⚛️ क्वांटम भौतिकी

A Grover-Amplified Oracle for Maximum Clique on Graph, Minimum Hitting set and Dualizations on Hypergraphs Built on Quantum Phase Estimation

यह शोध पत्र ग्राफ और हाइपरग्राफ एनकोडिंग ऑपरेटरों का उपयोग करने वाले एक क्वांटम सर्किट फ्रेमवर्क को प्रस्तुत करता है जो मैक्सिमम क्लीक (Maximum Clique) और मिनिमम हिटिंग सेट (Minimum Hitting Set) समस्याओं के लिए ग्रोवर-एम्प्लीफाइड ओरैकल्स (Grover-amplified oracles) का निर्माण करता है, जो घातीय रूप से अधिक किनारों वाले हाइपरग्राफ के लिए भी केवल $O(N)$ क्विबिट्स की आवश्यकता के साथ बेहतर स्थान दक्षता प्राप्त करता है, जबकि यह धनात्मक बूलियन फलनों (positive Boolean functions) के द्वैतकरण (dualization) की समस्या को हल करने में भी सक्षम बनाता है।

मूल लेखक: Francisco Piñero, Fernando L. \Pelayo, Hernan I. de la Cruz, Jose J. Paulet, Mauro Mezzini, Fernando Cuartero

प्रकाशित 2026-11-10

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CC BY 4.0

मूल लेखक: Francisco Piñero, Fernando L. \Pelayo, Hernan I. de la Cruz, Jose J. Paulet, Mauro Mezzini, Fernando Cuartero

मूल पेपर CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) के तहत लाइसेंस किया गया है। ✨ नीचे दिए गए पेपर की यह व्याख्या AI से तैयार की गई है। इसे लेखक ने न तो लिखा है, न इसका समर्थन किया है। तकनीकी सटीकता के लिए मूल पेपर देखें। पूरा डिस्क्लेमर पढ़ें

कंप्यूटर विज्ञान के विशाल परिदृश्य में, कुछ समस्याएँ विशेष रूप से कठिन होती हैं क्योंकि संभावित उत्तरों की संख्या इतनी तेज़ी से बढ़ती है कि उन सभी की एक-एक करके जाँच करना सबसे तेज़ सुपरकंप्यूटरों के लिए भी असंभव हो जाता है। इनमें से दो पहेलियाँ जटिल नेटवर्क के भीतर विशिष्ट समूहों को खोजने से संबंधित हैं। पहली पहेली एक सामाजिक नेटवर्क या कनेक्शन के मानचित्र में सबसे बड़े "क्लीक" (clique) की खोज है, जो वस्तुओं का एक ऐसा समूह है जहाँ प्रत्येक वस्तु सीधे दूसरी वस्तु से जुड़ी होती है। दूसरी "हिटिंग सेट" (hitting set) समस्या है, जिसमें यह पूछा जाता है कि एक बड़े और अधिक जटिल संग्रह के प्रत्येक समूह को छूने या कवर करने के लिए वस्तुओं के सबसे छोटे समूह की आवश्यकता है। ये चुनौतियाँ जीव विज्ञान और वित्त से लेकर साइबर सुरक्षा तक के क्षेत्रों में दिखाई देती हैं, फिर भी इन्हें हल करना अत्यंत कठिन बना हुआ है। हाल ही में, शोधकर्ताओं ने क्वांटम कंप्यूटिंग की ओर रुख किया है, जो एक ऐसी तकनीक है जो उप-परमाणु दुनिया के विचित्र नियमों का उपयोग सूचनाओं को संसाधित करने के लिए करती है ताकि शास्त्रीय कंप्यूटरों की तुलना में नए तरीके खोजे जा सकें, इस उम्मीद में कि वे संभावनाओं के इस भूलभुलैया में एक शॉर्टकट पा सकें।

