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Implementation of the Quantum Fourier Transform in Quantum Optical Processors Using Linear Optics with Imperfect Circuits

यह शोध पत्र कूली-टुक़ी एल्गोरिदम का उपयोग करके रैखिक ऑप्टिकल प्रोसेसर में क्वांटम फूरियर ट्रांसफॉर्म के कार्यान्वयन का विश्लेषण करता है, विशेष रूप से दो से लेकर सामान्य $\gamma$ -क्विबिट अवस्थाओं तक के प्रणालियों पर उपकरण की खामियों और चरण त्रुटियों (फेज एरर) के प्रभाव को मापने के लिए व्यापक सूत्र व्युत्पन्न करता है।

मूल लेखक: Mohammad Bayat, Mehran Gholipour Shahraki, Mehdi Mirzaee

प्रकाशित 2026-08-26

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CC BY 4.0

मूल लेखक: Mohammad Bayat, Mehran Gholipour Shahraki, Mehdi Mirzaee

मूल पेपर CC BY 4.0 (https://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) के तहत लाइसेंस किया गया है। ✨ नीचे दिए गए पेपर की यह व्याख्या AI से तैयार की गई है। इसे लेखकों ने न तो लिखा है, न इसका समर्थन किया है। तकनीकी सटीकता के लिए मूल पेपर देखें। पूरा डिस्क्लेमर पढ़ें

आज के कंप्यूटरों की पहुंच से कहीं आगे जाकर समस्याओं को हल करने वाली मशीनें बनाने की खोज में, वैज्ञानिक एक ऐसे मार्ग की तलाश कर रहे हैं जो स्वयं प्रकाश को एक प्रोसेसर के रूप में उपयोग करता है। सिलिकॉन चिप्स के माध्यम से गुजरने वाले इलेक्ट्रॉनों पर निर्भर रहने के बजाय, ये प्रणालियाँ प्रकाश के व्यक्तिगत कणों, जिन्हें फोटॉन कहा जाता है, को दर्पणों और कांच के जटिल नेटवर्क के माध्यम से निर्देशित करती हैं। चूंकि फोटॉन अपने परिवेश के साथ बहुत कम परस्पर क्रिया करते हैं, इसलिए वे नाजुक क्वांटम सूचना को पर्यावरण में खोए बिना ले जा सकते हैं, और वे कमरे के तापमान पर भी कार्य कर सकते हैं, जिससे अन्य क्वांटम प्रौद्योगिकियों के लिए आवश्यक अत्यधिक ठंड की आवश्यकता से बचा जा सकता है। इस क्षेत्र में एक केंद्रीय उपकरण 'क्वांटम फूरियर ट्रांसफॉर्म' नामक एक गणितीय प्रक्रिया है। यह प्रक्रिया एक शक्तिशाली लेंस की तरह कार्य करती है, जो एक जटिल क्वांटम अवस्था को लेती है और उसके भीतर छिपे पैटर्न या आवधिकता को प्रकट करती है। यह कई उन्नत एल्गोरिदम के लिए एक मौलिक आधार है, जिनमें बड़ी संख्याओं के गुणनखंड करने या विशाल डेटाबेस खोजने के लिए डिज़ाइन किए गए एल्गोरिदम शामिल हैं, जो इसे क्वांटम कंप्यूटिंग के भविष्य के लिए आवश्यक बनाता है।

हालाँकि, सैद्धांतिक पूर्णता से एक कार्यशील मशीन तक का संक्रमण भौतिक वास्तविकताओं से भरा हुआ है। इन फोटॉनों को निर्देशित और हेरफेर करने के लिए उपयोग किए जाने वाले घटक, जैसे कि बीम स्प्लिटर (beam splitters) जो प्रकाश की किरण को दो पथों में विभाजित करते हैं, कभी भी पूर्ण सटीकता के साथ निर्मित नहीं होते हैं। उनके निर्माण में सूक्ष्म विचलन, और उन पथों की लंबाई में मामूली अंतर जिनसे प्रकाश यात्रा करता है, ऐसे त्रुटियां पैदा करते हैं जो अंतिम परिणाम को विकृत कर सकती हैं। ईरान के अराक विश्वविद्यालय के शोधकर्ताओं ने एक हालिया अध्ययन में जांच की कि ये खामियां लीनियर ऑप्टिकल उपकरणों के साथ निर्मित क्वांटम फूरियर ट्रांसफॉर्म के प्रदर्शन को वास्तव में कैसे प्रभावित करती हैं। उनका कार्य इस बात पर केंद्रित है कि दोषपूर्ण घटक और असमान पथ लंबाई किस प्रकार गणना की सटीकता को कम करते हैं, जो इन त्रुटियों का वर्णन करने के लिए एक नया गणितीय ढांचा प्रदान करता है।

