Computational Power of Clifford and Ising Quantum Computers
यह शोध पत्र माप (measurements) को शामिल करने के लिए इसिंग क्वांटम कंप्यूटरों के कुशल शास्त्रीय सिमुलेशन का विस्तार करता है और विभिन्न सर्किट जनरेटर बाधाओं के तहत क्लिफोर्ड क्वांटम कंप्यूटरों की कम्प्यूटेशनल शक्ति का विश्लेषण करता है, यह प्रदर्शित करते हुए कि पूर्ण-इनपुट दृश्यता (full-input visibility) को निहित करेगी जबकि केवल लंबाई-मात्र दृश्यता (length-only visibility) उन्हें केवल एफाइन भाषाओं (affine languages) को तय करने तक सीमित करती है।
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आज के सुपर कंप्यूटरों की पहुंच से परे समस्याओं को हल करने वाली मशीन बनाने की खोज में, वैज्ञानिक एक ऐसे मार्ग की तलाश कर रहे हैं जो क्वांटम दुनिया के विचित्र नियमों पर आधारित है। क्लासिकल कंप्यूटरों के विपरीत, जो सूचना को बिट्स के रूप में संसाधित करते हैं जो या तो शून्य या एक होते हैं, क्वांटम कंप्यूटर क्यूबिट्स का उपयोग करते हैं जो दोनों अवस्थाओं के मिश्रण में एक साथ रह सकते हैं। इन मशीनों को व्यावहारिक बनाने के लिए, शोधकर्ता अक्सर एक विशिष्ट प्रकार के क्वांटम लॉजिक की ओर देखते हैं जिसे क्लिफोर्ड ऑपरेशन्स (Clifford operations) कहा जाता है। ये नियमों का एक समूह हैं जो क्यूबिट्स को इस तरह से संचालित करते हैं जो गणितीय रूप से अच्छी तरह से समझ में आता है और, महत्वपूर्ण रूप से, साधारण क्लासिकल कंप्यूटरों द्वारा कुशलतापूर्वक सिम्युलेट किया जा सकता है। इसका अर्थ यह है कि जबकि क्लिफोर्ड ऑपरेशन्स एक सार्वभौमिक क्वांटम कंप्यूटर बनाने के लिए एक आवश्यक कदम हैं, वे अकेले क्लासिकल मशीनों से बेहतर प्रदर्शन करने के लिए पर्याप्त शक्तिशाली नहीं हैं। इसके साथ ही, एक समानांतर अध्ययन क्षेत्र है जिसमें एनयॉन्स (anyons) नामक कण शामिल हैं, जो पदार्थ की दो-आयामी परतों में ही अस्तित्व में रहते हैं। इन कणों का एक अनूठा गुण है: जब उन्हें एक-दूसरे के चारों ओर घुमाया जाता है, तो उनके पथ इस तरह से आपस में बुने जाते हैं कि वे सिस्टम की अवस्था को बदल देते हैं, बिना कणों के कभी एक-दूसरे को छुए। यह प्रक्रिया, जिसे ब्रेडिंग (braiding) कहा जाता है, टोपोलॉजिकल क्वांटम कंप्यूटिंग नामक प्रस्तावित क्वांटम कंप्यूटिंग पद्धति का आधार है। भौतिकविदों और गणितज्ञों के लिए केंद्रीय प्रश्न यह रहा है कि क्या इन कणों को केवल घुमाने के बजाय उन्हें मापने (measure) की क्षमता जोड़ने से नई कम्प्यूटेशनल शक्तियां अनलॉक होंगी जिन्हें क्लासिकल कंप्यूटरों द्वारा मेल नहीं दिया जा सकता।
शोधकर्ताओं की एक टीम ने अब इस प्रश्न का एक निश्चित उत्तर प्रदान किया है, यह सिद्ध करते हुए कि मापन (measurement) जोड़ने के बावजूद, ये विशिष्ट क्वांटम सिस्टम क्लासिकल सिमुलेशन की पहुंच के भीतर ही रहते हैं। यह अध्ययन दो संबंधित अवधारणाओं पर केंद्रित है: क्लिफोर्ड क्वांटम कंप्यूटर, जो गेट्स के एक प्रतिबंधित सेट का उपयोग करते हैं, और आइसिंग (Ising) क्वांटम कंप्यूटर, जो एनयॉन्स की ब्रेडिंग और मापन का उपयोग करते हैं। शोधकर्ताओं ने जांच की कि क्या ये मशीनें उन समस्याओं को हल कर सकती हैं जिन्हें क्लासिकल कंप्यूटरों के लिए कुशलतापूर्वक संभालना बहुत कठिन माना जाता है। उन्होंने क्लिफोर्ड कंप्यूटरों की सैद्धांतिक सीमाओं की जांच करके शुरुआत की। उन्होंने पाया कि यदि एक क्लासिकल कंप्यूटर को क्वांटम सर्किट उत्पन्न करने से पहले पूरे इनपुट समस्या को देखने की अनुमति दी जाती है, तो क्वांटम मशीन कोई लाभ नहीं देती है; यह केवल उसी चीज़ की नकल करती है जिसे क्लासत्मक कंप्यूटर पहले से ही कर सकता था। हालांकि, स्थिति अधिक सूक्ष्म हो जाती है जब सर्किट जनरेटर को इनपुट के विशिष्ट विवरणों को देखने के बजाय केवल इनपुट की लंबाई देखने तक ही सीमित रखा जाता है। इस प्रतिबंधित परिदृश्य में, शोधकर्ताओं ने प्रदर्शित किया कि क्वांटम कंप्यूटर केवल 'एफाइन लैंग्वेजेस' (affine languages) नामक समस्याओं