State Synthesis with an NP oracle
यह शोध पत्र एक क्वांटम एल्गोरिदम प्रस्तुत करता है जो एक ओरेकल (oracle) का उपयोग करके बहुपदीय समय (polynomial time) में व्युत्क्रम घातांकीय परिशुद्धता (inverse exponential precision) के साथ मनमानी क्वांटम अवस्थाओं को तैयार करता है, जिससे पिछले ऊपरी स्तर में सुधार होता है और यह प्रदर्शित होता है कि इस कार्य के लिए या ओरेकलल्स अपर्याप्त हैं।
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क्वांटम दुनिया में, सूचना सरल शून्य और एक के रूप में संग्रहीत नहीं होती है, बल्कि संभावनाओं की नाजुक, झिलमिलाती तरंगों के रूप में होती है। एक उपयोगी क्वांटम कंप्यूटर बनाने के लिए, वैज्ञानिकों को इन तरंगों को विशिष्ट आकृतियों में ढालना सीखना होगा, जिसे 'स्टेट प्रिपरेशन' (अवस्था तैयारी) के रूप में जाना जाता है। कल्पना कीजिए कि आप प्रकाश से एक अनूठी, जटिल मूर्ति बनाने की कोशिश कर रहे हैं; चुनौती यह है कि इस मूर्ति के निर्देश लिखना अविश्वसनीय रूप से कठिन हो सकता है, जिसमें गणना का एक ऐसा स्तर आवश्यक है जो किसी भी मशीन के लिए तेजी से करना असंभव लगता है। वर्षों से, शोधकर्ता इस बात पर विचार कर रहे हैं कि क्या इन क्वांटम अवस्थाओं को बनाने की कठिनाई कुछ शास्त्रीय पहेलियों को हल करने की कठिनाई से जुड़ी हुई है। यदि एक कंप्यूटर एक विशिष्ट प्रकार की कठिन पहेली को हल कर सकता है, तो क्या वह तुरंत संगत क्वांटम अवस्था को भी प्रकट कर सकता है? यह प्रश्न दो विशाल क्षेत्रों के संगम पर स्थित है: यह अध्ययन कि समस्याओं को हल करना कितना कठिन है, और यह अध्ययन कि क्वांटम मशीनें वास्तविकता को कैसे संचालित करती हैं।
टेक्सास विश्वविद्यालय एट ऑस्टिन के अनिरुद्ध सेन का एक नया शोध पत्र इस प्रश्न का एक आश्चर्यजनक उत्तर देता है। यह शोध प्रदर्शित करता है कि एक क्वांटम कंप्यूटर, यदि उसे एक विशिष्ट प्रकार के समस्या-समाधान सहायक (हेल्पर) तक पहुंच दी जाए, तो वह उचित समय में अत्यधिक सटीकता के साथ किसी भी वांछित क्वांटम अवस्था को बना सकता है। इस परिदृश्य में उपयोग किया गया सहायक एक "NP ऑरेकल" है, जो एक सैद्धांतिक उपकरण है जो तुरंत सत्यापित कर सकता है कि क्या किसी जटिल पहेली का प्रस्तावित समाधान सही है। इस कार्य से पहले, सबसे अच्छी ज्ञात विधि के लिए एक बहुत अधिक शक्तिशाली, और संभवतः अधिक अमूर्त, प्रकार के सहायक की आवश्यकता थी जिसे "PP ऑरेकल" कहा जाता है। सेन का एल्गोरिदम दिखाता है कि कमजोर NP सहायक वास्तव में पर्याप्त है, बशर्ते कि कंप्यूटर उस क्वांटम अवस्था के कच्चे नंबरों को भी देख सके जिसे वह बनाने की कोशिश कर रहा है। यह निष्कर्ष बताता है कि समाधानों को सत्यापित करने की क्षमता, क्वांटम पदार्थ उत्पन्न करने के मामले में उन्हें हल करने की क्षमता के लगभग बराबर शक्तिशाली है।
इस उपलब्धि का मूल तत्व यह है कि एल्गोरिदम अवस्था का निर्माण कैसे करता है। पारंपरिक रूप से, एक जटिल क्वांटम अवस्था बनाना एक इमारत को मंजिल दर मंजिल बनाने जैसा है, जहाँ प्रत्येक नया स्तर नीचे के फर्शों के सटीक वजन पर निर्भर करता है। इसे करने के लिए, एक कंप्यूटर को आमतौर पर संभावनाओं की एक विशाल संख्या के योग की गणना करने की आवश्यकता होती है, जो कि एक ऐसा कार्य है जिसके लिए आमतौर पर भारी-भरचकी PP ऑरेकल की आवश्यकता होती है। हालाँकि, सेन का दृष्टिकोण एक चतुर दो-चरणीय रणनीति का उपयोग करता है। पहले, वह अवस्था का एक मोटा, अनुमानित संस्करण प्राप्त करने के लिए NP ऑरेकल का उपयोग करता है। यह पूर्ण नहीं है, लेकिन यह एक आधार के रूप में कार्य करने के लिए पर्याप्त करीब है। फिर, एल्गोरिदम दूसरे दौर में उसी NP ऑरेकल का उपयोग करके इस मोटे अनुमान और वास्तविक लक्ष्य के बीच के अंतर की जांच करता है। दोनों की तुलना करके, कंप्यूटर त्रुटियों को अलग कर सकता है और उन्हें ठीक कर सकता है।