शोधकर्ताओं ने इन ऑप्टिकल सर्किट के बुनियादी निर्माण खंडों की जांच करके शुरुआत की। एक आदर्श दुनिया में, एक बीम स्प्लिटर आने वाले फोटॉन को दो पथों में पूर्ण संतुलन के साथ विभाजित करेगा, जिससे आधा प्रकाश एक दिशा में और आधा दूसरी दिशा में जाएगा, जबकि तरंगों के चरणों (phases) के बीच एक सटीक संबंध बना रहेगा। वास्तविकता में, विनिर्माण सहनशीलता (manufacturing tolerances) का अर्थ है कि विभाजन अक्सर असंतुलित होता है, और चरण संबंध थोड़ा अलग होता है। टीम ने इन खामियों को एक चर कोण (variable angle) पेश करके मॉडल किया जो आदर्श विभाजन से विचलन को दर्शाता है। उन्होंने उन चरण त्रुटियों को भी ध्यान में रखा जो तब उत्पन्न होती हैं जब फोटॉन थोड़े अलग लंबाई के पथों के माध्यम से यात्रा करते हैं, जिससे तरंगें एक-दूसरे के तालमेल से बाहर पहुँच जाती हैं। इन दोषों को मापने योग्य मापदंडों के रूप में मानकर, लेखक यह पता लगाने में सक्षम हुए कि कैसे एक घटक की एकल त्रुटि पूरे सिस्टम में फैलती है।

इन त्रुटियों के प्रभाव को समझने के लिए, टीम ने पहले केवल दो क्यूबिट्स (qubits), जो क्वांटम सूचना की बुनियादी इकाइयाँ हैं, वाले एक सरल सिस्टम का विश्लेषण किया। उन्होंने एक फोटॉन की यात्रा को बीम स्प्लिटर और फेज शिफ्टर्स की एक श्रृंखला के माध्यम से मैप किया, और प्रत्येक आउटपुट पोर्ट पर फोटॉन मिलने की संभावना की गणना की। एक आदर्श सर्किट में, ये संभावनाएँ एक विशिष्ट, पूर्वानुमेय पैटर्न का पालन करेंगी। शोधकर्ताओं ने पाया कि बीम स्प्लिटर सेटिंग्स में छोटे विचलन भी संभावनाओं को बदल देते हैं, जिससे प्रकाश का वितरण अब इच्छित डिज़ाइन से मेल नहीं खाता। उन्होंने प्रदर्शित किया कि वास्तविक आउटपुट संभावनाओं को मापकर और उनकी तुलना आदर्श मानों से करके, निर्माण त्रुटि के आकार का अनुमान लगाने के लिए पीछे की ओर काम किया जा सकता है। यह विधि बिना सर्किट को खोले हार्डवेयर के दोषों को निदान करने और मापने का एक तरीका प्रदान करती है।

इस विश्लेषण को टीम ने तीन क्यूबिट्स वाले सिस्टम तक विस्तारित किया और अंततः किसी भी संख्या में क्यूबिट्स के लिए एक सामान्य सूत्र तक पहुँचाया। जैसे-जैसे घटकों की संख्या बढ़ती है, त्रुटि की संभावना संचित होती जाती है, जिससे सिस्टम खामियों के प्रति अधिक संवेदनशील हो जाता है। लेखकों ने एक व्यापक समीकरण व्युत्पन्न किया जो बताता है कि किसी भी संख्या में क्यूबिट्स वाले सिस्टम में ये त्रुटियां कैसे व्यवहार करती हैं। यह सूत्र शोधकर्ताओं को यह भविष्यवाणी करने की अनुमति देता है कि जैसे-जैसे सर्किट बड़ा होता है, क्वांटम फूरियर ट्रांसफॉर्म की शुद्धता (fidelity) कैसे कम होती है। यह इंजीनियरों के लिए एक मार्गदर्शक के रूप में कार्य करता है, जो उन्हें दिखाता है कि सबसे महत्वपूर्ण त्रुटियां कहाँ होती हैं और वे ऑप्टिकल पथों के नेटवर्क में कैसे प्रसारित होती हैं।