शोधकर्ताओं की एक टीम ने ग्रोवर के सर्च (Grover's search) नामक एक विशिष्ट प्रकार के क्वांटम एल्गोरिदम का उपयोग करके इन समस्याओं से निपटने के लिए एक नया तरीका विकसित किया है। उनका कार्य एक "क्वांटम ऑरेकल" (quantum oracle) बनाने का एक अभिनव तरीका पेश करता है, जो एक विशेष फिल्टर की तरह कार्य करता है जो अरबों गलत उत्तरों के बीच सही उत्तरों की तेज़ी से पहचान कर सकता है। मुख्य नवाचार यह है कि वे नेटवर्क के बारे में जानकारी को कैसे संग्रहीत करते हैं। प्रत्येक कनेक्शन या समूह के लिए एक अलग मेमोरी स्लॉट का उपयोग करने के बजाय, जिसके लिए बहुत अधिक स्थान की आवश्यकता होगी, वे पूरे नेटवर्क की संरचना को क्वांटम अवस्थाओं के 'फेज़' (phase), या समय (timing) में एनकोड करते हैं। यह दृष्टिकोण उन्हें एक ऐसी संख्या में क्वांटम बिट्स का उपयोग करके समस्या को हल करने की अनुमति देता है जो नेटवर्क में मौजूद वस्तुओं की संख्या के सीधे आनुपातिक रूप से बढ़ती है, न कि उनके बीच के कनेक्शन की संख्या के। यह आवश्यक संसाधनों में एक महत्वपूर्ण कमी है, जिससे यह दृष्टिकोण उन पिछले तरीकों की तुलना में बहुत अधिक कुशल हो जाता है जो नेटवर्क के बड़े या जटिल होने पर संघर्ष करते थे।

शोधकर्ताओं ने दो अलग-अलग क्वांटम सर्किट बनाकर इसे प्रदर्शित किया। पहला, जो मानक नेटवर्कों के लिए डिज़ाइन किया गया है, उस नेटवर्क के विपरीत को देखकर कार्य करता है जिसे हम हल करना चाहते हैं। यदि वे एक ऐसे समूह की तलाश कर रहे हैं जहाँ हर कोई जुड़ा हुआ है, तो वे मशीन को मानचित्र के विपरीत संस्करण में एक ऐसे समूह को खोजने के लिए प्रोग्राम करते हैं जहाँ कोई भी जुड़ा हुआ नहीं है। यह सर्किट विपरीत मानचित्र में कनेक्शनों की गणना करता है और यह निर्धारित करने के लिए इसका उपयोग करता है कि क्या कोई समूह एक वैध समाधान है। दूसरा सर्किट "हाइपरग्राफ" (hypergraphs) से जुड़ी एक अधिक जटिल समस्या को संभालता है, जहाँ एक एकल समूह में दो से अधिक आइटम हो सकते हैं। यह सर्किट गिनता है कि चुनी गई वस्तुओं के सेट द्वारा कितने बड़े समूहों को छुआ गया है। क्वांटम संकेतों के समय को सावधानीपूर्वक व्यवस्थित करके, सर्किट त्रुटियों को रद्द कर सकता है और अंतिम माप में केवल सही गणनाओं को दृश्यमान छोड़ सकता है।

अपने तरीके को सिद्ध करने के लिए, टीम ने एक शास्त्रीय कंप्यूटर पर सिमुलेशन चलाया जो एक क्वांटम मशीन की नकल करता है। उन्होंने पाँच से दस वस्तुओं वाले नेटवर्क पर अपने सर्किट का परीक्षण किया, जो आधुनिक मानकों के अनुसार एक छोटा पैमाना है लेकिन तर्क को सत्यापित करने के लिए पर्याप्त है। प्रत्येक मामले में, सिमुलेशन ने सही समूह खोजने की संभावना को सफलतापूर्वक बढ़ाया, और इष्टतम चरणों के बाद लगभग सौ प्रतिशत की सफलता दर प्राप्त की। परिणामों ने पुष्टि की कि उनकी "कंप्यूट-मार्क-अनकंप्यूट" (compute-mark-uncompute) प्रक्रिया, जो एक समाधान की जाँच करती है और फिर सूचना खोए बिना मशीन को रीसेट करने के लिए गणना को उलट देती है, बिल्कुल वैसा ही व्यवहार करती है जैसा कि सिद्धांत भविष्यवाणी करता है। यह सत्यापन महत्वपूर्ण है क्योंकि यह दर्शाता है कि यह विधि उन छिपी हुई त्रुटियों से ग्रस्त नहीं है जो अक्सर क्वांटम सिमुलेशन में देखी जाती हैं।

