Anti-distinguishability of quantum channels
यह शोध पत्र फाइनाइट क्वांटम चैनल एनसेम्बल्स (finite quantum channel ensembles) की सिंगल-क्वेरी परफेक्ट एंटी-डिस्टिंग्विशेबिलिटी (single-query perfect anti-distinguishability) की जांच करने के लिए कमजोर और मजबूत अपवर्जन (weak and strong exclusion) हेतु चोई-ऑपरेटर-आधारित (Choi-operator-based) आवश्यक और पर्याप्त स्थितियाँ स्थापित करता है, जो स्टेट एक्सक्लूजन (state exclusion) से मौलिक अंतरों को प्रकट करता है और यह प्रदर्शित करता है कि जबकि कुछ नॉइज़ एडमिक्चर्स (noise admixtures) अपवर्जन को रोकते हैं, विशिष्ट एनसेम्बल्स जैसे कि कम्यूटिंग क्यूबिट फेज गेट्स (commuting qubit phase gates), बिना किसी सहायता के कमजोर और मजबूत अपवर्जन दोनों के लिए सटीक कॉनवेक्स-हल मानदंड (convex-hull criteria) स्वीकार करते हैं।
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क्वांटम भौतिकी की दुनिया में, वैज्ञानिक अक्सर एक प्रणाली के व्यवहार को सुलझाने योग्य एक रहस्य की तरह देखते हैं। उनके पास इस बात की व्याख्याओं की एक सूची होती है कि कोई मशीन कैसे काम कर रही है—शायद यह कई अलग-अलग आंतरिक नियमों, या "डायनामिक्स" (dynamics) में से एक पर चल रही है। मानक लक्ष्य यह पहचानना है कि वास्तव में कौन सा नियम उपयोग किया जा रहा है। ऐसा करने के लिए, शोधकर्ता एक प्रोब (probe), जो एक विशिष्ट क्वांटम अवस्था है, को उपकरण के माध्यम से भेजते हैं और परिणाम को मापते हैं। यदि परिणाम किसी एक नियम के लिए अद्वितीय है, तो वे सटीक उत्तर तक पहुँच सकते हैं। हालाँकि, कई वास्तविक दुनिया की स्थितियों में, सटीक उत्तर खोजना बहुत कठिन है या इसके लिए ऐसे संसाधनों की आवश्यकता होती है जो उपलब्ध ही नहीं हैं। कभी-कभी, एक वैज्ञानिक के लिए सबसे उपयोगी कार्य यह कहना नहीं होता कि क्या हो रहा है, बल्कि यह निश्चितता के साथ कहना होता है कि क्या नहीं हो रहा है। यह अपवर्जन (exclusion) की कला है: संभावनाओं को एक-एक करके खारिज करना जब तक कि शेष विकल्प स्पष्ट न हो जाएं, भले ही अंतिम विजेता अभी तक पहचाना न गया हो।
यह दृष्टिकोण, जिसे एंटी-डिस्टिंगुइशेबिलिटी (anti-distinguishability) कहा जाता है, लंबे समय से स्थिर क्वांटम अवस्थाओं के लिए अध्ययन किया जाता रहा है, लेकिन अर्दरा अजिता विजयन और निधिन सुदर्शन रागीनी का एक नया अध्ययन इस अवधारणा को क्वांटम चैनलों के गतिशील क्षेत्र में लाता है। एक क्वांटम चैनल उस गणितीय विवरण को कहते हैं कि कैसे एक प्रणाली समय के साथ बदलती है, जैसे कि एक गेट जो इनपुट को आउटपुट में बदल देता है। शोधकर्ताओं ने एक मौलिक प्रश्न पूछा: यदि आपके पास कई संभावित चैनलों का एक संग्रह है, तो क्या आप एक एकल प्रयोग डिजाइन कर सकते है जो यह गारंटी दे सके कि प्रत्येक संभावित परिणाम कम से कम एक उम्मीदवार को खारिज कर देगा? उन्होंने पाया कि उत्तर चैनलों की संरचना और उपयोग किए गए प्रोब के प्रकार पर बहुत अधिक निर्भर करता है। उनका कार्य प्रकट करता है कि एक एकल विकल्प को खारिज करना अक्सर आसान होता है, लेकिन एक ही शॉट में हर विकल्प को खारिज करना एक बहुत अधिक कठिन खेल है, जो कठोर ज्यामितमितीय नियमों द्वारा नियंत्रित होता है जिन्हें शोर (noise) की उपस्थिति से तोड़ा जा सकता है।