निष्कर्ष बड़े पैमाने पर ऑप्टिकल क्वांटम कंप्यूटरों को विकसित करने की एक महत्वपूर्ण चुनौती को रेखांकित करते हैं। जबकि सैद्धांतिक एल्गोरिदम सुंदर और शक्तिशाली हैं, उनका व्यावहारिक कार्यान्वयन भौतिक उपकरणों की सटीकता द्वारा सीमित है। शोधकर्ताओं ने दिखाया कि इन खामियों को ध्यान में रखे बिना, क्वांटम गणना के परिणाम अविश्वसनीय हो सकते हैं। हालाँकि, उनका कार्य एक मार्ग भी प्रदान करता है। त्रुटियों के प्रकट होने का एक स्पष्ट गणितीय विवरण प्रदान करके, यह अध्ययन सुधार विधियों के विकास को सक्षम बनाता है। इंजीनियर इन अंतर्दृष्टि का उपयोग अपने उपकरणों को अधिक प्रभावी ढंग से कैलिब्रेट करने के लिए या ऐसे सर्किट डिजाइन करने के लिए कर सकते हैं जो वास्तविक दुनिया के निर्माण की अपरिहार्य खामियों के प्रति अधिक सुदृढ़ हों। यह शोध पत्र खामियों की समस्या को हल करने का दावा नहीं करता है, बल्कि यह उन्हें समझने और प्रबंधित करने के लिए एक आवश्यक उपकरण प्रदान करता है, जो बड़े पैमाने पर ऑप्टिकल क्वांटम कंप्यूटिंग के दृष्टिकोण को वास्तविकता के एक कदम और करीब लाता है।

तकनीकी सारांश: दोषपूर्ण परिपथों वाले रैखिक प्रकाशिकी (Linear Optics) का उपयोग करके क्वांटम ऑप्टिकल प्रोसेसर में क्वांटम फूरियर ट्रांसफॉर्म का कार्यान्वयन

समस्या विवरण
यह शोध पत्र रैखिक प्रकाशिकी उपकरणों का उपयोग करके क्वांटम ऑप्टिकल प्रोसेसर के भीतर क्वांटम फूरियर ट्रांसफॉर्म (QFT) को लागू करने की चुनौती को संबोधित करता है। जबकि फोटोनिक क्वबिट्स कमरे के तापमान पर संचालन और निम्न डिकोहेरेंस (decoherence) जैसे लाभ प्रदान करते हैं, व्यावहारिक कार्यान्वयन स्केलेबिलिटी और त्रुटि शमन (error mitigation) के संबंध में महत्वपूर्ण बाधाओं का सामना करते हैं। विशेष रूप से, लेखक ऑप्टिकल सर्किट में गैर-आदर्श स्थितियों पर ध्यान केंद्रित करते हैं, जिसमें बीम स्प्लिटर में निर्माण संबंधी खामियां (असंतुलित स्प्लिटिंग अनुपात की ओर ले जाना) और ऑप्टिकल पाथ लेंथ के अंतर से उत्पन्न होने वाली फेज त्रुटियां शामिल हैं। यह अध्ययन दो-क्वबिट से लेकर एक सामान्य $\gamma$ -क्वबिट विन्यास तक के सिस्टम में इन खामियों के प्रभाव का व्यवस्थित रूप से विश्लेषण करने का लक्ष्य रखता है।

कार्यप्रणाली
लेखक कूली-टकी (Cooley-Tukey) एल्गोरिदम पर आधारित एक सैद्धांतिक ढांचे का उपयोग करते हैं, जो QFT को छोटे रूपांतरणों के पुनरावर्ती अनुक्रम (recursive sequence) में विभाजित करता है जो रैखिक प्रकाशिकी कार्यान्वयन के लिए उपयुक्त है। कार्यप्रणाली में शामिल हैं:

दोषपूर्ण घटकों का मॉडलिंग:
- बीम स्प्लिटर: आदर्श हैडामार्ड गेट्स को एक कोण $\theta$ द्वारा पैरामीटराइज किए गए गैर-आदर्श बीम स्प्लिटर के रूप में मॉडल किया गया है। आदर्श स्थिति ( $\theta = \pi/2$ ) को एक छोटे विचलन $\delta\theta$ द्वारा बाधित किया जाता है, जिसके परिणामस्वरूप एक सामान्यीकृत रूपांतरण मैट्रिक्स $H(\theta)$ प्राप्त होता है जो असंतुलित परावर्तन (reflectivity) और संचरण (transmissivity) को ध्यान में रखता है।
- फेज त्रुटियां: पाथ लेंथ के अंतर ( $L_1, L_2$ ) को एक यूनिटरी ऑपरेटर $L(L_1, L_2)$ का उपयोग करके मॉडल किया गया है, जो फोटॉन तरंग दैर्ध्य $\lambda$ पर निर्भर सापेक्ष फेज शिफ्ट पेश करता है।
सिस्टम विश्लेषण:
- दो-क्वबिट सिस्टम: लेखक एक दो-क्वबिट ऑप्टिकल QFT (OQFT) सर्किट (चार इनपुट/आउटपुट मोड) का विश्लेषण करते हैं, जिसमें पहले व्यक्तिगत बीम स्प्लिटर की जांच की जाती है और फिर पूर्ण सिस्टम मैट्रिक्स का निर्माण किया जाता है। वे आउटपुट एम्प्लीट्यूड और प्रोबेबिलिटी के लिए स्पष्ट व्यंजक (expressions) व्युत्पन्न करते हैं जो दोषपूर्ण मापदंडों ( $\alpha, \beta, \gamma, \kappa$ ) के फलन (function) के रूप में होते हैं।
- त्रुटि परिमाणीकरण (Error Quantification): प्रथम-क्रम टेलर विस्तार (first-order Taylor expansions) का उपयोग करते हुए, शोध पत्र मापे गए आउटपुट प्रोबेबिलिटी की आदर्श सैद्धांतिक मानों के साथ तुलना करके मापदंड विचलन ( $\delta\alpha$ ) का अनुमान लगाने की एक विधि स्थापित करता है।
- सामान्यीकरण: विश्लेषण को सामान्य $\gamma$ -क्वबिट सिस्टम तक विस्तारित किया गया है। लेखक $\gamma$ -क्वबिट मामले के लिए एक व्यापक सेट के लिए कूली-टकी एल्गोरिदम की पुनरावर्ती संरचना का उपयोग करते हैं, जो कई चरणों में खामियों के संचयी प्रभावों को ध्यान में रखता है। जबकि सारांश दावा करता है कि एक "व्यापक सूत्र" प्रदान किया गया है, दिया गया पाठ अंतिम आउटपुट अवस्था के लिए एकल क्लोज्ड-फॉर्म अभिव्यक्ति के बजाय $N=2^\gamma$ के लिए विस्तृत पुनरावर्ती चरण-वार सूत्रीकरण (समीकरण 14) को स्पष्ट रूप से विवरण देता है।

प्रमुख योगदान

दोषपूर्ण परिपथों के लिए विश्लेषणात्मक सूत्र: शोध पत्र गैर-आदर्श स्थितियों के तहत OQFT सर्किट के आउटपुट स्टेट्स के लिए स्पष्ट गणितीय सूत्र प्रदान करता है। इसमें दो-क्वबिट सिस्टम के लिए विस्तृत व्युत्पन्न और $\gamma$ -क्वबिट सिस्टम के लिए एक सामान्य पुनरावर्ती ढांचा शामिल है जो बीम स्प्लिटर की खामियों को समाहित करता है।
त्रुटि अनुमान ढांचा: एक प्रयोगात्मक रूप से उपयोगी सैद्धांतिक ढांचा प्रस्तावित किया गया है जो ऑप्टिकल घटक की खामियों का निदान और परिमाणीकरण करता है। आउटपुट प्रोबेबिलिटी में विचलन को मापदंड विचलन (जैसे, $\delta\alpha$ ) से जोड़कर, लेखक बिना किसी घटक के प्रत्यक्ष आंतरिक मापन के ऑप्टिकल सर्किट को कैलिब्रेट करने की एक विधि प्रदान करते हैं।
रैखिक प्रकाशिकी के साथ कूली-टकी का एकीकरण: यह कार्य प्रदर्शित करता है कि कैसे कूली-टकी एल्गोरिदम को रैखिक प्रकाशिकी कार्यान्वयन के लिए अनुकूलित किया जा सकता है, जिससे $2^\gamma \times 2^\gamma$ यूनिटरी मैट्रिक्स को $\gamma$ चरणों में $2^{\gamma-1}$ रूपांतरणों में विभाजित किया जा सकता है, जिससे घटक सीमाओं के बावजूद एक स्केलेबल दृष्टिकोण की सुविधा मिलती है।

