Meet-in-the-Middle Compilation of the $[\mathrm{CNOT}]$ Class with Fibonacci Anyons

आज के कंप्यूटरों के लिए असंभव समस्याओं को हल करने वाली मशीन बनाने की खोज में, वैज्ञानिक एक ऐसे मार्ग की तलाश कर रहे हैं जो बहुत सूक्ष्म स्तर के विचित्र नियमों पर आधारित है। मानक कंप्यूटरों के विपरीत, जो सूचना को बिट्स (जो या तो शून्य या एक होते हैं) का उपयोग करके संसाधित करते हैं, क्वांट्वम कंप्यूटर क्वांटम बिट्स या 'क्यूबिट्स' का उपयोग करते हैं। ये क्यूबिट्स एक ही समय में शून्य और एक दोनों होने की नाजुक अवस्था में रह सकते हैं, जिससे वे समानांतर (parallel) रूप से जटिल गणनाएं करने में सक्षम होते हैं। हालांकि, यह अवस्था अविश्वसनीय रूप से नाजुक होती है। गर्मी, कंपन या इलेक्ट्रोमैग्नेटिक शोर से होने वाली मामूली सी हलचल भी सूचना को ढह (collapse) सकती है, जिसे 'डिकोहेरेंस' (decoherence) नामक समस्या कहा जाता है। इसे ठीक करने के लिए, इंजीनियर आमतौर पर क्यूबिट्स को सुरक्षित करने या त्रुटि सुधार (error correction) की अतिरिक्त परतें जोड़ने का प्रयास करते हैं, लेकिन इन विधियों के लिए अक्सर केवल एक स्थिर तार्किक इकाई (logical unit) बनाने के लिए हजारों भौतिक घटकों की आवश्यकता होती है।

एक अलग दृष्टिकोण, जिसे 'टोपोलॉजिकल क्वांटम कंप्यूटिंग' कहा जाता है, सूचना वाहकों की प्रकृति को बदलकर इस नाजुकता को मूल रूप से हल करने का प्रयास करता है। मानक कणों के बजाय, यह विधि 'एनयॉन्स' (anyons) नामक विलक्षण अर्ध-कणों (quasiparticles) का उपयोग करती है। इन एनयॉन्स की कल्पना दो-आयामी स्थान में चलते हुए धागों के रूप में करें। जब आप उनमें से दो को आपस में बदलते हैं, तो वे केवल एक-दूसरे से टकराकर नहीं हटते; वे एक-दूसरे के चारों ओर घूमते हुए एक बुनाई (braid) बनाते हैं। सूचना कणों में नहीं, बल्कि उनके द्वारा बनाई गई बुनाई के आकार में संग्रहीत होती है। क्योंकि सूचना केवल बुनाई के समग्र आकार पर निर्भर करती है न कि धागों के सटीक संचलन पर, यह छोटी त्रुटियों के विरुद्ध स्वाभाविक रूप से सुरक्षित रहती है। यदि धागे थोड़े हिलते भी हैं, तो बुनाई का आकार वही रहता है और सूचना सुरक्षित रहती है।

