Elaborating a Framework for Contextualized Problem-Based Instruction

पूरे संयुक्त राज्य अमेरिका के कक्षाओं में, एक शांत क्रांति गणित सिखाने के तरीके को नया आकार दे रही है। दशकों से, मानक विधि में शिक्षक बोर्ड पर एक प्रक्रिया का प्रदर्शन करता था, जिसके बाद छात्र समान समस्याओं का अभ्यास करते थे जब तक कि वे चरण स्वतःस्फूर्त न हो जाएं। आज, एक बढ़ता हुआ आंदोलन एक अलग पथ को प्रोत्साहित करता है: छात्रों के सामने पहले एक नवीन, वास्तविक दुनिया की समस्या प्रस्तुत करना, और किसी भी औपचारिक नियम को पेश करने से पहले उन्हें समाधान के लिए संघर्ष करने के लिए कहना। यह दृष्टिकोण, जिसे 'समस्या-आधारित निर्देश' (problem-based instruction) कहा जाता है, संदर्भों पर बहुत अधिक निर्भर करता है। अमूर्त संख्याओं के शून्य में तैरने के बजाय, छात्र सड़क यात्रा की लागत की गणना कर सकते हैं, एक बगीचा डिजाइन कर सकते हैं, या खेल के आँकड़ों का विश्लेषण कर सकते हैं। आशा यह है कि गणित को कक्षा के बाहर की परिचित दुनिया में स्थापित करके, छात्र इस विषय को अधिक अर्थपूर्ण, सुलभ और उपयोगी पाएंगे। हालाँकि, जबकि दर्शन स्पष्ट है, इन पाठों को कैसे क्रमबद्ध किया जाए इसकी व्यावहारिक कार्यप्रणाली अभी भी अस्पष्ट बनी हुई है। शिक्षकों और डिजाइनरों के पास अक्सर एक अस्त-व्यस्त, वास्तविक जीवन की स्थिति से सटीक गणितीय उत्तर तक की यात्रा तय करने के लिए एक स्पष्ट मानचित्र नहीं होता है। वे जानते हैं कि वे चाहते हैं कि छात्र दोनों को जोड़ें, लेकिन उनके पास उस पुल को बनाने के लिए आवश्यक विशिष्ट चरणों का वर्णन करने के लिए हमेशा एक साझा भाषा नहीं होती है।

यह वह अंतर है जिसे शोधकर्ता ल्यूक टी. रेनकी और सिन लिउ भरने के उद्देश्य से निकले थे। देश के तीन सबसे व्यापक रूप से उपयोग किए जाने वाले मध्य विद्यालय गणित पाठ्यक्रमों के साथ काम करते हुए, उन्होंने ठीक यह समझने के लिए हजारों प्रश्नों और कार्यों का विश्लेषण किया कि वास्तव में क्या होता है जब छात्र प्रासंगिक समस्याओं के साथ जुड़ते हैं। उनका लक्ष्य कोई नया सिद्धांत बनाना नहीं था, बल्कि एक व्यावहारिक ढांचा तैयार करना था—श्रेणियों का एक समूह—जो सोच के विभिन्न प्रकारों का वर्णन कर सके जिनके लिए छात्रों को कहा जाता है। जटिल वास्तविक दुनिया की समस्याओं को हल करने की प्रक्रिया को विशिष्ट, अवलोकन योग्य क्रियाओं में तोड़कर, शोधकर्ताओं ने एक ऐसा उपकरण विकसित किया जो पाठ्यक्रम डिजाइनरों और शिक्षकों को अपने पाठों की संरचना को नई स्पष्टता के साथ देखने की अनुमति देता है। वे जानना चाहते थे: वास्तव में किस तरह के प्रश्न पूछे जा रहे हैं, और किस क्रम में?

शोधकर्ताओं ने तीन प्रमुख कार्यक्रमों के सामग्रिकों का परीक्षण किया: इलस्ट्रेटिव मैथमेटिक्स (जिसे ओपन अप रिसोर्सेज भी कहा जाता है), यूरेका मैथ, और आईरेडी (iReady)। उन्होंने विशेष रूप से सातवीं कक्षा की इकाइयों पर ध्यान केंद्रित किया, पांच मुख्य गणितीय क्षेत्रों में से प्रत्येक के पांच पाठ चुनकर एक विस्तृत दृश्य सुनिश्चित किया। उन्होंने केवल पाठों को पढ़ा ही नहीं; उन्होंने उनका विच्छेदन किया, प्रत्येक कार्य, प्रश्न और निर्देश को छोटे टुकड़ों में विभाजित किया। फिर प्रत्येक टुकड़े को गतिविधि की एक विशिष्ट श्रेणी के अनुसार कोड किया गया। इस कठोर प्रक्रिया के माध्यम से, उन्होंने एक मौजूदा ढांचे को परिष्कृत किया, नए वर्ग जोड़े और पुराने वर्गों को तब तक स्पष्ट किया जब तक कि उनके पास एक मजबूत प्रणाली नहीं बन गई जो गणित के पाठ के प्रवाह का विश्वसनीय रूप से वर्णन कर सके।