इस कार्य की एक विशेष रूप से उल्लेखनीय विशेषता इसकी स्थान संबंधी दक्षता है। पिछले क्वांटम तरीकों को इन समस्याओं के लिए मेमोरी इकाइयों की ऐसी संख्या की आवश्यकता थी जो वस्तुओं की संख्या के वर्ग के साथ बढ़ती थी, जिसका अर्थ था कि नेटवर्क का आकार दोगुना करने पर मेमोरी की आवश्यकता चार गुना बढ़ जाएगी। नया तरीका ऐसी मेमोरी की मांग करता है जो नेटवर्क के आकार के साथ केवल रैखिक (linearly) रूप से बढ़ती है। यह लाभ हाइपरग्राफ के मामले में और भी स्पष्ट हो जाता है, जहाँ समूहों की संख्या वस्तुओं की संख्या से घातीय (exponentially) रूप से अधिक हो सकती है। ऐसे मामलों में, पुराने तरीकों को असंभव मात्रा में मेमोरी की आवश्यकता होगी, लेकिन नया दृष्टिकोण अभी भी रैखिक रूप से बढ़ने वाली इकाइयों के साथ काम करता है। यह सुझाव देता है कि यह विधि उन समस्याओं को भी संभाल सकती है जिन्हें पहले क्वांटम कंप्यूटरों के लिए बहुत बड़ा माना जाता था।

शोधकर्ताओं ने यह भी पाया कि उनके हाइपरग्राफ समस्या वाले सर्किट का एक माध्यमिक उपयोग भी है। किसी विशिष्ट समाधान को खोजने के बजाय संकेतों के समय को मापकर, सर्किट यह अनुमान लगा सकता है कि कुल कितने वैध समूह सभी कनेक्शनों को कवर करते हैं। यह क्षमता सीधे एक गणितीय समस्या को हल करती है जिसे 'पॉजिटिव बुलेअन फंक्शन्स' (positive Boolean functions) का द्वैतीकरण (dualization) कहा जाता है, जो तर्क और सर्किट डिजाइन में महत्वपूर्ण है। हालांकि वर्तमान कार्य सिमुलेशन तक सीमित है, लेखक नोट करते हैं कि यह विधि क्वांटम संकेतों के सटीक समय पर निर्भर करती है, जो एक ऐसी आवश्यकता है जिसे भविष्य के अधिक उन्नत हार्डवेयर द्वारा पूरा किया जाना होगा। फिर भी, यह कार्य इन कुशल ऑरेकलों को बनाने के लिए एक स्पष्ट ब्लूप्रिंट प्रदान करता है और यह प्रदर्शित करता है कि इन कठिन संयोजी (combinatorial) समस्याओं को पहले की तुलना में काफी कम संसाधनों के साथ हल करना संभव है।

तकनीकी सारांश: क्वांटम फेज एस्टीमेशन के माध्यम से मैक्सिमम क्लीक और मिनिमम हिटिंग सेट के लिए ग्रोवर-एम्प्लीफाइड ऑरेकल

समस्या विवरण
यह शोध पत्र दो मौलिक NP-कठिन (NP-hard) कॉम्बिनेटरियल ऑप्टिमाइज़ेशन समस्याओं को संबोधित करता है: ग्राफ पर मैक्सिमम क्लीक प्रॉब्लम (MCP) और हाइपरग्राफ पर मिनिमम हिटिंग सेट प्रॉब्लम (MHSP)। MCP एक ग्राफ $G$ में परस्पर-संलग्न (pairwise-adjacent) शीर्षों के सबसे बड़े उपसमुच्चय की खोज करता है, जबकि MHSP हाइपरग्राफ $H$ में प्रत्येक हाइपरएज को प्रतिच्छेद करने वाले शीर्षों के सबसे छोटे उपसमुच्चय की खोज करता है। ये समस्याएँ कम्प्यूटेशनल बायोलॉजी से लेकर साइबर सुरक्षा तक के क्षेत्रों में केंद्रीय हैं।

