⚛️ क्वांटम भौतिकी

Tight Quasiprobabilistic Entropic Uncertainty Relations for Discrete Quantum Systems

यह शोध पत्र यह सिद्ध करके कि धनात्मक किर्कवुड-डिराक और ग्रॉस-विग्नर अर्ध-प्रायिकता वितरण वाले शुद्ध अवस्थाएँ एंट्रॉपी को न्यूनतम करती हैं, और यह प्रदर्शित करके कि किर्कवुड-डिराक वितरणों में बड़ा गैर-धनात्मकता बड़े अनिश्चितता के अनुरूप है, विविक्त क्वांटम प्रणालियों के लिए सटीक एंट्रॉपी अनिश्चितता संबंध स्थापित करता है।

मूल लेखक: Jonathan J. Thio, Stephan De Bièvre, Crispin H. W. Barnes, David R. M. Arvidsson-Shukur

प्रकाशित 2026-11-04

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CC BY 4.0

मूल लेखक: Jonathan J. Thio, Stephan De Bièvre, Crispin H. W. Barnes, David R. M. Arvidsson-Shukur

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क्वांटम दुनिया में, निश्चितता के वे नियम जो हमारे दैनिक जीवन को नियंत्रित करते हैं, टूट जाते हैं। एक कण एक ही समय में एक निश्चित स्थिति और एक निश्चित गति नहीं रख सकता; हम एक के बारे में जितनी सटीकता से जानते हैं, दूसरे के बारे में उतना ही कम जान सकते हैं। यह हमारे मापने वाले उपकरणों की सीमा नहीं है, बल्कि प्रकृति की एक मौलिक विशेषता है जिसे अनिश्चितता का सिद्धांत (uncertainty principle) कहा जाता है। दशकों से, भौतिकविदों ने इस अनिश्चितता को मापने का प्रयास किया है, न कि केवल यह कि कोई मान कितना डगमगाता है, बल्कि यह गणना करके कि संभावित परिणामों में "अव्यवस्था" या अप्रत्याशता की मात्रा कितनी है। सूचना सिद्धांत (information theory) की भाषा में, इस अव्यवस्था को एंट्रॉपी (entropy) कहा जाता है। उच्च एंट्रॉपी वाली अवस्था अत्यधिक अनिश्चित होती है, जैसे ताशों का एक फेंटा हुआ डेक, जबकि निम्न एंट्रॉपी वाली अवस्था पूर्वानुमान योग्य होती है, जैसे सूट के अनुसार क्रमबद्ध डेक।

भौतिकविदों को लंबे समय से संदेह रहा है कि कुछ विशिष्ट क्वांटम अवस्थाएँ इस अनिश्चितता की पूर्ण सीमा का प्रतिनिधित्व करती हैं। ये "न्यूनतम अनिश्चितता अवस्थाएँ" (minimal uncertainty states) हैं, जो प्रकृति द्वारा अनुमत सबसे व्यवस्थित संरचनाएँ हैं। निरंतर प्रणालियों (continuous systems) के लिए, जैसे कि अंतरिक्ष में एक कण की गति, यह सिद्ध किया गया था कि ये न्यूनतम अवस्थाएँ 'कोहेरेंट स्टेट्स' (coherent states) हैं, जो लगभग शास्त्रीय तरंगों की तरह व्यवहार करती हैं। हालाँकि, जब वैज्ञानिकों ने इसी तर्क को असतत प्रणालियों (discrete systems)—उन क्वांटम वस्तुओं पर लागू करने की कोशिश की जो एक सीमित संख्या में चरणों में मौजूद होती हैं, जैसे कि क्वांटम कंप्यूटर के बिट्स—तो कहानी जटिल हो गई। एक दशक पहले, एक परिकल्पना ने सुझाव दिया था कि इन असतत प्रणालियों के लिए, सबसे कम अनिश्चितता वाली अवस्थाएँ वे होंगी जो एक विशेष गणितीय मानचित्र जिसे 'क्वासिप्रोबेबिलिटी डिस्ट्रीबション' (quasiprobability distribution) कहा जाता है, में "धनात्मक" (positive) दिखती हैं। यह मानचित्र क्वांटम अवस्थाओं को दृश्यमान बनाने का एक उपकरण है, लेकिन एक मानक संभाव्यता मानचित्र के विपरीत, यह कभी-कभी ऋणात्मक मान भी दिखा सकता है, जो शुद्ध क्वांटम व्यवहार का संकेत देते हैं। परिकल्पना यह थी कि यदि किसी अवस्था का इस मानचित्र में कोई ऋणात्मक मान नहीं है, तो वह सबसे व्यवस्थित अवस्था होगी। हाल ही में, इस मानचित्र के निरंतर संस्करण के लिए यह विचार गलत साबित हुआ, जिससे असतत क्वांटम प्रणालियों के बारे में हमारी समझ में एक रिक्तता रह गई।