परिणामस्वरूप, प्रासंगिक समस्या-समाधान के भीतर होने वाली छह प्राथमिक गतिविधियों के प्रकारों का एक विस्तृत मानचित्र प्राप्त हुआ। यात्रा अक्सर स्वयं संदर्भ पर ध्यान केंद्रित करने के साथ शुरू होती है, जहाँ छात्रों को वास्तविक दुनिया की स्थिति के बारे में अपने पूर्व ज्ञान को सक्रिय करने के लिए कहा जाता है, जैसे बुनाई या रोड ट्रिप के अनुभवों पर चर्चा करना। इसके बाद एक महत्वपूर्ण चरण आता है जहाँ छात्रों को समस्या को सूत्रबद्ध करना होगा, यानी पहचानना होगा कि वास्तव में क्या पूछा जा रहा है, कौन सी जानकारी प्रासंगिक है, और उन्हें किन धारणाओं को मानने की आवश्यकता है। कुछ पाठों में, यह चरण स्पष्ट होता है, जिसमें छात्रों से डेटा एकत्र करने का निर्णय लेने के लिए कहा जाता है; अन्य में, समस्या पहले से ही अच्छी तरह परिभाषित होती है, और कार्य केवल मुख्य संख्याओं की पहचान करना होता है।

एक बार समस्या फ्रेम हो जाने के बाद, छात्र मॉडल बनाने की ओर बढ़ते हैं। यह वह क्षण है जहाँ वास्तविक दुनिया को गणितीय प्रतिनिधित्व में अनुवादित किया जाता है। छात्र संबंधों को दर्शाने के लिए आरेख बना सकते हैं, तालिका बना सकते हैं, या ग्राफ स्केच कर सकते हैं। शोधकर्ताओं ने पाया कि ये मॉडल अनौपचारिक हो सकते हैं, जैसे चम्मचों और कपों का चित्र, या अधिक संरचित, जैसे प्री-फॉर्मल अनुपात तालिका। इस प्रतिनिधित्व को बनाने के बाद, छात्र मूल समस्या के बारे में एक विशिष्ट प्रश्न का उत्तर देने के लिए मॉडल का उपयोग करते हैं, जैसे कि एक परिवार दिए गए समय में कितनी दूर यात्रा करेगा। यह चरण जाँचता है कि क्या मॉडल वास्तव में मूल समस्या को हल करने के लिए काम करता है।

हालाँकि, सीखना केवल उत्तर खोजने पर समाप्त नहीं होता है। यह ढांचा एक अत्यंत महत्वपूर्ण चरण की पहचान करता है जहाँ ध्यान पूरी तरह से मॉडल पर स्थानांतरित हो जाता है। यहाँ, छात्रों को गणितीय संरचना के भीतर काम करने के लिए कहा जाता है, शायद एक ड्राइंग को समीकरण में बदलने के लिए या परिवर्तन दर जैसी विशिष्ट मान की गणना करने के लिए। यहीं पर गणित अमूर्त बनता है, कहानी से अस्थायी रूप से हटकर अपनी आंतरिक तर्कशीलता को तलाशता है। अंतिम, और संभवतः सबसे महत्वपूर्ण कदम, सहसंबंध (correspondence) पर ध्यान देना है। इस चरण में, छात्रों को अपने अमूर्त मॉडल और वास्तविक दुनिया की स्थिति के बीच संबंध पर वापस देखने के लिए कहा जाता है। उन्हें समझाना होगा कि कहानी के संदर्भ में एक विशिष्ट संख्या या ग्राफ़ विशेषता का वास्तव में क्या अर्थ है, या यह मूल्यांकन करना होगा कि क्या उनका उत्तर वास्तविक दुनिया में उचित है। उदाहरण के लिए, उनसे पूछा जा सकता है कि क्या यह मानना उचित है कि कार लगातार दस घंटे तक स्थिर गति से चलती है, जिससे उन्हें अपने स्वयं के मॉडल की सीमाओं की आलोचना करने के लिए मजबूर होना पड़ता है।

