🔬 भौतिकी

Long-Range Toric Code: Finite-Temperature Topological Order in Two Dimensions

यह शोध पत्र लंबी दूरी के लूप इंटरैक्शन वाले द्वि-आयामी टोरिक कोड मॉडल प्रस्तावित करता है जो स्थैतिक ग्राउंड स्टेट्स को संरक्षित करते हुए परिमित तापमान पर एनीऑन्स (anyons) को सीमित करते हैं, जिससे परिमित-तापमान टोपोलॉजिकल ऑर्डर और स्व-सुधारने वाली क्वांटम मेमोरी सक्षम होती है।

मूल लेखक: Jacopo Gliozzi, Taylor L. Hughes, Kyung-Su Kim

प्रकाशित 2026-10-30

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CC BY 4.0

मूल लेखक: Jacopo Gliozzi, Taylor L. Hughes, Kyung-Su Kim

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क्वांटम कंप्यूटर बनाने की खोज में, वैज्ञानिक एक मौलिक समस्या का सामना कर रहे हैं: इन मशीनों में संग्रहीत जानकारी अविश्वसनीय रूप से नाजुक होती है। एक क्लासिकल कंप्यूटर बिट के विपरीत, जो केवल शून्य या एक होता है, एक क्वांटम बिट अवस्थाओं के एक नाजुक सुपरपोजिशन (superposition) में मौजूद होता है। इस नाजुक जानकारी की रक्षा करने के लिए, शोधकर्ता 'टोपोलॉजिकल ऑर्डर' (topological order) नामक पदार्थ की एक विशेष अवस्था की ओर देखते हैं। कल्पना कीजिए कि एक कपड़े में बुना हुआ एक पैटर्न है; आप कपड़े को खींच सकते हैं या मरोड़ सकते हैं, लेकिन जब तक धागे नहीं काटे जाते, पैटर्न अपरिवर्तित रहता है। द्वि-आयामी (two-dimensional) सामग्रियों में, यह "पैटर्न" एक प्रकार का क्रम है जो सिस्टम के स्थानीय हिस्सों के बजाय उसके वैश्विक संबंधों (global connections) में निवास करता है। परम शून्य तापमान पर, यह क्रम सुदृढ़ होता है, जो क्वांटम डेटा के लिए एक आदर्श तिजोरी के रूप में कार्य करता है। हालाँकि, जैसे ही तापमान थोड़ा भी बढ़ता है, ऊष्मा सूक्ष्म, गतिशील दोष (defects) पैदा करती है जो पैटर्न को अस्त-व्यस्त कर देती है, जिससे संग्रहीत जानकारी नष्ट हो जाती है। दशकों तक, भौतिकविदों का मानना था कि दो आयामों में, यह तापीय विनाश अपरिहार्य था, जिससे उन्हें दिन बचाने के लिए उच्च आयामों या जटिल त्रुटि-सुधार सॉफ्टवेयर की ओर देखना पड़ा।

शोधकर्ताओं के एक दल ने अब एक तरीका प्रस्तावित किया है जिससे इस टोपोलॉजिकल ऑर्डर को दो आयामों में, गर्म तापमान पर भी, जीवित रखा जा सके, और वह भी सामग्री में कणों के एक-दूसरे से बात करने के नियमों को बदलकर। अपने अध्ययन में, उन्होंने प्रसिद्ध "टोरिक कोड" (toric code) पर आधारित पदार्थ के एक नए मॉडल को डिजाइन किया, जो टोपोलॉजिकल ऑर्डर के लिए एक सैद्धांतिक ढांचा है। इस मॉडल का मानक संस्करण केवल कणों को उनके निकटतम पड़ोसियों के साथ बातचीत करने की अनुमति देता है। हालाँकि, नया मॉडल लंबी दूरी के इंटरैक्शन (long-range interactions) पेश करता है, जहाँ कण पूरे ग्रिड में एक-दूसरे को प्रभावित कर सकते हैं, जिसमें इस प्रभाव की शक्ति दूरी बढ़ने के साथ धीरे-धीरे कम होती जाती है। इस लंबी दूरी के बल के व्यवहार को सावधानीपूर्वक ट्यून करके, शोधकर्ताओं ने पाया कि वे इन विनाशकारी दोषों को उनके स्थान पर फंसा सकते हैं, जिससे उन्हें घूमने और क्वांटम मेमोरी को अस्त-व्यस्त करने से रोका जा सके।