एक नए अध्ययन में, शोधकर्ताओं जोनाथन जे. थिओ, स्टीफन डी बीवरे, क्रिस्पिन एच. डब्ल्यू. बार्न्स और डेविड आर. एम. अरविड्सन-शुकर ने इस रिक्तता को भर दिया है, यह सिद्ध करके कि यह परिकल्पना वास्तव में दो विशिष्ट प्रकार के असतत क्वांटम मानचित्रों के लिए सत्य है। उन्होंने उन प्रणालियों पर ध्यान केंद्रित किया जहाँ स्थिति और संवेग (momentum) का वर्णन करने वाले गणितीय उपकरण "परस्पर असंगत" (mutually unbiased) हैं, जिसका अर्थ है कि वे एक-दूसरे से जितने संभव हो सके उतने अलग हैं, और विषम-संख्या वाली क्वांटम प्रणालियों के लिए उपयोग किए जाने वाले एक विशिष्ट प्रकार के मानचित्र पर। टीम ने प्रदर्शित किया कि इन प्रणालियों के लिए, अनिश्चितता को न्यूनतम करने वाली अवस्थाएँ ठीक वे शुद्ध अवस्थाएँ (pure states) हैं जो इन मानचित्रों में पूरी तरह से धनात्मक दिखाई देती हैं। दूसरे शब्दों में, सबसे व्यवस्थित क्वांटम अवस्थाएँ वे हैं जो इन विशिष्ट गणितीय निरूपणों में सबसे अधिक शास्त्रीय, रोजमर्रा की वस्तुओं जैसी दिखती हैं।

शोधकर्ताओं ने न केवल यह सिद्ध किया कि ये अवस्थाएँ मौजूद हैं; उन्होंने यह भी दिखाया कि कोई भी अवस्था जो "मिश्रित" (mixed) है—यानी विभिन्न संभावनाओं का एक संयोजन है न कि एक एकल, शुद्ध अवस्था—उसकी अनिश्चितता हमेशा शुद्ध धनात्मक अवस्थाओं से अधिक होगी। यह एक महत्वपूर्ण खोज है क्योंकि यह शास्त्रीय और क्वांटम के बीच की सीमा को स्पष्ट करती है। यदि किसी अवस्था का मानचित्र में कोई भी "ऋणात्मकता" है, तो वह स्वाभाविक रूप से अधिक अनिश्चित है। टीम ने इसके विपरीत भी दिखाया: यदि किसी अवस्था में इस प्रकार की ऋणात्मकता अधिक है, तो उसमें अनिश्चितता भी अधिक होगी। यह एक अवस्था की "क्वांटमता" (quantumness), जिसे उसके धनात्मक होने से विचलन द्वारा मापा जाता है, और उसकी अप्रत्याशता के बीच एक सीधा संबंध स्थापित करता है।

अध्ययन ने एक सूक्ष्म लेकिन महत्वपूर्ण अंतर को भी संबोधित किया। जबकि शोधकर्ताओं ने सिद्ध किया कि शुद्ध धनात्मक अवस्थाएँ सबसे व्यवस्थित हैं, उन्होंने पाया कि सभी धनात्मक अवस्थाएँ हर संदर्भ में समान रूप से व्यवस्थित नहीं होती हैं। उनके द्वारा अध्ययन किए गए एक मानचित्र के लिए, जिसे ग्रॉस-विग्नर वितरण (Gross-Wigner distribution) के रूप में जाना जाता है, कुछ शुद्ध धनात्मक अवस्थाएँ ऐसी हैं जो अनिश्चितता का पूर्ण न्यूनतम नहीं हैं। यह सूक्ष्मता इस बात पर प्रकाश डालती है कि धनात्मकता और व्यवस्था के बीच का संबंध नाजुक है और उपयोग किए जाने वाले विशिष्ट गणितीय मानचित्र पर निर्भर करता है। हालाँकि, उनके द्वारा अध्ययन किए गए दूसरे मानचित्र के लिए, जिसे किर्कवुड-डिराक वितरण (Kirkwood-Dirac distribution) कहा जाता है, संबंध पूर्ण है: प्रत्येक शुद्ध धनात्मक अवस्था एक न्यूनतम अनिश्चितता अवस्था है।