वह विशिष्ट प्रकार का एनयॉन जिसने शोधकर्ताओं का ध्यान आकर्षित किया है, वह है 'फाइबोनैकी एनयॉन' (Fibonacci anyon)। इन कणों में एक अनूठी विशेषता होती है: जब दो एनयॉन्स आपस में मिलते हैं, तो वे या तो शून्य में विलीन हो सकते हैं या मिलकर एक अन्य फाइबोनैकी एनयॉन बना सकते हैं। यह सरल नियम एक समृद्ध गणितीय संरचना बनाता है जो, सैद्धांतिक रूप से, सार्वभौमिक क्वांटम गणना (universal quantum computation) की अनुमति देता है। हालांकि, इसमें एक पेच है। एक उपयोगी गणना करने के लिए, इन एनयॉन्स को तार्किक क्यूबिट्स का प्रतिनिधित्व करने हेतु समूहों में व्यवस्थित किया जाना चाहिए। जब शोधकर्ता एक दो-क्यूबिट गेट (जो दो सूचनाओं को जोड़ने वाला एक मौलिक ऑपरेशन है) बनाने के लिए छह फाइबोनैकी एनयॉन्स को बुनने का प्रयास करते हैं, तो एक समस्या उत्पन्न होती है। वह गणितीय स्थान जहाँ ये बुनाइयाँ (braids) स्थित होती हैं, पाँच आयामी है, लेकिन एक दो-क्यूबिट सिस्टम को केवल चार आयामों की आवश्यकता होती है। यह अतिरिक्त पाँचवाँ आयाम एक रिसाव (leak) की तरह कार्य करता है। यदि बुनाई पूर्ण नहीं है, तो कुछ क्वांटम सूचना इच्छित चार-आयामी स्थान से बाहर निकलकर इस पाँचवें, अनुपयोगी आयाम में गिर सकती है। एक बार जब सूचना वहां लीक हो जाती है, तो वह खो जाती है, और गणना विफल हो जाती है। इसलिए, लक्ष्य एक विशिष्ट बुनाई पैटर्न खोजना है जो सूचना को सही स्थान के भीतर लॉक रखे और आवश्यक तार्किक ऑपरेशन भी करे।

हाल ही के एक अध्ययन में, शोधकर्ताओं ने इस कार्य के लिए पूर्ण बुनाई पैटर्न खोजने का प्रयास किया। उन्होंने 'CNOT गेट' के समकक्ष विशिष्ट वर्ग के ऑपरेशनों पर ध्यान केंद्रित किया, जो क्वांटम कंप्यूटिंग का एक मानक निर्माण खंड है और एक क्यूबिट को दूसरे को नियंत्रित करने की अनुमति देता है। चुनौती एक ऐसे बुनाई अनुक्रम को खोजने की थी जो इस गेट को लगभग शून्य लीकेज के साथ निष्पादित करे। चूंकि संभावित बुनाई अनुक्रमों की संख्या कदमों की संख्या के साथ तेजी से बढ़ती है, इसलिए सबसे अच्छे विकल्प को खोजना एक ऐसे घास के ढेर में सुई खोजने जैसा है जो हर सेकंड बड़ा होता जा रहा है। पिछले प्रयास यादृच्छिक अनुमान (random guessing) या क्रमिक सुधारों पर निर्भर थे, जो अक्सर सर्वोत्तम समाधानों को चूक जाते थे।

इस अध्ययन में टीम ने एक अलग दृष्टिकोण अपनाया, जिसमें एक परिभाषित सीमा के भीतर प्रत्येक संभावित विकल्प की व्यवस्थित रूप से जांच करने के लिए भारी मात्रा में कंप्यूटिंग शक्ति का उपयोग किया गया। उन्होंने एक विशेष पाइपलाइन बनाई जो हाई-परफॉर्मेंस ग्राफिक्स प्रोसेसर पर चली, जिससे उन्हें पहले के मुकाबले कहीं अधिक लंबे बुनाई अनुक्रमों का परीक्षण करने की अनुमति मिली। उन्होंने पाँच बुनियादी चालों (moves) का उपयोग करके सभी संभावित अनुक्रमों की जांच से शुरुआत की, और अपनी खोज को इक्कीस कदमों तक विस्तृत किया। इस लंबाई पर, उन्होंने एक ऐसी बुनाई पाई जो लगभग 0.004 के लीकेज एरर के साथ गेट को निष्पादित करती थी, जो पिछले अध्ययनों में रैंडम सैंपलिंग द्वारा पाए गए सर्वोत्तम परिणामों से बेहतर था, भले ही उन रैंडम खोजों में बहुत लंबे अनुक्रम देखे गए थे।

