिटी कंडीशंस परिभाषित की गई हैं (जैसे, टाइप-IA/IB और टाइप-IIA/IIB)। एक संस्करण गैर-यूनिटरी (non-unitary) थ्योरीज की ओर ले जाता है, जबकि दूसरा बोसोनिक क्षेत्र में यूनिटरी थ्योरीज की ओर ले जाता है, जो एक स्यूडो-इनवोल्यूशन (pseudo-involution) से सुसज्जित है जो फर्मियॉन्स पर $-1 $को वर्ग करता है ($ (a^\dagger)^\dagger = (-1)^{\pi(a)}a$)।

मुख्य योगदान और परिणाम (Key Contributions and Results)

फर्मियन समस्या का समाधान: यह शोध पत्र दर्शाता है कि क्लेन ऑपरेटर्स को शामिल करके हर्मिटिसीटी कंडीशंस को संशोधित करने से, फर्मियॉन्स के साथ dS $_4$ में सुसंगत नॉनलीनियर HS थ्योरीज को तैयार किया जा सकता है, जिससे उन काल्पनिक द्रव्यमान पदों से बचा जा सकता है जो मानक सूत्रीकरणों में बाधा डालते हैं।
चार प्रस्तावित मॉडल:
- टाइप-I (IA & IB): टाइप-IA विस्तारित SUGRA कंस्ट्रक्शन [49, 50] के समान है और यह गैर-यूनिटरी (घोस्ट्स युक्त) पाया गया है। टाइप-IB लैंग और नीमन [2] के हालिया बोसोनिक प्रस्ताव का फर्मियॉन्स को शामिल करने के लिए सामान्यीकरण है।
- टाइप-II (IIA & IIB): यह मॉडल dS $_4$ SUGRA [1] के लिए प्रस्तावित $Z_2 \times Z_2$ सामान्यीकृत सुपर-अलजेब्रा संरचना को पूर्ण नॉनलीनियर HS सिस्टम के भीतर साकार करता है। टाइप-IIA गैर-यूनिटरी है, जबकि टाइप-IIB बोसोनिक क्षेत्र में यूनिटरी है।
यूनिटैरिटी विश्लेषण (Unitarity Analysis): पाउली-जोर्डन D-फंक्शंस का उपयोग करके रेखीयकृत समीकरणों के फ्लैट लिमिट विश्लेषण के माध्यम से, लेखक दिखाते हैं कि:
- टाइप-IB और टाइप-IIB मॉडल पूर्णांक स्पिन (बोसॉन्स) के लिए टू-पॉइंट कोरिलेटर्स के सापेक्ष संकेतों को यूनिटैरिटी के अनुरूप सुरक्षित रखते हैं, जो [2] के परिणामों से मेल खाता है।
- महत्वपूर्ण रूप से, इन यूनिटरी मॉडल्स में कंजुगेशन एक स्यूडो-इनवोल्यूशन है। यह बोसॉन्स पर $+1$ को वर्ग करता है लेकिन फर्मियॉन्स पर $-1 $को। यह गुण इसे$ O(4,1)$ के रिप्रेजेंटेशन थ्योरी के विरोधाभास से बचने की अनुमति देता है, जो मानक इनवोल्यूशन के लिए धनात्मक सीमित ऊर्जा यूनिटरी रिप्रेजेंटेशन को वर्जित करता है।
टोपोलॉजिकल फील्ड्स और वैक्यूम इंटरपोलेशन: लेखक अनुमान लगाते हैं कि $Z_2 \times Z_2$ रियलाइजेशन में डायनेमिकल और टोपोलॉजिकल फील्ड्स की भूमिकाओं का आदान-प्रदान (क्लेन ऑपरेटर्स में उनकी पैरिटी के आधार पर), गैर-ट्रिवियल टोपोलॉजिकल फील्ड्स के माध्यम से AdS और dS वैकुआ के बीच इंटरपोलेशन के लिए एक तंत्र का सुझाव देता है, जो मैक्सिमल सिमेट्री को तोड़ सकता है।

महत्व और दावे (Significance and Claims)
यह शोध पत्र दावा करता है कि यह फर्मियॉन्स को शामिल करने वाली पहली सुसंगत नॉनलीनियर HS गेज थ्योरीज प्रदान करता है जो dS $_4$ में स्थित हैं। इसका महत्व निम्नलिखित में निहित है:

HS थ्योरी का विस्तार: फर्मियॉन्स के लिए dS स्पेस में काल्पनिक द्रव्यमान पदों की दीर्घकालिक बाधा को दूर करना।
संरचनाओं का एकीकरण: यह दिखाना कि $Z_2 \times Z_2$ सुपर-अलजेब्रा संरचना, जो पहले dS SUGRA के लिए उपयोग की गई थी, पूर्ण नॉनलीनियर HS सिस्टम के भीतर स्वाभाविक रूप से उभरती है।
होलोग्राफिक निहितार्थ: लेखक सुझाव देते हैं कि ये मॉडल dS $_4$ /CFT होलोग्राफी के लिए प्रासंगिक हैं। विशेष रूप से, स्यूडो-इनवोल्यूशन गुण बाउंड्री के दोहरीकरण (विपरीत अनंत समय पर दो $S^3$ ) और dS स्पेस में टाइम रिवर्शल की प्रकृति से संबंधित हो सकता है। वे अनुमान लगाते हैं कि बाउंड्री CFT में बाउंड्री के $Z_2 \times Z_2$ स्ट्रक्चर से मेल खाने के लिए कम्यूटिंग और एंटी-कम्यूटिंग फील्ड्स के बीच पैरास्टैटिस्टिक्स संबंध शामिल हो सकते हैं।
डार्क एनर्जी: इस कार्य को क्वांटम ग्रेविटी और हायर-स्पिन फील्ड्स के संदर्भ में डार्क एनर्जी के अध्ययन के लिए एक संभावित ढांचे के रूप में रखा गया है।

लेखक इन मॉडल्स के भौतिक कार्यान्वयन के संबंध में एक विनम्र लहजा बनाए रखते हैं, यह नोट करते हुए कि हालांकि वे बीजगणितीय स्थिरता के मुद्दों को हल करते हैं, पूर्ण भौतिक व्याख्या (जैसे, स्पोंटेनियस सिमेट्री ब्रेकिंग, विशिष्ट होलोग्राफिक ड्यूल्स) भविष्य के अनुसंधान का विषय बनी हुई है।

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