यह कार्य महत्वपूर्ण है क्योंकि यह वैज्ञानिकों को यह समझने में मदद करता है कि क्वांटम कंप्यूटिंग और सेंसिंग जैसे कार्यों के लिए कौन सी क्वांटम अवस्थाएँ सबसे उपयोगी हैं। इन क्षेत्रों में, एक क्वासिप्रोबेबिलिटी मानचित्र में "ऋणात्मकता" को अक्सर एक संसाधन के रूप में देखा जाता है, एक ईंधन जो शास्त्रीय कंप्यूटरों पर क्वांटम लाभ को शक्ति देता है। यह सिद्ध करके कि उच्च ऋणात्मकता उच्च अनिश्चितता से संबंधित है, शोधकर्ताओं ने दिखाया है कि वही विशेषता जो एक क्वांटम प्रणाली को शक्तिशाली बनाती है, उसे अप्रत्याशित भी बनाती है। इसके विपरीत, जो अवस्थाएँ सबसे अधिक पूर्वानुमान योग्य और व्यवस्थित हैं, वे वे हैं जो सबसे अधिक शास्त्रीय दिखती हैं। यह अंतर्दृष्टि शोधकर्ताओं को यह पहचानने में मदद करती है कि सूचना को सुरक्षित रखने के लिए कौन सी अवस्थाएँ और जटिल गणना करने के लिए कौन सी अवस्थाएँ सर्वोत्तम हैं।

इन निष्कर्षों के विपरीत निरंतर दुनिया में, जहाँ इसी तरह की एक परिकल्पना को हाल ही में गलत सिद्ध किया गया था। निरंतर मामले में, सबसे व्यवस्थित अवस्थाएँ उस तरह से अनिश्चितता को न्यूनतम करने वाली एकमात्र अवस्थाएँ नहीं हैं जैसा कि परिकल्पना ने भविष्यवाणी की थी। तथ्य यह है कि यह परिकल्पना इन असतत प्रणालियों के लिए सत्य है, यह सुझाव देता है कि क्वांटम व्यवस्था के नियम इस बात पर निर्भर करते हैं कि प्रणाली निरंतर है या असतत। शोधकर्ताओं ने एक नया गणितीय दृष्टिकोण विकसित करके यह उपलब्धि हासिल की जिसने सभी संभावित मिश्रित अवस्थाओं के लक्षण वर्णन की कठिनाई को दरकिनार कर दिया। प्रत्येक संभावित संयोजन को सूचीबद्ध करने के बजाय, उन्होंने शुद्ध अवस्थाओं की संरचना पर ध्यान केंद्रित किया, यह दिखाते हुए कि उनके को नियंत्रित करने वाले नियम संपूर्ण प्रणाली के लिए परिणाम सिद्ध करने हेतु पर्याप्त हैं।

अंततः, यह शोध पत्र असतत प्रणालियों में क्वांटम अनिश्चितता की प्रकृति के बारे में एक लंबे समय से चले आ रहे प्रश्न का स्पष्ट, कठोर उत्तर प्रदान करता है। यह पुष्टि करता है कि विशिष्ट, सुपरिभाषित सेटअपों के लिए, जो अवस्थाएँ शास्त्रीय वस्तुओं की तरह सबसे अधिक दिखती हैं, वे वास्तव में सबसे निश्चित होती हैं। यह यह भी स्थापित करता है कि किसी अवस्था की "क्वांटमता", जिसे उसकी ऋणात्मकता द्वारा मापा जाता है, उसकी अप्रत्याशता का एक विश्वसनीय संकेतक है। जैसे-जैसे क्वांटम प्रौद्योगिकी का क्षेत्र आगे बढ़ रहा है, शास्त्रीय और क्वांटम के बीच इन सीमाओं को समझना बेहतर कंप्यूटर और अधिक संवेदनशील सेंसर डिजाइन करने के लिए आवश्यक होगा। यह कार्य केवल एक पाठ्यपुस्तक में नया प्रमेय नहीं जोड़ता है; यह क्वांटम संभावनाओं के परिदृश्य को स्पष्ट करता है, यह दिखाते हुए कि व्यवस्था की सीमाएँ वास्तव में कहाँ समाप्त होती हैं।