मौजूदा क्वांटम दृष्टिकोण, विशेष रूप से ग्रोवर एल्गोरिदम पर आधारित, स्पेस कॉम्प्लेक्सिटी (स्थान जटिलता) के संबंध में महत्वपूर्ण स्केलेबिलिटी चुनौतियाँों का सामना करते हैं। MCP के लिए पारंपरिक गेट-मॉडल ऑरेकल के लिए आमतौर पर $N$ शीर्षों (vertices) की संख्या के आधार पर $O(N^2)$ क्यूबिट्स की आवश्यकता होती है ताकि एडजेसेंसी (adjacencies) को स्पष्ट रूप से जांचा जा सके या एज सूचना को संग्रहीत किया जा सके। हाइपरग्राफ के लिए, जहाँ हाइपरएज की संख्या $M$ , $N$ के घातीय (exponential) में हो सकती है ( $M \in O(2^N)$ ), मानक दृष्टिकोण जो प्रति हाइपरएज एक अनिसिला (ancilla) क्यूबिट की मांग करते हैं, अव्यवहार्य हो जाते हैं।

कार्यप्रणाली
लेखक क्वांटम फेज एस्टीमेशन (QPE) और दो विशिष्ट एनकोडिंग ऑपरेटर्स: ग्राफ एनकोडिंग ऑपरेटर (GEO) और हाइपरग्राफ एनकोडिंग ऑपरेटर (HEO) पर आधारित ग्रोवर ऑरेकल का एक अभिनव निर्माण प्रस्तावित करते हैं।

MCP के लिए ग्राफ एनकोडिंग ऑपरेटर (GEO):
- एडजेस (edges) की स्पष्ट रूप से जाँच करने के बजाय, लेखक पूरक ग्राफ (complement graph) $\bar{G}$ का उपयोग करते हैं। एक उपसमुच्चय $S$ , ग्राफ $G$ में एक क्लीक है यदि और केवल यदि वह $\bar{G}$ में एक खाली सबग्राफ को प्रेरित (induce) करता है (अर्थात, शून्य एडजेस)।
- GEO, जिसे एक साथी शोध पत्र [26] में एक ग्राफ आइसोमोर्फिज्म इनवेरिएंट के रूप में परिभाषित किया गया था, $\bar{G}$ पर लागू किया जाता है। यह शीर्ष उपसमुच्चय $S$ द्वारा प्रेरित एडजेस की संख्या की गणना करता है और इस गणना को कम्प्यूटेशनल बेसिस स्टेट $|x\rangle$ के फेज (phase) में एनकोड करता है।
- ऑरेकल निर्माण:
  - फेज रजिस्टर: GEO पर QPE किया जाता है ताकि एज काउंट $|E(\bar{G}_S)|$ को एक फेज रजिस्टर में निकाला जा सके।
  - वेट रजिस्टर: एक अलग रजिस्टर, जिसे $-k$ (टूज़ कॉम्प्लीमेंट में) के साथ प्री-लोडेड किया गया है, इसका उपयोग यह सत्यापित करने के लिए किया जाता है कि क्या उपसमुच्चय का आकार $|S| \geq k$ है। नियंत्रित इंक्रीमेंट ऑपरेशंस $|x\rangle$ के बिट्स के आधार पर इस रजिस्टर को अपडेट करते हैं।
  - फ्लैगिंग: यदि फेज रजिस्टर शून्य एडजेस (जिसका अर्थ है कि $S$ एक क्लीक है) इंगित करता है और वेट रजिस्टर का मोस्ट सिग्निफिकेंट बिट (MSB) यह दर्शाता है कि $|S| \geq k$ , तो ग्रोवर एम्प्लीफिकेशन के लिए एक स्टेट को मार्क करने हेतु फेज फ्लिप लागू किया जाता है।
- स्पेस एफिशिएंसी: यह सर्किट $N$ क्यूबिट्स वर्टेक्स रजिस्टर के लिए, $\lceil \log_2 |E(\bar{G})| \rceil + 1$ फेज रजिस्टर के लिए, और $\lceil \log_2 N \rceil + 1$ वेट रजिस्टर के लिए उपयोग करता है। चूंकि $|E(\bar{G})| \leq N(N-1)/2$ है, इसलिए कुल क्यूबिट काउंट $O(N)$ है।
MHSP के लिए हाइपरग्राफ एनकोडिंग ऑपरेटर (HEO):
- HEO को यह गिनने के लिए डिज़ाइन किया गया है कि उपसमुच्चय $S$ कितने हाइपरएज को कवर करता है। एक हिटिंग सेट वह है जो सभी $M$ हाइपरएज को कवर करता है।
- तंत्र: ऑपरेटर फेज गेट्स के माध्यम से कार्यान्वित इनक्लूजन-एक्सक्लूजन सिद्धांत का उपयोग करता है।
  - चरण 1: अनकंट्रोल्ड फेज गेट्स प्रत्येक शीर्ष (vertex) के डिग्री (संबंधित हाइपरएज की संख्या) के समानुपाती फेज जोड़ते हैं।
  - चरण 2: मल्टी-कंट्रोल्ड फेज गेट्स ओवर-काउंटेड इंटरसेक्शन के लिए फेज घटाते हैं। विशेष रूप से, एक हाइपरएज $E$ के लिए, यदि एक उपसमुच्चय $S$ , $E$ को $k$ शीर्षों के साथ प्रतिच्छेद करता है, तो निर्माण यह सुनिश्चित करता है कि शुद्ध फेज योगदान ठीक 1 कवर किए गए हाइपरएज के बराबर हो (बजाय $k$ के)।
- ऑरेकल निर्माण: GEO की तरह ही, कवर किए गए हाइपरएज की संख्या निकालने के लिए QPE का उपयोग किया जाता है। एक ग्लोबल फेज शिफ्ट $-|E(H)|\theta$ लागू किया जाता है ताकि एक हिटिंग सेट (सभी एडजेस को कवर करने वाला) एक शुद्ध फेज 0 का परिणाम दे। एक वेट रजिस्टर यह जाँचता है कि क्या $|S| \leq k$ है।
- स्पेस एफिशिएंसी: HEO के लिए $N$ क्यूबिट्स वर्टिसेस के लिए और $\lceil \log_2 M \rceil$ आकार का एक फेज रजिस्टर आवश्यक है। भले ही $M \in O(2^N)$ हो, कुल क्यूबिट आवश्यकता $O(N)$ बनी रहती है क्योंकि $\log(2^N) = N$ है।

