Multiple methods in quadratic-equation teaching: Same-lesson correspondence and discordance between coded material opportunity and observed student activity across eight sites
आठ स्थलों में 1,270 द्विघात समीकरण (quadratic-equation) पाठों का यह अध्ययन प्रकट करता है कि जबकि कई समाधान विधियाँ प्रदान करने वाली शिक्षण सामग्री संबंधित छात्र गतिविधि को देखे जाने की संभावना को महत्वपूर्ण रूप से बढ़ा देती है, वे इसकी गारंटी नहीं देती हैं, जो यह संकेत देता है कि सामग्री कोडिंग सीधे कक्षा अवलोकन का पूर्ण विकल्प नहीं हो सकती है।
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दुनिया भर के गणित कक्षाओं में, शिक्षक अक्सर छात्रों को एक विशिष्ट प्रकार की समस्या, जिसे द्विघात समीकरण (quadratic equation) कहा जाता है, को हल करने में मदद करते समय एक विकल्प का सामना करते हैं। ये वे समस्याएँ हैं जिनमें एक चर (variable) का वर्ग शामिल होता है, और इन्हें कई अलग-अलग तरीकों से सुलझाया जा सकता है। एक छात्र सामान्य कारकों (common factors) को ढूँढ़कर समस्या को तोड़ सकता है, समीकरण को एक पूर्ण वर्ग (perfect square) में बदलकर इसे नया रूप दे सकता है, एक मानक सूत्र में संख्याएँ रखकर इसे हल कर सकता है, या यह देखने के लिए कि वक्र (curve) एक रेखा को कहाँ छूता है, ग्राफ देख सकता है। शैक्षिक शोधकर्ताओं ने लंबे समय से यह समझा है कि किसी समस्या को हल करने का केवल एक तरीका जानना, कई तरीके जानने की तुलना में कम शक्तिशाली है। जब छात्र एक ही उत्तर तक पहुँचने के कई रास्तों को देख पाते हैं, तो वे विधियों की तुलना करना सीखते हैं, यह समझते हैं कि कौन सी विधि अधिक तेज़ या स्पष्ट हो सकती है, और काम के लिए सबसे अच्छा उपकरण चुनना सीखते हैं। यह लचीलापन गहरे गणितीय बोध की एक पहचान है। हालाँकि, एक शिक्षक जो करने की योजना बनाता है और जो वास्तव में कक्षा में होता है, उसके बीच अक्सर एक अंतर होता है। एक शिक्षक के पास एक वर्कशीट हो सकती है जो छात्रों को दो अलग-अलग विधियों को आज़माने के लिए आमंत्रित करती है, लेकिन कक्षा अंततः केवल एक ही विधि का उपयोग कर सकती है। इसके विपरीत, एक शिक्षक एक ऐसी वर्कशीट दे सकता है जो केवल एक ही मार्ग का सुझाव देती है, फिर भी छात्र अपने आप एक दूसरा तरीका खोज सकते हैं और उस पर चर्चा कर सकते हैं।
यही अंतराल—जो योजना और वास्तविकता के बीच का है—एक हालिया अध्ययन का केंद्र है जिसने आठ विभिन्न देशों और क्षेत्रों में हजारों गणित के पाठों का अध्ययन किया। शोधकर्ता यह जानना चाहते थे कि क्या शिक्षक द्वारा कक्षा में लाई जाने वाली सामग्री—जैसे कि पाठ योजनाएँ, स्लाइड्स या वर्कशीट—हमें यह विश्वसनीय रूप से बता सकती है कि पाठ के दौरान छात्र वास्तव में अपने दिमाग के साथ क्या कर रहे हैं। यह पता लगाने के लिए, उन्होंने 'ग्लोबल टीचिंग इनसाइट्स' (Global Teaching InSights) नामक एक अंतर्राष्ट्रीय परियोजना से डेटा का एक विशाल संग्रह जाँचा। इस परियोजना ने चिली, कोलंबिया, इंग्लैंड, जर्मनी, जापान, मैड्रिड, मैक्सिको और शंघाई में शिक्षकों को द्विघात समीकरण पढ़ाते हुए फिल्माया। प्रत्येक फिल्माए गए पाठ के लिए, शोधकर्ताओं ने उस भौतिक या डिजिटल सामग्री को भी एकत्र किया जिसका शिक्षक ने उपयोग किया था। फिर उन्होंने प्रत्येक पाठ के लिए दो अलग-अलग चेकलिस्ट बनाई। पहली चेकलिस्ट ने सामग्रियों को यह देखने के लिए देखा कि क्या वे छात्रों को एक से अधिक विधि का उपयोग करने का अवसर प्रदान करती हैं। दूसरी चेकलिस्ट ने वीडियो रिकॉर्डिंग को यह देखने के लिए देखा कि क्या छात्रों ने कक्षा के दौरान वास्तव में एक से अधिक विधि का उपयोग किया। इन दोनों सूचियों की एक ही पाठ के लिए आमने-सामने तुलना करके, टीम यह देख सकती थी कि कहाँ योजना और अभ्यास मेल खाते हैं, और कहाँ वे अलग होते हैं।