तकनीकी सारांश: विविक्त क्वांटम प्रणालियों के लिए सुदृढ़ अर्ध-संभाव्यता एंट्रोपिक अनिश्चितता संबंध

समस्या विवरण
यह शोध पत्र अर्ध-संभाव्यता वितरणों (quasiprobability distributions) के माध्यम से क्वांटम प्रणालियों में अनिश्चितता के लक्षण वर्णन को संबोधित करता है। जबकि हाइजेनबर्ग-रॉबर्टसन और एंट्रोपिक अनिश्चितता संबंध (जैसे मासेन-उफिंक) मापन परिणामों के मानक विचलन या शैनन एंट्रॉपी के माध्यम से अनिश्चितता को परिमाणित करते हैं, अर्ध-संभाव्यता निरूपण (जैसे विग्नर, हुसिमी, किर्कवुड-डिराक और ग्रॉस-विग्नर फलन) एक चरण-स्थान (phase-space) परिप्रेक्ष्य प्रदान करते हैं। एक केंद्रीय प्रश्न यह है कि क्या "शास्त्रीय" अवस्थाएं—वे अवस्थाएं जिनमें धनात्मक अर्ध-संभाव्यता वितरण होता है ( $Q$ -धनात्मक अवस्थाएं)—उन वितरणों से जुड़ी अनिश्चितता को न्यूनतम करती हैं।

विशेष रूप से, लेखक इस असमानता की वैधता की जांच करते हैं:
$H_1^Q(\hat{\rho}) \geq \min_{\hat{\rho}_{\text{pure}}^+} H_1^Q(\hat{\rho}_{\text{pure}}^+)$
जहाँ $H_1^Q$ , वितरण $Q$ के लिए $\hat{\rho}$ की शैनन एंट्रॉपी है, और न्यूनतम $\hat{\rho}_{\text{pure}}^+$ (शुद्ध $Q$ -धनात्मक अवस्थाओं) पर लिया गया है। यह असमानता यह प्रस्तावित करती है कि मिश्रित $Q$ -धनात्मक अवस्थाएं हमेशा शुद्ध $Q$ -धनात्मक अवस्थाओं की तुलना में अधिक अनिश्चित होती हैं (उच्च एंट्रॉपी रखती हैं)।

यह समस्या ऐतिहासिक पूर्ववृत्तों से प्रेरित है:

हुसिमी फलन (Husimi Function): वेहरल ने अनुमान लगाया था और लीब ने सिद्ध किया था कि कोहेरेंट अवस्थाओं द्वारा हुसिमी फलन की शैनन विभेदक एंट्रॉपी को न्यूनतम किया जाता है।
सतत-चर विग्नर फलन (Continuous-Variable Wigner Function): एक समान अनुमान ने सुझाव दिया था कि शुद्ध गाऊसी अवस्थाएं विग्नर विभेदक एंट्रॉपी को न्यूनतम करती हैं। हालांकि, इसे हाल ही में गलत सिद्ध कर दिया गया है।
विविक्त प्रणालियाँ (Discrete Systems): यह एक खुला प्रश्न बना हुआ था कि क्या ग्रॉस-विग्नर (GW) और किर्कवुड-डिराक (KD) वितरणों के लिए भी ऐसा ही कथन लागू होता है। एक महत्वपूर्ण जटिलता यह है कि $Q$ -धनात्मक अवस्थाओं का सेट ( $E_Q^+$ ) अक्सर मिश्रित चरम अवस्थाओं (mixed extremal states) को समाहित करता है, जिससे एंट्रॉपी के न्यूनतम मान का लक्षण वर्णन करना कठिन हो जाता है।