शोधकर्ताओं ने, 'लॉन्ग-रेंज टोरिक कोड' नामक मॉडल के साथ काम करते हुए, यह खोजा कि सिस्टम का व्यवहार पूरी तरह से इस बात पर निर्भर करता है कि लंबी दूरी का बल दूरी के साथ कितनी तेजी से कमजोर होता है। उन्होंने दो अलग-अलग शासन (regimes) की पहचान की। पहले शासन में, जहाँ बल मध्यम रूप से कमजोर होता है, सिस्टम एक "आंशिक रूप से स्व-सुधारात्मक" (partially self-correcting) मेमोरी के रूप में कार्य करता है। यहाँ, लंबी दूरी के इंटरैक्शन विनाशकारी दोषों को सीमित रखने के लिए पर्याप्त मजबूत हैं, लेकिन केवल एक निश्चित आकार तक। यदि सिस्टम छोटा है, तो दोष कैद रहते हैं, और मेमोरी सुरक्षित रहती है। यदि सिस्टम एक विशिष्ट सीमा से बड़ा हो जाता है, तो तापीय ऊर्जा अंततः जाल को तोड़ देती है, और दोष बाहर निकल जाते हैं। हालाँकि, यह सीमा इतनी बड़ी है कि किसी भी व्यावहारिक आकार के लिए, मेमोरी असाधारण लंबे समय तक स्थिर रहती है, जो प्रभावी रूप से मानव जीवनकाल के लिए एक आदर्श तिजोरी के रूप में कार्य करती है।

एक दूसरे, अधिक चरम शासन में, जहाँ लंबी दूरी का बल और भी अधिक धीरे-धीरे कमजोर होता है, शोधकर्ताओं ने एक वास्तव में उल्लेखनीय परिणाम पाया: एक "पूर्णतः स्व-सुधारात्मक" (fully self-correcting) क्वांटम मेमोरी। इस परिदृश्य में, विनाशकारी दोषों को अलग करने के लिए आवश्यक ऊर्जा उनके दूर जाने के साथ असीमित रूप से बढ़ती जाती है। यह ऊर्जावान रूप से असंभव हो जाता है कि ऊष्मा दोषों को अलग करे, चाहे सिस्टम कितना भी बड़ा क्यों न हो। फलस्वरूप, दोष कसकर जोड़े में बंधे रहते हैं, और स्वतंत्र रूप से घूमने या टोपोलॉजिकल पैटर्न को नष्ट करने में असमर्थ होते हैं। इसका अर्थ है कि क्वांटम जानकारी अनिश्चित काल के लिए सुरक्षित है, भले ही सिस्टम बड़ा होता जाए, और इसके लिए किसी सक्रिय त्रुटि सुधार या बाहरी हस्तक्षेप की आवश्यकता नहीं है। शोधकर्ताओं ने व्यापक कंप्यूटर सिमुलेशन के माध्यम से इन निष्कर्षों की पुष्टि की, यह देखते हुए कि सिस्टम एक अव्यवस्थित, उच्च-तापमान वाली अवस्था से एक व्यवस्थित, निम्न-तापमान वाली अवस्था में स्पष्ट संक्रमण (transition) से गुजरता है जहाँ मेमोरी सुरक्षित रहती है।