शोधकर्ताओं ने यह भी खोजा कि ये गतिविधियाँ शायद ही कभी अलगाव में होती हैं। वे अक्सर विशिष्ट अनुक्रमों में दिखाई देती हैं जो शक्तिशाली सीखने के अवसर पैदा करती हैं। एक सामान्य पैटर्न में छात्र एक अनौपचारिक मॉडल बनाते हैं, इसका उपयोग करके एक समस्या को हल करते हैं, और फिर उन्हें एक अधिक औपचारिक गणितीय प्रतिनिधित्व में रूपांतरित करने के लिए निर्देशित किया जाता है। यह अनुक्रम 'वर्टिकल मैथमेटाइजेशन' नामक अवधारणा को दर्शाता है, जहाँ छात्र अपनी सहज रणनीतियों से मानक गणितीय परंपराओं की ओर बढ़ते हैं। एक अन्य बार-बार आने वाला अनुक्रम छात्रों को एक गणितीय पैरामीटर, जैसे निरंतर दर, पहचानने के लिए कहता है और फिर तुरंत उस नंबर के अर्थ की व्याख्या करने के लिए कहता है। यह आगे-पीछे का आदान-प्रदान छात्रों को गहरी समझ बनाने में मदद करता है जो अमूर्त प्रतीकों को ठोस वास्तविकता से जोड़ती है, जिससे गणित महज नियमों का एक निरर्थक सेट बनने से बच जाता है।

अध्ययन ने यह भी उजागर किया कि कहाँ कमी है। हालांकि पाठ्यक्रम कई क्षेत्रों में समृद्ध थे, शोधकर्ताओं ने नोट किया कि ऐसे कार्यों की कमी थी जो छात्रों को एक मॉडल के आधार पर अपने स्वयं के प्रश्न उत्पन्न करने के लिए कहते हैं। जिन हाई स्कूल सामग्रियों का उन्होंने पहले विश्लेषण किया था, उनमें छात्रों से कभी-कभी दिए गए समीकरण द्वारा उत्तर दिए जा सकने वाले नए प्रश्न पूछने के लिए कहा जाता था। मिडिल स्कूल सामग्री में, इस प्रकार की रचनात्मक प्रश्न-निर्माण क्षमता काफी हद तक अनुपस्थित थी। यह चूक महत्वपूर्ण है क्योंकि प्रश्न पूछने की क्षमता गणितीय सोच का एक मुख्य हिस्सा है, फिर भी इसे अक्सर मानक पाठ योजनाओं में अनदेखा कर दिया जाता है।

रेनकी और लिउ द्वारा विकसित ढांचा केवल प्रश्नों को वर्गीकृत करने का तरीका मात्र नहीं प्रदान करता है; यह उन लोगों के लिए विकल्पों का मेनू प्रदान करता है जो शिक्षा का डिज़ाइन करते हैं। उपलब्ध गतिविधियों के विशिष्ट प्रकारों को समझकर, डिजाइनर पाठों को व्यवस्थित रूप से क्रमबद्ध कर सकते हैं ताकि यह सुनिश्चित हो सके कि छात्र गणितीय मॉडलिंग के पूर्ण चक्र का अनुभव करें। वे जांच सकते हैं कि क्या कोई पाठ सही प्रकार के संदर्भ के साथ शुरू होता है, मॉडल निर्माण और उपयोग के आवश्यक चरणों से गुजरता है, और इस बात पर चिंतन के साथ समाप्त होता है कि गणित का वास्तव में क्या अर्थ है। यह ढांचा शोधकर्ताओं और शिक्षकों को शिक्षण के कार्यान्वयन का विश्लेषण करने में भी मदद करता है, जिससे वे देख सकते हैं कि क्या इच्छित अनुक्रम का पालन किया जा रहा है या गहन समझ के अवसरों को छोड़ दिया गया है।

अंततः, यह कार्य सुझाव देता है कि प्रभावी समस्या-आधारित निर्देश एक एकल पद्धति नहीं है बल्कि विभिन्न प्रकार की सोच की एक सावधानीपूर्वक आयोजित श्रृंखला है। इसमें छात्रों को परिचित दुनिया से अमूर्त क्षेत्र में ले जाना और फिर वापस लाना शामिल है, यह सुनिश्चित करते हुए कि दोनों के बीच का संबंध मजबूत बना रहे। इन आंदोलनों का वर्णन करने के लिए एक स्पष्ट भाषा प्रदान करके, शोधकर्ताओं ने शिक्षकों को ऐसे पाठ बनाने के लिए एक साधन दिया है जो केवल प्रक्रियाओं को पढ़ाने से कहीं अधिक होते हैं। वे छात्रों को गणित को पृथक तथ्यों के संग्रह के रूप में नहीं, बल्कि दुनिया को समझने और उसके साथ बातचीत करने के एक शक्तिशाली तरीके के रूप में देखने में मदद करने हेतु मार्ग प्रदान करते हैं। यह ढांचा यह दावा नहीं करता है कि इसने गणित शिक्षा की हर चुनौती को हल कर लिया है, लेकिन यह निर्देश को सिद्धांतों पर आधारित और व्यावहारिक बनाने के लिए एक विश्वसनीय नींव प्रदान करता है, जिससे यह सुनिश्चित होता है कि वास्तविक दुनिया की समस्या से गणितीय समाधान तक की यात्रा स्पष्ट, सुसंगत और गहराई से समझी जाने वाली हो।