टीम ने इस अपवर्जन कार्य के दो स्तरों पर ध्यान केंद्रित किया। पहला, जिसे वे "कमजोर" अपवर्जन (weak exclusion) कहते हैं, यह मांग करता है कि आपके द्वारा प्राप्त किए जा सकने वाले प्रत्येक माप परिणाम के लिए, कम से कम एक चैनल ऐसा होना चाहिए जो उस परिणाम को उत्पन्न नहीं कर सका होता। दूसरा, "मजबूत" अपवर्जन (strong exclusion), एक बहुत कठिन मानक है: यह आवश्यक है कि सूची में मौजूद प्रत्येक चैनल के लिए, कोई ऐसा माप परिणाम हो जो केवल तभी हो सकता था यदि वह विशिष्ट चैनल वहां कार्यरत न होता। दूसरे शब्दों में, मजबूत अपवर्जन के साथ, प्रत्येक उम्मीदवार को इस योग्य होना चाहिए कि उसे किसी भी परिणाम द्वारा खारिज किया जा सके। शोधकर्ताओं ने सिद्ध किया कि दो चैनलों के लिए, ये दोनों विचार उन्हें पूरी तरह से अलग पहचानने के समान ही हैं। लेकिन एक बार जब आपके पास तीन या अधिक चैनल होते हैं, तो नियम बदल जाते हैं। यह विजेता की पहचान करने में सक्षम हुए बिना उम्मीदवारों को खारिज करने के लिए संभव हो जाता है, और कुछ उम्मीदवारों को खारिज करना लेकिन दूसरों को नहीं, भी संभव हो जाता है।
शोध पत्र में एक प्रमुख खोज यह है कि चैनलों की भौतिक प्रकृति स्वयं एक द्वारपाल (gatekeeper) के रूप में कार्य करती है। यदि कोई चैनल "फुल रैंक" (full rank) है, जिसका अर्थ है कि वह इनपुट की सभी जानकारी को इस तरह सुरक्षित रखता है कि उसका आउटपुट एक पूरी तरह से मिश्रित, शोर युक्त अवस्था की तरह दिखता है, तो उसे खारिज नहीं किया जा सकता है। यदि समूह में एक भी उम्मीदवार इस प्रकार का मजबूत, शोर वाला चैनल है, तो आप कभी भी ऐसा प्रयोग डिजाइन नहीं कर सकते जो उसे निश्चितता के साथ खारिज कर सके। ऐसा इसलिए है क्योंकि ऐसा चैनल एक ऐसा आउटपुट उत्पन्न करता है जो बाकी सब कुछ के साथ ओवरलैप (overlap) करता है। शोधकर्ताओं ने दिखाया कि मजबूत अपवर्जन प्राप्त करने के लिए, प्रत्येक उम्मीदवार "रैंक-डेफिशिएंट" (rank-deficient) होना चाहिए, जिसका अर्थ है कि उन सभी के आउटपुट स्पेस का कोई हिस्सा खाली या अप्रयुक्त होना चाहिए। यदि एक भी उम्मीदवार पूरे स्थान को भर देता है, तो अपवर्जन कार्य विफल हो जाता है।
अध्ययन ने प्रोब के चुनाव—वह इनपुट अवस्था जिसे चैनल में भेजा जाता है—के महत्व का भी पता लगाया। कई क्वांटम कार्यों में, एक विशेष एंटैंगल्ड (entangled) अवस्था का उपयोग करना, जहाँ प्रोब एक सहायक प्रणाली से जुड़ा होता है, एक बड़ा लाभ प्रदान करता है। यहाँ, परिणाम अधिक आश्चर्यजनक थे। कुछ परिवारों के चैनलों के लिए, जैसे कि वे जो इनपुट को एक निश्चित अवस्था से बदल देते हैं (रिप्लेसर चैनल्स), उम्मीदवारों को खारिज करने की क्षमता बदलने वाली अवस्थाओं पर निर्भर करती है, न कि प्रोब पर। यदि बदली जाने वाली अवस्थाओं को खारिज किया जा सकता है, तो चैनलों को भी खारिज किया जा सकता है, और यह एक सरल, अनएंटैंगल्ड प्रोब के साथ किया जा सकता है। हालाँकि, अन्य परिवारों के लिए, जैसे कि मेजर-एंड-प्रिपेयर (measure-and-prepare) चैनल, प्रोब का चुनाव महत्वपूर्ण है। शोधकर्ताओं ने पाया कि कुछ मामलों में, एक सरल, अनएंटैंगल्ड प्रोब पूर्ण अपवर्जन की अनुमति देता है, जबकि सबसे शक्तिशाली, एंटैंगल्ड प्रोब पूरी तरह से विफल हो जाते हैं। ऐसा इसलिए होता है क्योंकि एंटैंगल्ड प्रोब प्रयोग को इस तरह से देखने के लिए मजबूर करता है जो अपवर्जन के लिए आवश्यक अंतर को धुंधला कर देता है।