अध्ययन ने यह भी खुलासा किया कि इन दोषों की गति नए लॉन्ग-रेंज नियमों द्वारा अत्यधिक प्रतिबंधित है। पूर्णतः संरक्षित शासन में, व्यक्तिगत दोष अनिवार्य रूप से अचल होते हैं, जो एक ठोस जाली (lattice) में फंसे कणों की तरह व्यवहार करते हैं। वे केवल तभी चल सकते हैं जब वे ऊष्मा द्वारा बनाए गए अन्य विशिष्ट दोषों के समूहों (clusters) को अवशोषित करते हैं, एक ऐसी प्रक्रिया जो निम्न तापमान पर इतनी दुर्लभ है कि यह प्रभावी रूप से कभी नहीं होती। यह गतिज बाधा (kinetic constraint) एक प्राकृतिक ढाल के रूप में कार्य करती है, यह सुनिश्चित करती है कि सिस्टम की वैश्विक संरचना में एनकोडेड क्वांटम जानकारी सुरक्षित रहे। शोधकर्ताओं ने दिखाया कि परिमित तापमान (finite temperatures) पर इस सिस्टम में 'लॉन्ग-रेंज एंटैंगलमेंट' (long-range entanglement) होता है, जो पूरी सामग्री में फैला एक गहरा क्वांटम संबंध है, जो पुष्टि करता है कि टोपोलॉजिकल ऑर्डर वास्तव में मौजूद है न कि केवल एक अस्थायी भ्रम।

यह कार्य इस लंबे समय से चले आ रहे विश्वास को चुनौती देता है कि दो-आयामी टोपोलॉजिकल ऑर्डर ऊष्मा से जीवित नहीं रह सकता। कणों के बीच के इंटरैक्शन को लंबी दूरी तक विस्तारित करके, शोधकर्ताओं ने एक ऐसा सैद्धांतिक ढांचा तैयार किया है जहाँ एक क्वांटम मेमोरी अपने स्वयं के भौतिक नियमों के आधार पर अपनी त्रुटियों को ठीक कर सकती है। हालाँकि यह मॉडल ऐसे इंटरैक्शन पर निर्भर है जिन्हें वर्तमान भौतिक सामग्रियों में पूरी तरह से साकार करना कठिन है, फिर भी यह एक मजबूत क्वांटम मेमोरी डिजाइन करने के लिए एक स्पष्ट ब्लूप्रिंट प्रदान करता है। निष्कर्ष बताते हैं कि यदि वैज्ञानिक समान लॉन्ग-रेंज गुणों वाली सामग्रियों को इंजीनियर कर सकें, शायद प्रोग्रामेबल क्वांटम उपकरणों का उपयोग करके इंटरैक्शन का अनुकरण कर सकें, तो वे अंततः एक ऐसा क्वांटम कंप्यूटर बना सकते हैं जो निरंतर मानवीय देखरेख के बिना विश्वसनीय रूप से सूचना संग्रहीत कर सके। अध्ययन यह दावा नहीं करता है कि अभी ऐसा उपकरण बनाया गया है, लेकिन यह सिद्ध करता है कि भौतिकी के नियम इस प्रकार की पदार्थ अवस्था के अस्तित्व को संभव बनाते हैं, जो स्थिर क्वांटम तकनीक की ओर एक नया मार्ग खोलता है।

तकनीकी सारांश: लॉन्ग-रेंज टोरिक कोड: दो आयामों में परिमित-तापमान टोपोलॉजिकल ऑर्डर