इस सुधार को काम करने के लिए, एल्गोरिदम "क्वांटम रिजेक्शन सैंपलिंग" नामक तकनीक का उपयोग करता है। इस प्रक्रिया में, कंप्यूटर एक सुपरपोजिशन बनाता है जहाँ सही भागों को थोड़ा बढ़ाया जाता है और गलत भागों को दबा दिया जाता है। यह एक छलनी की तरह है जो सही रेत के कणों को नीचे गिरने देती है जबकि गलत कणों को रोक लेती है, लेकिन यह क्वांटम क्षेत्र में होता है जहाँ "छलनी" संभावना की तरंगों का एक गणितीय रोटेशन है। एक बार जब त्रुटियों को छान लिया जाता है, तो 'एम्प्लीट्यूड एम्प्लीफिकेशन' नामक अंतिम चरण सही परिणाम की संभावना को तब तक बढ़ाता है जब तक कि वह लगभग निश्चित न हो जाए। परिणाम एक ऐसी क्वांटम अवस्था है जो लक्ष्य से इतनी उच्च सटीकता के साथ मेल खाती है कि त्रुटि की संभावना एक अरब अरब में एक से भी कम है।
यह शोध पत्र इस शक्ति की सीमाओं को भी संबोधित करता है। सेन ठोस प्रमाण प्रदान करते हैं कि NP ऑरेकल सबसे कमजोर संभव सहायक है जो इस कार्य को कुशलतापूर्वक प्राप्त कर सकता है। शोध दर्शाता है कि यदि कंप्यूटर केवल एक मानक "P ऑरेकल" का उपयोग करने तक सीमित रहता, जो आसान समस्याओं को हल कर सकता है, तो उसे काम पूरा करने के लिए घातांकीय (exponentially) बड़ी संख्या में प्रश्न पूछने की आवश्यकता होती। इसका तात्पर्य यह है कि आसान समस्याओं से NP समस्याओं तक का उछाल कुशल क्वांटम अवस्था निर्माण के लिए एक महत्वपूर्ण दहलीज है। वह इसे यह दिखाकर सिद्ध करते हैं कि कोई भी एल्गोरिदम जो कमजोर ऑरेकल का उपयोग करता है, एक उचित समय के भीतर एक मौलिक खोज समस्या को हल करने में विफल रहेगा, जिससे इस विशिष्ट क्वांटम कार्य के लिए सरल उपकरणों का उपयोग करने की संभावना खारिज हो जाती है।
एल्गोरिदम के यांत्रिकी के अलावा, यह कार्य क्वांटम जटिलता (quantum complexity) के व्यापक क्षेत्र के लिए महत्वपूर्ण निहितार्थ रखता है। यह सुझाव देता है कि क्वांटम अवस्था तैयार करने का कठिन कार्य, जिसे अक्सर एक छिपे हुए गवाह (witness) की खोज के रूप में देखा जाता है, उस अवस्था का वर्णन करने वाली संख्याओं की गणना करने के सरल कार्य में बदला जा सकता है। यह क्वांटम दुनिया के QMA (जो क्वांटम प्रमाणों के लिए एक जटिलता वर्ग है) को शास्त्रीय दुनिया के NP के साथ जोड़ता है। ये निष्कर्ष एक बड़े प्रश्न के द्वार खोलते हैं: यदि हम एक NP ऑरेकल के साथ किसी भी क्वांटम अवस्था को बना सकते हैं, तो क्या हम उसी उपकरण का उपयोग करके किसी भी क्वांटम ऑपरेशन, या यूनिटरी (unitary), को भी बना सकते हैं? हालांकि यह शोध पत्र इस बड़े पहेली को हल नहीं करता है, लेकिन यह एक स्पष्ट मार्ग प्रशस्त करता है, जो सुझाव देता है कि समान तकनीकें अधिक सामान्य क्वांटम यूनिटरी संश्लेषण (quantum unitary synthesis) की समस्या पर भी लागू हो सकती हैं।
यह शोध हमारी इस समझ को परिष्कृत करता है कि सीमित संसाधनों के साथ क्वांटम कंप्यूटर क्या हासिल कर सकते हैं। यह दिखाते हुए कि किसी भी क्वांटम अवस्था को उत्पन्न करने के लिए एक अपेक्षाकृत मामूली ऑरेकल ही पर्याप्त है, यह शोध पत्र सैद्धांतिक संभावना और व्यावहारिक कार्यान्वयन के बीच के अंतर को कम करता है। यह पुष्टि करता है कि जटिल क्वांटम अवस्थाओं को बनाने की बाधा कंप्यूटिंग शक्ति की एक अजेय दीवार नहीं है, बल्कि एक विशिष्ट प्रकार का तार्किक सत्यापन है जो ज्ञात जटिलता वर्गों की पहुंच के भीतर है। जैसे-जैसे यह क्षेत्र वास्तविक क्वांटम मशीनों के निर्माण की ओर बढ़ता है, यह जानना कि इन प्रकाश की अवस्थाओं को गढ़ने के लिए कितनी सहायता की आवश्यकता है, इंजीनियरिंग की पहेली का एक महत्वपूर्ण हिस्सा बन जाता है।
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