के एक बहुत ही संकीर्ण वर्ग को ही हल कर सकता है। ये वे समस्याएं हैं जिन्हें बाइनरी नंबरों पर सरल रैखिक समीकरणों (linear equations) में बदला जा सकता है। टीम ने एक कठोर प्रमाण प्रदान किया कि यदि ये प्रतिबंधित क्वांटम कंप्यूटर 'P' नामक समस्याओं के व्यापक वर्ग की किसी भी समस्या को हल कर सकते, तो यह गणित में एक प्रमुख, अनसुलझे चमत्कार को सिद्ध करता: कि पॉलीनोमियल स्पेस (polynomial space) में हल होने वाली समस्याओं का वर्ग पॉलीनोमियल टाइम (polynomial time) में हल होने वाली समस्याओं से स्पष्ट रूप से बड़ा है। चूंकि यह अलगाव व्यापक रूप से सत्य माना जाता है लेकिन अप्रामाणित है, यह परिणाम सुझाव देता है कि ये क्वांटम कंप्यूटर वास्तव में सीमित हैं।
जांच फिर आइसिंग क्वांटम कंप्यूटर की ओर मुड़ी, जो एनयॉन्स के विलक्षण व्यवहार पर निर्भर करता है। शोधकर्ताओं ने पहले इस ज्ञात तथ्य की पुष्टि की कि केवल इन कणों की ब्रेडिंग करना—गणना करने के लिए उन्हें एक-दूसरे के चारोंกัน घुमाना—एक क्लासिकल कंप्यूटर द्वारा कुशलतापूर्वक सिम्युलेट किया जा सकता है। यह पहले से ही समझा जा चुका था क्योंकि ब्रेडिंग ऑपरेशन्स उन्हीं क्लिफोर्ड गेट्स के अनुरूप हैं जिनका उल्लेख पहले किया गया था। इस कार्य का अभिनव योगदान इसमें मापन (measurements) को शामिल करने के लिए उस सिमुलेशन का विस्तार करना था। एक टोपोलॉजिकल क्वांटम कंप्यूटर में, आप जानकारी निकालने के लिए एनयॉन्स के एक समूह की सामूहिक अवस्था को माप सकते हैं। शोधकर्ताओं ने सिद्ध किया कि यहाँ तक कि ये मापन भी, जिसमें सबसे शक्तिशाली प्रकार 'इंटरफेरोमेट्रिक मेजरमेंट' (interferometric measurements) शामिल है, कोई अतिरिक्त कम्प्यूटेशनल शक्ति नहीं जोड़ते हैं। उन्होंने दिखाया कि इस प्रणाली में प्रत्येक संभावित मापन परिणाम गणितीय रूप से एक विशिष्ट प्रकार के क्वांटम गुण, जिसे पॉली मेजरमेंट (Pauli measurement) कहा जाता है, के मानक मापन के समान है। क्योंकि आइसिंग एनयॉन्स की पूरी प्रक्रिया—ब्रेडिंग और मापन—को क्लिफोर्ड गेट्स और पॉली मेजरमेंट्स के एक अनुक्रम में अनुवादित किया जा सकता है, इसलिए पूरा सिस्टम गोट्समैन-क्निल प्रमेय (Gottesman-Knill theorem) के दायरे में आता है। यह प्रमेय बताता है कि इन विशिष्ट तत्वों से बना कोई भी क्वांटम कंप्यूटेशन एक उचित समय में क्लासिकल कंप्यूटर द्वारा पूरी तरह से सिम्युलेट किया जा सकता है।
इन निष्कर्षों के निहितार्थ क्वांटम इंजीनियरिंग के भविष्य के लिए महत्वपूर्ण हैं। अध्ययन स्पष्ट करता है कि जबकि आइसिंग एनयॉन्स और क्लिफोर्ड गेट्स एक सार्वभौमिक क्वांटम कंप्यूटर बनाने के लिए आवश्यक घटक हैं, वे अकेले 'क्वांटम सुप्रीमेसी' प्राप्त करने के लिए पर्याप्त नहीं हैं। एक ऐसी मशीन बनाने के लिए जो वास्तव में क्लासिकल कंप्यूटरों से बेहतर प्रदर्शन कर सके, आपको अतिरिक्त संसाधनों को पेश करना होगा, जिन्हें अक्सर "मैजिक" (magic) कहा जाता है, जो इन विशिष्ट प्रणालियों की क्षमताओं से परे हैं। शोधकर्ताओं ने यह भी पता लगाया कि जब सर्किट जनरेटर इनपुट विवरणों के प्रति अंधा होता है, तो ये मशीनें क्या निर्णय ले सकती हैं, और इन समस्याओं को बाइनरी स्पेस की एक विशिष्ट ज्यामितीय संरचना में फिट होने वाली समस्याओं के रूप में वर्णित किया। उन्होंने उन उपकरणों को भी प्रदान किया जो उन समस्याओं के बीच अंतर कर सकें जिन्हें ये मशीनें हल कर सकती हैं और जिन्हें नहीं, यह दिखाते हुए कि कई दिखने में सरल समस्याएं वास्तव में उनकी पहुंच से बाहर हैं। अंततः, यह शोध पत्र एक मानचित्र के रूप में कार्य करता है, जो ठीक से परिभाषित करता है कि इन विशिष्ट क्वांटम मॉडलों की शक्ति कहाँ समाप्त होती है और अधिक उन्नत, सार्वभौमिक क्वांटम क्षमताओं की आवश्यकता कहाँ से शुरू होती है। यह पुष्टि करता है कि गैर-क्लिफोर्ड संसाधनों के बिना, टोपोलॉजिकल क्वांटम कंप्यूटिंग का वादा क्लासिकल लॉजिक के सिमुलेशन के अलावा कुछ नहीं है।
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