प्रमुख योगदान

लीनियर स्पेस कॉम्प्लेक्सिटी: प्राथमिक योगदान MCP और MHSP के लिए ग्रोवर-आधारित $O(N^2)$ (या हाइपरग्राफ के लिए $O(M)$ ) क्यूबिट्स की आवश्यकता को $O(N)$ तक कम करना है। यह अवस्था के फेज में संरचनात्मक जानकारी (एज/हाइपरएज काउंट) को एनकोड करके प्राप्त किया गया है, न कि एडजेस को स्पष्ट रूप से स्टोर करने या जाँचने के लिए अनिसिला क्यूबिट्स का उपयोग करके।
हाइपरग्राफ के लिए स्केलेबिलिटी: HEO रैखिक क्यूबिट्स का उपयोग करके घातीय हाइपरएज ( $M \in O(2^N)$ ) वाले हाइपरग्राफ पर MHSP को हल करने की अनुमति देता है, जो एक ऐसी उपलब्धि है जो पहले गेट-मॉडल ग्रोवर ऑरेकल द्वारा प्राप्त नहीं की गई थी।
बूलियन फलनों का डुअलाइजेशन: यह शोध पत्र दर्शाता है कि यूनिफॉर्म सुपरपोजिशन के तहत HEO के QPE रजिस्टर को मापने से हिटिंग सेट्स की संख्या का अनुमान लगाया जा सकता है। चूंकि हिटिंग सेट्स की सटीक संख्या को मापना सीधे पॉजिटिव इररिडंडेंट डिसजंक्टिव नॉर्मल फॉर्म (PIDNF) में प्रतिनिधित्व वाले पॉजिटिव बूलियन फलनों के डुअलाइजेशन समस्या को हल करता है, इसलिए यह क्षमता डुअलाइजेशन समस्या को संबोधित करने के लिए एक क्वांटम दृष्टिकोण प्रदान करती है।
गेट कॉम्प्लेक्सिटी विश्लेषण: लेखक एक विस्तृत विश्लेषण प्रदान करते हैं जो दिखाता है कि जबकि स्पेस कॉम्प्लेक्सिटी लीनियर है, प्रति ऑरेकल कॉल गेट कॉम्प्लेक्सिटी ग्राफ के लिए $O(|E(\bar{G})| \log |E(\bar{G})| + N \log N)$ और हाइपरग्राफ के लिए $O(MN^2 \log M)$ है। वे नोट करते हैं कि घने (dense) ग्राफ $G$ के लिए, पूरक $\bar{G}$ स्पार्स (sparse) होता है, जिससे GEO व्यावहारिक रूप से कुशल हो जाता है।