इस अध्ययन ने 600 से अधिक शिक्षकों से जुड़े 1,270 विशिष्ट पाठ दिवसों का विश्लेषण किया। परिणामों ने दिखाया कि जबकि सामग्रियाँ और कक्षा की गतिविधि संबंधित थीं, वे बिल्कुल समान नहीं थीं। लगभग 39 प्रतिशत पाठों में, सामग्रियों ने कई विधियों का उपयोग करने का अवसर दिया, और लगभग 36 प्रतिशत पाठों में, छात्रों को वास्तव में कई विधियों का उपयोग करते हुए देखा गया। जब शोधकर्ताओं ने देखा कि ये दोनों चीजें कैसे मेल खाती हैं, तो उन्हें एक स्पष्ट पैटर्न मिला: जब सामग्रियों ने विकल्प दिया, तो छात्र उसका उपयोग करने के लिए अधिक इच्छुक थे। जब सामग्रियों ने वह अवसर प्रदान किया, तो कई दृष्टिकोणों का उपयोग करने वाले छात्रों की संभावना काफी बढ़ गई। हालाँकि, यह संबंध पूर्ण नहीं था। लगभग 20 प्रतिशत पाठों में, सामग्रियों ने विकल्प दिया, लेकिन छात्रों ने उसका उपयोग नहीं किया; उपलब्ध विकल्पों के बावजूद वे एक ही विधि पर टिके रहे। अन्य 16 प्रतिशत पाठों में, छात्रों ने कई विधियों का उपयोग किया, भले ही एकत्रित सामग्रियों में कोई स्पष्ट अवसर नहीं दिखाया गया था। इसका अर्थ है कि प्रत्येक तीन में से एक से अधिक पाठों में, सामग्रियाँ और कक्षा की गतिविधि अलग-अलग कहानियाँ बताती थीं।
शोधकर्ता सावधानीपूर्वक यह स्पष्ट करने में रहे कि ये विसंगतियाँ आवश्यक रूप से यह नहीं दर्शातीं कि एक शिक्षक विफल रहा या एक छात्र भ्रमित था। कभी-कभी एक शिक्षक के पास एक वर्कशीट हो सकती है जिसमें दो विधियाँ हों, लेकिन वह कक्षा की चर्चा को केवल एक पर केंद्रित करने का निर्णय ले सकता है। अन्य समय में, एक शिक्षक एक सरल वर्कशीट दे सकता है, लेकिन कमरे में बातचीत स्वाभाविक रूप से विभिन्न रणनीतियों की तुलना की ओर मुड़ सकती है। अध्ययन ने यह भी नोट किया कि वीडियो देखने वाले रेटर्स को छात्र गतिविधि को कोड करते समय सामग्रियों को देखने की अनुमति दी गई थी, जिसका अर्थ है कि दोनों माप पूरी तरह से स्वतंत्र नहीं थे। इसके बावजूद, डेटा ने सभी आठ स्थानों में एक सुसंगत रुझान दिखाया: सामग्रियों में कई विधियों की उपस्थिति एक मजबूत संकेत था कि छात्र संभवतः उनका उपयोग करेंगे, लेकिन यह गारंटी नहीं थी। सामग्रियाँ कक्षा के परिणाम की निश्चितता के साथ भविष्यवाणी नहीं कर सकती थीं, न ही कक्षा के परिणाम को केवल शिक्षक की मेज पर रखे कागजों को देखकर पूरी तरह से पुनर्गणना की जा सकती थी।
यह निष्कर्ष शिक्षा अनुसंधान की एक सामान्य धारणा को चुनौती देता है: कि शिक्षक की पाठ योजना या वर्कशीट की जाँच करना यह जानने के लिए पर्याप्त है कि कक्षा में क्या हो रहा है। अध्ययन प्रदर्शित करता है कि जबकि निर्देशात्मक सामग्रियाँ उस खिड़की की तरह हैं जिससे शिक्षक के इरादे का पता चलता है, वे कक्षा में जो हो रहा है उसके विकल्प नहीं हैं। यदि कोई शोधकर्ता या नीति निर्माता यह जानना चाहता है कि क्या छात्र कई गणितीय रणनीतियों के साथ जुड़ रहे हैं, तो केवल पाठ्यक्रम दस्तावेजों को देखना चित्र के एक बड़े हिस्से को छोड़ देगा। सामग्रियाँ एक समृद्ध, लचीले शिक्षण वातावरण का सुझाव दे सकती हैं, जबकि वीडियो एक कठोर, एकल-पथ वाले पाठ को दिखा सकता है। या, सामग्रियाँ सरल दिख सकती हैं, जबकि कक्षा जटिल तुलनाओं के साथ जीवंत हो सकती है। अध्ययन निष्कर्ष निकालता है कि छात्रों के सीखने को वास्तव में समझने के लिए, हमें प्रदान किए गए संसाधनों और शिक्षार्थियों की वास्तविक गतिविधि दोनों को देखना चाहिए, यह पहचानते हुए कि वे जुड़े हुए हैं लेकिन शिक्षण प्रक्रिया के दो अलग-अलग स्तर हैं।
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