आगे बढ़ने के लिए, शोधकर्ताओं ने महसूस किया कि उन्हें हर एक संभावना की जांच करने की आवश्यकता नहीं है। उन्होंने पाया कि जिन जटिल बुनाइयों की वे तलाश कर रहे थे, उनमें से कई को केवल तीन बुनियादी चालों का उपयोग करके बनाया जा सकता है। अपनी खोज को इस छोटे सेट तक सीमित करके, वे समय समाप्त हुए बिना बहुत लंबे अनुक्रमों का पता लगा सके। उन्होंने और भी स्मार्ट शॉर्टकट लागू किए, केवल उन बुनाइयों को देखा जो एक विशिष्ट चाल के साथ शुरू और समाप्त होती थीं, और फिर उन बुनाइयों पर ध्यान केंद्रित किया जो 'पलिंड्रोम' (palindromes) थीं—ऐसे अनुक्रम जो आगे और पीछे दोनों तरफ से समान पढ़े जाते हैं। इन प्रतिबंधों ने उपलब्ध विकल्पों की संख्या को नाटकीय रूप से कम कर दिया, जबकि यह सुनिश्चित किया कि वे सर्वोत्तम समाधानों को न चूकें।

इन अनुकूलित विधियों का उपयोग करते हुए, टीम ने बुनाइयों की खोज को बहत्तर कदमों तक विस्तृत किया। इस विशाल स्थान में, उन्होंने साठ-नौ कदमों की एक विशिष्ट बुनाई पाई जो दो-क्यूबिट गेट को लगभग दस अरब में एक (one part in ten billion) की त्रुटि दर के साथ निष्पादित करती थी। यह एक अत्यंत सूक्ष्म संख्या है, जो यह दर्शाती है कि सूचना लगभग पूरी तरह से इच्छित स्थान के भीतर रही। शोधकर्ताओं ने गणितीय रूप से यह भी सिद्ध किया कि किसी भी सीमित बुनाई लंबाई के लिए लीकेज को बिल्कुल शून्य तक नहीं कम किया जा सकता है, लेकिन जैसे-जैसे बुनाई लंबी होती जाती है, यह शून्य के बेहद करीब पहुँच सकता है। उन्होंने दिखाया कि रैंडम चांस (यादृच्छिक संयोग) से कम-लीकेज वाली बुनाई मिलने की संभावना लंबाई के साथ कितनी तेजी से गिरती है कि रैंडम सर्च लंबी अनुक्रमों के लिए बेकार हो जाता है। इसके बजाय, उनकी व्यवस्थित रूप से खोज स्थान को सीमित करने की विधि कहीं अधिक प्रभावी सिद्ध हुई।

यह अध्ययन प्रदर्शित करता है कि गणितीय अंतर्दृष्टि को ब्रूट-फोर्स कंप्यूटिंग शक्ति के साथ जोड़कर, क्वांटम सूचना को संचालित करने के अत्यधिक कुशल तरीके खोजे जा सकते हैं। शोधकर्ताओं ने केवल एक अच्छा बुनाई पैटर्न ही नहीं खोजा; उन्होंने भविष्य में और भी बेहतर पैटर्न खोजने के लिए एक स्पष्ट मार्ग भी स्थापित किया। उन्होंने दिखाया कि सर्वोत्तम समाधान यादृच्छिक शोर (random noise) में छिपे नहीं होते, बल्कि समस्या की संरचना को समझकर और व्यवस्थित रूप से खोज करके उन्हें खोजा जा सकता है। यह कार्य एक ठोस उदाहरण प्रदान करता है कि कैसे टोपोलॉजिकल प्रोटेक्शन का उपयोग विश्वसनीय क्वांटम गेट बनाने के लिए किया जा सकता है, जो इस क्षेत्र को क्लासिकल मशीनों की पहुंच से परे समस्याओं को हल करने वाले कंप्यूटर बनाने के करीब ले जाता है। निष्कर्ष पुष्टि करते हैं कि हालांकि एक पूर्णतः कार्यात्मक टोपोलॉजिकल क्वांटम कंप्यूटर का मार्ग जटिल है, लेकिन इसे नेविगेट करने वाले उपकरण अधिक तीक्ष्ण और सटीक होते जा रहे हैं।