परिणाम

प्रोबेबिलिटी डिस्ट्रीब्यूशन विश्लेषण: दो-क्वबिट सिस्टम के लिए, अध्ययन दिखाता है कि आदर्श स्प्लिटिंग कोण (जैसे, $\alpha \neq \pi/2$ ) से विचलन आउटपुट पोर्ट्स पर गैर-समान फोटॉन वितरण की ओर ले जाता है। शोध पत्र विशिष्ट संभाव्यताएं (जैसे, विशिष्ट इनपुट स्थितियों के लिए $P_{out1} = \cos^4(\alpha/2)$ ) की गणना करता है और प्रदर्शित करता है कि वे आदर्श $1/4$ प्रोबेबिलिटी से कैसे विचलित होती हैं।
विचलन का परिमाणीकरण: संख्यात्मक उदाहरण दर्शाते हैं कि एक मापा गया प्रोबेबिलिटी विचलन (जैसे, आदर्श $0.25 $के बजाय$ P_{out1} = 0.30 $) लगभग$ -0.1 $रेडियन ($ \approx -5.7^\circ$) के मापदंड विचलन का अनुमान लगाने के लिए उपयोग किया जा सकता है।
रैखिक सन्निकटन (Linear Approximation) का सत्यापन: लेखक सत्यापित करते हैं कि प्रथम-क्रम टेलर विस्तार छोटे विचलनों के लिए एक सटीक सन्निकटन प्रदान करते हैं, जैसा कि आदर्श ऑपरेटिंग पॉइंट्स के पास सटीक कार्यों और रैखिक सन्निकटन के बीच घनिष्ठ मिलान से पता चलता है।
संभाव्यता संरक्षण (Conservation of Probability): विश्लेषण पुष्टि करता है कि दोषपूर्ण बीम स्प्लिटर के साथ भी, कुल प्रोबेबिलिटी संरक्षित रहती है (1 तक योग करती है), बशर्ते कि सिस्टम मॉडल किए गए बाधाओं के भीतर यूनिटरी बना रहे।

महत्व और दावे
शोध पत्र का दावा है कि इसका प्राथमिक महत्व प्रकाशिकी संबंधी खामियों को समझने और प्रबंधित करने के लिए एक व्यापक विश्लेषणात्मक टूलसेट प्रदान करने में निहित है। एक सामान्य पुनरावर्ती ढांचे और आउटपुट डेटा से त्रुटियों का अनुमान लगाने की विधि प्रदान करके, यह कार्य भविष्य के प्रयोगात्मक ऑप्टिकल क्वांटम सर्किट के अंशांकन (calibration) और अनुकूलन में सहायता करने का लक्ष्य रखता है। लेखक इस शोध को स्केलेबल, कमरे के तापमान वाले क्वांटम कंप्यूटिंग प्लेटफॉर्म को साकार करने की दिशा में एक आवश्यक कदम के रूप में प्रस्तुत करते हैं, यह स्वीकार करते हुए कि हालांकि नियतात्मक गेट्स (deterministic gates) और सिंगल-फोटॉन जनरेशन जैसी चुनौतियां बनी हुई हैं, लेकिन इन सिस्टमों में QFT की शुद्धता (fidelity) को बढ़ाने के लिए रैखिक प्रकाशिकी खामियों का सटीक मॉडलिंग महत्वपूर्ण है। यह कार्य कोई नया हार्डवेयर प्रस्तावित नहीं करता है बल्कि मौजूदा रैखिक प्रकाशिकी आर्किटेक्चर की विश्वसनीयता में सुधार के लिए एक सैद्धांतिक ढांचा प्रदान करता है।

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