कार्यप्रणाली
लेखक अर्ध-संभाव्यता निरूपणों को परिभाषित करने के लिए फ्रेम (frames) के औपचारिक ढांचे का उपयोग करते हैं। वे एक हिल्बर्ट स्पेस $\mathcal{H$ (जिसका आयाम $d$ है) और एक फ्रेम $(\hat{S}_\lambda)_{\lambda \in \Lambda}$ पर विचार करते हैं जिसका एक द्वैत फ्रेम (dual frame) $(\hat{T}_\lambda)_{\lambda \in \Lambda}$ है। अर्ध-संभाव्यता $Q_\lambda(\hat{\rho})$ और इसके द्वैत प्रतीक $\tilde{Q}_\lambda(\hat{C})$ को ट्रेस ऑपरेशंस के माध्यम से परिभाषित किया जाता है।

अध्ययन दो विशिष्ट श्रेणियों के निरूपणों पर केंद्रित है:

किर्कवुड-डिराक (KD) निरूपण: दो परस्पर क्रमविनिमेय (commuting) प्रेक्षणables $\hat{A}$ और $\hat{B}$ द्वारा परिभाषित। लेखक विशेष रूप से उस मामले का विश्लेषण करते हैं जहाँ $\hat{A}$ और $\hat{B}$ के आइगेनबेसिस (eigenbases) परस्पर अनबायस्ड बेस (MUB) हैं। इस मामले में, निरूपण "दृढ़ स्व-द्वैत" (strongly self-dual) है।
ग्रॉस-विग्नर (GW) निरूपेशन: विषम आयाम $d$ के $n$ क्वुडिट्स (qudits) के लिए परिभाषित, जो असतत स्थिति और संवेग ऑपरेटरों से जुड़ा है। यह निरूपण भी दृढ़ स्व-द्वैत है।

लेखक मार्गेनाउ-हिल (MH) वितरण का उपयोग करते हैं, जो अर्ध-संभाव्यता वितरण का वास्तविक भाग है ( $Q^{\text{MH}} = \text{Re}(Q)$ ), ताकि सीमाएं स्थापित की जा सकें। वे जेन्सेन की असमानता और स्व-द्वैत फ्रेमों के गुणों का लाभ उठाते हुए MH-शैनन एंट्रॉपी ( $H_1^{\text{MH}}$ ) को शुद्धता ( $\text{Tr}(\hat{\rho}^2)$ ) से जोड़ने के लिए।