समस्या विवरण
दो-आयामी (2D) टोपोलॉजिकल रूप से क्रमबद्ध अवस्थाएं, जैसे कि मानक टोरिक कोड, शून्य तापमान पर क्वांटम मेमोरी के रूप में कार्य करती हैं क्योंकि वे सूचना को एक अपभ्रष्ट ग्राउंड स्टेट मैनिफोल्ड में गैर-स्थानीय रूप से एनकोड करती हैं। हालांकि, किसी भी परिमित तापमान ( $T > 0$ ) पर, ये प्रणालियाँ अस्थिर होती हैं। तापीय रूप से उत्तेजित एनीऑन्स (anyons) प्रचुर मात्रा में हो जाते हैं क्योंकि उन्हें अलग करने की ऊर्जा लागत ( $\Delta E$ ) परिमित है, जबकि एंट्रॉपी लाभ ( $\Delta S \sim \ln L$ ) सिस्टम के आकार $L$ के साथ लघुगणकीय (logarithmically) रूप से बढ़ता है। इसके परिणामस्वरूप मुक्त ऊर्जा में परिवर्तन ऋणात्मक ( $\Delta F = \Delta E - T\Delta S$ ) होता है, जिससे संग्रहीत क्वांटम सूचना का तेजी से विनाश होता है। जबकि 4D टोरिक कोड और कुछ 3D फ्रैक्टोन मॉडल परिमित-तापमान स्थिरता प्रदान करते हैं, परिमित-तापमान टोपोलॉजिकल ऑर्डर वाले थर्मोडायनामिक रूप से सुव्यवस्थित 2D सिस्टम का निर्माण करना एक खुला प्रश्न बना हुआ था।

कार्यप्रणाली
लेखक एक लॉन्ग-रेंज टोरिक कोड (LRTC) वर्ग का परिचय देते हैं जो एक 2D यूक्लिडियन लैटिस पर परिभाषित है। मानक टोरिक कोड के विपरीत, जो केवल स्थानीय स्टार और प्लेक्वेट स्टेबलाइजर्स का उपयोग करता है, LRTC में बड़े लूप्स (विशेष रूप से वर्गाकार लूप्स) पर आधारित अतिरिक्त स्टेबलाइजर्स शामिल हैं जिनके कपलिंग स्ट्रेंथ लूप के परिधि $\ell$ के साथ बीजगणितीय रूप से $\ell^{-\alpha}$ के रूप में घटती है।

हैमिल्टनियन (Hamiltonian) इस प्रकार है:
$H_{sq} = -\sum_{s \in S} \frac{J_B}{\ell(s)^\alpha} B_s - \sum_{\tilde{s} \in \tilde{S}} \frac{J_A}{\ell(\tilde{s})^\alpha} A_{\tilde{s}}$
महत्वपूर्ण रूप से, चूंकि ये बड़े-लूप ऑपरेटर सीधे और ड्यूल लैटिस पर मौलिक स्टेबलाइजर्स के उत्पाद हैं, इसलिए ग्राउंड स्टेट मैनिफोल्ड साधारण टोरिक कोड के समान ही रहता है। लेखक निम्नलिखित माध्यमों से इस प्रणाली का विश्लेषण करते हैं:

विश्लेषणात्मक ऊर्जा विज्ञान (Analytical Energetics): $T=0$ और $T>0$ पर एनीऑन्स को अलग करने की ऊर्जा लागत $\Delta E(d)$ की गणना करना, जिसमें बैकग्राउंड एनीऑन पेयर्स या क्लस्टर्स द्वारा थर्मल स्क्रीनिंग को ध्यान में रखा गया है।
मोंटे कार्लो सिमुलेशन (Monte Carlo Simulations): हैमिल्टनियन की CSS संरचना (चुंबकीय क्षेत्र के कारण) पर शास्त्रीय मोंटे कार्लो सिमुलेशन करना ताकि विशिष्ट ऊष्मा (specific heat), लॉजिकल एरर प्रोबेबिलिटी और विभिन्न सिस्टम साइज $L$ और इंटरेक्शन रेंज $\alpha$ के लिए मेमोरी लाइफटाइम की गणना की जा सके।
पुनर्सामान्यीकरण समूह (RG) डिकोडिंग: एनीऑन घनत्व के क्षय को कोर्स-ग्रेनिंग के तहत ट्रैक करके, गिब्स स्टेट (Gibbs state) में लॉन्ग-रेंज एंटैंगलमेंट (LRE) का परीक्षण करने के लिए एक RG डिकोडर का उपयोग करना।