उनके निष्कर्षों में से एक सबसे प्रभावशाली अनुप्रयोग "अनलेबल" (unlabeled) मापों से संबंधित है। कल्पना कीजिए कि एक उपकरण एक क्वांटम प्रणाली को मापता है और एक परिणाम देता है, लेकिन परिणामों के लेबल उलझे हुए हैं। आप जानते हैं कि उपकरण के तीन संभावित परिणाम हैं, लेकिन आप नहीं जानते कि कौन सा भौतिक प्रभाव किस लेबल के अनुरूप है। शोधकर्ताओं ने दिखाया कि आप लेबल के प्रत्येक संभावित असाइनमेंट को खारिज कर सकते हैं यदि और केवल यदि मापन का कम से कम एक प्रभाव "रैंक-डेफिशिएंट" है। यदि प्रत्येक प्रभाव मजबूत और पूर्ण है, तो कोई भी चतुर प्रोब लेबल असाइनमेंट को सुलझा नहीं पाएगा। लेकिन यदि एक प्रभाव कमजोर या अधूरा है, तो एक विशिष्ट प्रोब चुना जा सकता है जो उस प्रभाव को ट्रिगर होने से असंभव बना दे, जिससे तुरंत उन सभी लेबल असाइनमेंट को खारिज कर दिया जाएगा जिनके लिए उसकी आवश्यकता थी।
शोध पत्र ने "साझा शोर" (common noise) की समस्या को भी संबोधित किया। यदि सूची में प्रत्येक चैनल में एक ही यादृच्छिक शोर का थोड़ा सा अंश मिला हुआ है, तो उन्हें खारिज करने की क्षमता समाप्त हो जाती है। भले ही शोर बहुत कम हो, जब तक कि वह प्रत्येक उम्मीदवार में मौजूद है, कोई भी प्रयोग निश्चितता के साथ उनमें से किसी को भी खारिज नहीं कर सकता। यह सुझाव देता है कि वास्तविक दुनिया में, जहाँ शोर अपरिहार्य है, पूर्ण अपवर्जन कई समूहों के लिए असंभव हो सकता है जब तक कि शोर को सावधानीपूर्वक नियंत्रित या समाप्त न किया जाए।
अंत में, शोधकर्ताओं ने फेज गेट्स (phase gates) नामक क्वांटम गेट्स के एक विशिष्ट वर्ग का अध्ययन किया, जो एक क्वांटम अवस्था के फेज को बदलते हैं। उन्होंने पाया कि इन गेट्स के लिए, उम्मीदवारों को खारिज करने की क्षमता एक वृत्त पर उनके फेजों की ज्यामितीय व्यवस्था पर निर्भर करती है। यदि फेज़ इस तरह व्यवस्थित हैं कि उनका औसत वृत्त के केंद्र की ओर संकेत करता है, तो अपवर्जन संभव है। यदि वे एक साथ गुच्छों में हैं, तो यह संभव नहीं है। उल्लेखनीय रूप से, इस विशिष्ट परिवार के लिए, शोधकर्ताओं ने सिद्ध किया कि आपको कभी भी एंटैंगल्ड प्रोब की आवश्यकता नहीं होगी; एक सरल, अनएंटैंगल्ड इनपुट हमेशा सर्वोत्तम संभव अपवर्जन प्राप्त करने के लिए पर्याप्त होता है।
संक्षेप में, यह कार्य उन सीमाओं का मानचित्रण करता है कि क्वांटम डायनामिक्स को खारिज करने के लिए क्या संभव है। यह स्थापित करता है कि अपवर्जन केवल पहचान का एक कमजोर संस्करण नहीं है; यह एक विशिष्ट कार्य है जिसके अपने सख्त आवश्यकताएं हैं। एक चैनल को खारिज करने की क्षमता इस बात पर निर्भर करती है कि चैनल क्वांटम दुनिया के किसी हिस्से को अछूता छोड़ता है या नहीं, क्या चैनलों का समूह एक साझा शोर स्रोत साझा करता है, और क्या प्रोब को समस्या की विशिष्ट ज्यामिति के अनुरूप चुना गया है। ये निष्कर्ष प्रयोगकर्ताओं के लिए स्पष्ट नियमों का एक सेट प्रदान करते हैं: यदि आप यह प्रमाणित करना चाहते हैं कि कोई प्रणाली एक निश्चित तरीके से व्यवहार नहीं कर रही है, तो आपको पहले यह जांचना होगा कि क्या सिस्टम स्वयं ऐसे प्रमाणन की अनुमति देता है, और यदि हाँ, तो आपको अपने प्रोब को सर्जिकल सटीकता के साथ चुनना होगा।
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