प्रमुख योगदान और परिणाम

विविक्त प्रणालियों के लिए एंट्रोपिक अनिश्चितता की सिद्धि (प्रमेय 1):
लेखक सिद्ध करते हैं कि MUB KD निरूपणों और विषम-आयामी क्वुडिट्स के GW निरूपणों दोनों के लिए, $Q$ -शैनन एंट्रॉपी केवल शुद्ध $Q$ -धनात्मक अवस्थाओं द्वारा न्यूनतम की जाती है। विशेष रूप से:
- किसी भी अवस्था $\hat{\rho}$ के लिए जो MH-धनात्मक अवस्थाओं के सेट ( $E_+^{\text{MH}}$ ) में है, एंट्रॉपी इस प्रकार संतुष्ट होती है:
  $H_1(\hat{A}) + H_1(\hat{B}) \geq H_1^{\text{MH}}(\hat{\rho}) \geq -\ln(\text{Tr}(\hat{\rho}^2)) + \ln d \geq \ln d$
- निचली सीमा $H_1^{\text{MH}}(\hat{\rho}) = \ln d$ तभी और केवल तभी संतृप्त होती है जब $\hat{\rho}$ एक शुद्ध $Q$ -धनात्मक अवस्था हो।
- यह पुष्टि करता है कि इन विविक्त प्रणालियों के लिए, "शास्त्रीय" अवस्थाएं (शुद्ध धनात्मक अवस्थाएं) वास्तव में न्यूनतम अनिश्चितता वाली अवस्थाएं हैं, जो हुसिमी फलन के लिए वेहरल-लीब परिणाम के समान है, लेकिन सतत-चर विग्नर अनुमान के विपरीत है।
संतृप्ति का लक्षण वर्णन (Characterization of Saturation):
- MUB KD: सभी शुद्ध KD-धनात्मक अवस्थाएं मानक एंट्रोपिक अनिश्चितता संबंध $H_1(\hat{A}) + H_1(\hat{B}) = \ln d$ को संतृप्त करती हैं।
- GW: जबकि शुद्ध GW-धनात्मक अवस्थाएं GW-शैनन एंट्रॉपी को न्यूनतम करती हैं, वे सभी मानक एंट्रोपिक अनिश्चितता संबंध $H_1(\hat{A}) + H_1(\hat{B})$ को संतृप्त नहीं करती हैं। कुछ शुद्ध GW-धनात्मक अवस्थाएं $H_1(\hat{A}) + H_1(\hat{B}) = 2 \ln d$ प्रदान करती हैं। अतः, न्यूनतम मानक अनिश्चितता और न्यूनतम अर्ध-संभाव्यता एंट्रॉपी के बीच समानता केवल KD के लिए सख्ती से लागू होती है, GW के लिए नहीं।
गैर-धनात्मकता (Nonpositivity) और अनिश्चितता के बीच संबंध:
लेखक एक पूरक परिणाम स्थापित करते हैं: बड़ी अर्ध-संभाव्यता गैर-धनात्मकता (जिसे "KD माना" $M(\hat{\rho})$ द्वारा मापा जाता है) उच्च अनिश्चितता का संकेत देती है। वे अवलोकनों (observables) की रेनी-1/2 एंट्रॉपी के योग के संदर्भ में KD माना पर एक ऊपरी सीमा व्युत्पन्न करते हैं:
$M(\hat{\rho}) \leq \ln(\sqrt{d}) - \frac{1}{2}[H_{1/2}(\hat{A}) + H_{1/2}(\hat{B})]$
यह दर्शाता है कि उच्च "क्वांटमनेस" (उच्च गैर-धनात्मकता) वाली अवस्थाओं में अनिवार्य रूप से उच्च अनिश्चितता होती है, और इसके विपरीत, कम-अनिश्चितता वाली अवस्थाओं में क्वांटम लाभ के लिए संसाधनशीलता (कम माना) सीमित होती है।
सतत-चरों से भिन्नता:
लेखक सतत-चर विग्नर फलन के लिए एक मौलिक अंतर को रेखांकित करते हैं: सतत-चर विग्नर फलन के लिए, एक समान अनुमान (कि शुद्ध गाऊसी अवस्थाएं विग्नर एंट्रॉपी को न्यूनतम करती हैं) गलत है। लेखक दिखाते हैं कि सतत चरों के लिए विग्नर प्रमाणों के पीछे का तर्क विफल हो जाता है क्योंकि सतत विग्नर फलन अपने समर्थन (support) पर स्थिर (constant) नहीं हो सकते, जो कि अध्ययन किए गए निरूपणों में विविक्त धनात्मक अवस्थाओं की एक विशेषता है।

महत्व
यह शोध पत्र एक कठोर प्रमाण प्रदान करता है कि विशिष्ट विविक्त अर्ध-संभाव्यता निरूपणों (MUB KD और GW) के लिए, शुद्ध धनात्मक अवस्थाओं का सेट संबद्ध शैनन एंट्रॉपी के अद्वितीय न्यूनतमीकरणकर्ता (minimizers) बनता है। यह वेहरल-लीब प्रमेय के समान इन विविक्त प्रणालियों के लिए एक अनुमान को हल करता है।

परिणाम क्वांटम यांत्रिकी में "शास्त्रीयता" के परिदृश्य को स्पष्ट करते हैं:

वे पुष्टि करते हैं कि MUB KD और GW निरूपणों के लिए, यह अंतर्ज्ञान कि "मिश्रित अवस्थाएं शुद्ध अवस्थाओं की तुलना में अधिक अनिश्चित होती हैं" धनात्मक अवस्थाओं के सेट के भीतर सख्ती से लागू होता है।
वे प्रदर्शित करते हैं कि सतत-चर विग्नर अनुमान की विफलता सतत चरण-स्थान की प्रकृति के कारण नहीं, बल्कि विशिष्ट रूप से सतत प्रकृति के कारण है।
वे गैर-धनात्मकता के संसाधन (माना) और अनिश्चितता के बीच एक मात्रात्मक संबंध स्थापित करते, जो क्वांटम कम्प्यूटेशनल लाभ के लिए गैर-धनात्मकता की भूमिका को सुदृढ़ करता है।

लेखक उल्लेख करते हैं कि गैर-MUB KD वितरणों के लिए, स्थिति अधिक जटिल है, और न्यूनतम मानक अनिश्चितता तथा न्यूनतम अर्ध-संभाव्यता एंट्रॉपी के बीच समानता बनी नहीं रह सकती है, जिसके लिए परिशिष्टों में प्रति-उदाहरण दिए गए हैं।

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