मुख्य योगदान और परिणाम

शून्य-तापमान कन्फाइंड टोपोलॉजिकल ऑर्डर:
लेखक प्रदर्शित करते हैं कि विशिष्ट इंटरेक्शन एक्सपोनेंट $\alpha$ के लिए, एनीऑन्स को अलग करने की ऊर्जा लागत दूरी के साथ बढ़ती है, जो टोपोलॉजिकल ग्राउंड स्टेट के बावजूद उन्हें कन्फाइंड (confined) कर देती है।
- रेजीम $2 < \alpha \le 3$ : एनीऑन्स सबलीनियर पावर-लॉ ( $\Delta E \sim d^{3-\alpha}$ ) या लॉगरिदमिक ( $\Delta E \sim \ln d$ ) ऊर्जा लागत के साथ कन्फाइंड होते हैं।
- रेजीम $1 < \alpha \le 2$ : सिस्टम "सुपर-कन्फाइनमेंट" प्रदर्शित करता है। आइसोलेटेड एनीऑन डिपोल्स की ऊर्जा लागत विवर्धित (diverging) होती है ( $\Delta E \sim d L^{2-\alpha}$ ), जिससे वे नॉन-फाइनाइट-एनर्जी एक्साइटेशन बन जाते हैं। इसके बजाय, मौलिक फाइनाइट-एनर्जी एक्साइटेशन कॉम्पैक्ट एनीऑन क्वाड्रूपोल्स (चार-एनीऑन क्लस्टर्स) हैं। इस रेजीम में एक उभरता हुआ सबसिस्टम सिमेट्री भी है जहाँ प्रत्येक रो और कॉलम पर एनीऑन पैरिटी संरक्षित रहती है, जिससे व्यक्तिगत एनीऑन्स स्थिर (immobile) हो जाते हैं (फ्रैक्टोन-जैसे व्यवहार)।
परिमित-तापमान स्थिरता और स्क्रीनिंग:
लेखक कन्फाइनमेंट पर थर्मल बैकग्राउंड के प्रभाव का विश्लेषण करते हैं:
- $2 < \alpha \le 3$ के लिए: टाइटली बाउंड एनीऑन डिपोल्स का थर्मल बैकग्राउंड एक बड़े लेकिन परिमित लंबाई स्केल $L_{conf} \sim e^{\beta \Delta_2}$ तक कन्फाइंड पोटेंशियल को स्क्रीन करता है। फलस्वरूप, टोपोलॉजिकल ऑर्डर केवल इस स्केल तक आंशिक रूप से संरक्षित रहता है, जो एक आंशिक रूप से स्व-सुधारने वाली (partially self-correcting) क्वांटम मेमोरी प्रदान करता है।
- $1 < \alpha \le 2$ के लिए: थर्मल बैकग्राउंड फाइनाइट-एनर्जी क्वाड्रूपोल्स से बना होता है। महत्वपूर्ण रूप से, ये क्वाड्रूपोल्स बड़े दूरियों पर कन्फाइंड पोटेंशियल को स्क्रीन नहीं करते हैं क्योंकि वे बड़े लूप्स में सम संख्या में एनीऑन्स डालते हैं, जिससे लूप साइन सुरक्षित रहता है। अतः, कन्फाइनमेंट अनिश्चित स्केल पर बना रहता है, जो थर्मोडायनामिक लिमिट में परिमित-तापमान टोपोलॉजिकल ऑर्डर का समर्थन करता है।
क्वांटम मेमोरी प्रदर्शन:
- आंशिक रूप से स्व-सुधारने वाली ( $2 < \alpha \le 3$ ): मेमोरी लाइफटाइम $t_{mem}$ सिस्टम साइज $L$ के साथ केवल $L_{conf}$ तक बढ़ता है, जिसके बाद यह संतृप्त (saturate) हो जाता है। हालांकि, संतृप्ति मान $\beta$ में सुपर-एक्सपोनेंशियल रूप से बड़ा है ( $t_{mem} \sim \exp[\exp(\beta)]$ ), जो सुलभ सिस्टम साइज के लिए अत्यंत लंबी स्टोरेज अवधि प्रदान करता है।
- पूर्ण रूप से स्व-सुधारने वाली ( $1 < \alpha \le 2$ ): मेमोरी लाइफटाइम $L \to \infty$ होने पर विवर्धित होता है ( $t_{mem} \sim \exp[\beta L^{3-\alpha}]$ )। लेखक तर्क देते हैं कि यह काइनेटिक बाधाओं (kinetic constraints) के कारण है: व्यक्तिगत एनीऑन्स बिना अनंत-ऊर्जा उत्तेजनाएं पैदा किए हिल नहीं सकते, और लॉजिकल एरर (जिसके लिए एक एनीऑन को नॉन-कॉन्ट्रैक्टिबल लूप के चारों ओर घुमाना आवश्यक है) गतिशील रूप से दमित होते हैं।
लॉन्ग-रेंज एंटैंगलमेंट (LRE):
एक RG डिकोडर का उपयोग करते हुए, लेखक दिखाते हैं कि $1 < \alpha \le 2$ के लिए, लो-टेम्परेचर गिब्स स्टेट लॉन्ग-रेंज एंटैंगल्ड है। डिकोडर को-र्स-ग्रेनिंग के दौरान एनीऑन डिफेक्ट्स को क्लीन-अप करने में सफल होता है, जो थर्मल स्टेट को ग्राउंड स्टेट सबस्पेस में मैप करता है। $2 < \alpha \le 3$ के लिए, LRE सिग्नेचर केवल $L_{conf}$ स्केल तक मौजूद रहते हैं।