परिणाम और सत्यापन

संख्यात्मक सिमुलेशन: लेखकों ने Qiskit और AerSimulator का उपयोग करके पूर्ण ग्रोवर एल्गोरिदम को लागू किया।
- ग्राफ: $N=5$ से $N=10$ तक के ग्राफों पर परीक्षण किया गया। सिमुलेशन ने पुष्टि की कि "कंप्यूट-मार्क-अनकंप्यूट" अनुक्रम लक्षित क्लीक स्टेट्स को सही ढंग से एम्प्लीफाई करता है, जो सैद्धांतिक रूप से इष्टतम संख्या में इटरेशन पर 99.5%–100% की सफलता दर प्राप्त करता है।
- हाइपरग्राफ: HHEO निर्माण ने सही ढंग से कवर किए गए हाइपरएज की संख्या को एनकोड किया, जिससे यह सत्यापित हुआ कि फेज कैंसिलेशन (phase cancellation) हिटिंग सेट्स की पहचान करने के लिए भविष्यवाणी के अनुसार कार्य करता है।
तुलना: यह पत्र अपने $O(N)$ स्पेस कॉम्प्लेक्सिटी की तुलना मौजूदा एल्गोरिदम (जैसे हेवर्ली और लोपेज़, सान्याल एट अल., हान एट अल.) से करता है जिन्हें $O(N^2)$ क्यूबिट्स की आवश्यकता होती है। लेखक नोट करते हैं कि हालांकि उनका दृष्टिकोण स्पेस के बदले सर्किट डेप्थ और फेज प्रिसिजन (सटीकता) का व्यापार करता है, फिर भी यह क्यूबिट काउंट के मामले में एक महत्वपूर्ण लाभ प्रदान करता है, जो वर्तमान में निकट-अवधि (near-term) क्वांटम हार्डवेयर के लिए प्राथमिक बाधा है।

महत्व और दावे
शोध पत्र का दावा है कि इसके प्रस्तावित एल्गोरिदम मैक्सिमम क्लीक और मिनिमम हिटिंग सेट समस्याओं के लिए पिछले सभी ग्रोवर-आधारित क्वांटम एल्गोरिदम से बेहतर प्रदर्शन करते हैं।

केवल $O(N)$ क्यूबिट्स की आवश्यकता के साथ, यह विधि इन समस्याओं को बड़े $N$ के लिए क्वांटम सिम्युलेटर और संभावित भविष्य के हार्डवेयर पर भी सुलभ बनाती है।
घातीय एडजेस वाले हाइपरग्राफ को लीनियर क्यूबिट्स का उपयोग करके संभालने की क्षमता को एक अनूठी क्षमता के रूप में रेखांकित किया गया है, जो हिटिंग सेट्स की संख्या का अनुमान लगाने की अनुमति देती है, जो पॉजिटिव बूलियन फंक्शन्स के लिए डुअलाइजेशन समस्या को हल करने का मुख्य चरण है।
लेखक विनम्रतापूर्वक स्वीकार करते हैं कि उनका दृष्टिकोण उच्च-परिशुद्धता फेज रोटेशन (विशेष रूप से $M \in O(2^N)$ वाले हाइपरग्राफ के लिए) पर निर्भर करता है, जो जटिलता के बोझ को क्यूबिट काउंट से हटाकर गेट प्रिसिजन और सर्किट डेप्थ पर स्थानांतरित कर देता है, जो फॉल्ट-टोलरेंट क्वांटम कंप्यूटिंग के लिए एक प्रासंगिक ट्रेड-ऑफ है।

यह कार्य यह दावा नहीं करता है कि यह क्लासिकल एल्गोरिदम की तुलना में सुपर-पॉलीनोमियल स्पीडअप प्रदान करता है (क्योंकि MCP अभी भी NP-hard है), बल्कि ग्रोवर इटरेशन के माध्यम से क्लासिकल एग्जॉस्टिव सर्च की तुलना में एक क्वाड्रेटिक स्पीडअप प्रदान करता है, जिसे बहुत अधिक कुशल संसाधन पदचिह्न (resource footprint) के साथ प्राप्त किया गया है।

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