महत्व और दावे
यह पेपर दावा करता है कि यह प्रथम उदाहरण है जो एक थर्मोडायनामिक रूप से सुव्यवस्थित 2D सिस्टम प्रस्तुत करता है जो परिमित-तापमान टोपोलॉजिकल ऑर्डर को होस्ट करता है। लॉन्ग-रेंज लूप इंटरेक्शन पेश करके, लेखक उस मानक 2D लोकैलिटी ऑब्स्ट्रक्शन को दरकिनार करते हैं जो स्व-सुधारने वाली क्वांटम मेमोरी को रोकता है।

यह कार्य लॉन्ग-रेंज आइसिंग मॉडल के साथ LRTC के प्रत्यक्ष सादृश्य को स्थापित करता है, जहाँ लॉन्ग-रेंज इंटरेक्शन थर्मल फ्लक्चुएशन के विरुद्ध ऑर्डर को स्थिर करते हैं। इसके अलावा, वे $1 < \alpha \le 2$ रेजीम में एनीऑन डायनेमिक्स और 2D क्रिस्टल के डिफेक्ट डायनेमिक्स (फ्रैक्टोन-इलास्टिसिटी द्वैतता) के बीच एक उल्लेखनीय समानता को उजागर करते हैं, जहाँ व्यक्तिगत एनीऑन्स स्थिर फ्रैक्टॉन्स की तरह व्यवहार करते हैं, डिपोल्स लाइनियॉन्स की तरह, और क्वाड्रूपोल्स मोबाइल एक्साइटेशन की तरह।

लेखक विनम्रतापूर्वक नोट करते हैं कि हालांकि उन्होंने पूर्ण रूप से स्व-सुधारने वाली मेमोरी के लिए मजबूत विश्लेषणात्मक और संख्यात्मक साक्ष्य प्रदान किए हैं, लेकिन नॉन-लोकल इंटरेक्शन और एंट्रॉपी कारकों की जटिलता के कारण विवर्धित मेमोरी टाइम का कठोर प्रमाण (rigorous proof) देना चुनौतीपूर्ण बना हुआ है। वे मिश्रित-अवस्था (mixed-state phase) के सटीक लक्षण वर्णन और चरण संक्रमण (phase transition) की प्रकृति को भविष्य के अनुसंधान के लिए खुला छोड़ देते हैं।

तकनीकी सारांश: लॉन्ग-रेंज टोरिक कोड: दो आयामों में परिमित-तापमान टोपोलॉजिकल ऑर्डर

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