On the epistemological model of fractions arithmetic: Learning the praxeologies from classroom works

स्कूल में गणित अक्सर असंबद्ध नियमों का एक संग्रह जैसा महसूस होता है: यहाँ आपको जोड़ने का तरीका बताया जाता है, वहाँ गुणा करने का, और यहाँ भाग देने के लिए एक विशेष ट्रिक बताई जाती है। कई छात्रों के लिए, भिन्न (fractions) वह बिंदु होते हैं जहाँ नियमों का यह संग्रह टूट जाता है। उन्हें सिखाया जाता है कि भिन्न एक पाई का टुकड़ा या एक पूर्ण भाग है, लेकिन जब उनसे गणना करने के लिए कहा जाता है, तो उन्हें अचानक निर्देशों के एक अलग सेट पर स्विच करना पड़ता है जिसका उस चित्र से कोई तार्किक संबंध नहीं होता जिसे वे अभी देख रहे थे। यह विच्छेद सीखने में एक निरंतर बाधा पैदा करता है, जिससे छात्र अंतर्निहित तर्क को समझे बिना केवल प्रक्रियाओं को रटने लगते हैं। शोधकर्ता केवल यह नहीं पूछते कि छात्र संघर्ष क्यों कर रहे हैं, बल्कि यह भी कि क्या स्कूलों में भिन्न पढ़ाने का तरीका ही समस्या का स्रोत है। यदि नींव अलग-थलग प्रतीकों पर आधारित है न कि एक एकल, सुसंगत विचार पर, तो पूरी संरचना अस्थिर हो जाती है।

इंडोनेशिया और जापान के शोधकर्ताओं की एक टीम ने छठी कक्षा की कक्षा में एक अलग दृष्टिकोण का परीक्षण करने के लिए कदम उठाया। भिन्न को याद किए जाने वाले एक नए, भ्रमित करने वाले विषय के रूप में देखने के बजाय, उन्होंने छात्रों को सभी भिन्न अंकगणित के लिए एकल निर्माण खंड के रूप में एक "इकाई भिन्न" (unit fraction) की अवधारणा से परिचित कराया। इस मॉडल में, एक भिन्न दो संख्याओं का जोड़ा और उनके बीच एक रेखा नहीं है, बल्कि समान टुकड़ों की एक विशिष्ट मात्रा है। शोधकर्ताओं ने, इक्कीस छात्रों के साथ सात सत्रों में काम करते हुए, कक्षा को एक ऐसी प्रक्रिया के माध्यम से निर्देशित किया जहाँ उन्होंने भौतिक रूप से रिबन काटे, उन्हें एक संख्या रेखा पर व्यवस्थित किया, और स्वयं जोड़, घटाव, गुणा और भाग के नियमों की खोज करने के लिए इन टुकड़ों को गिना। लक्ष्य यह देखना था कि क्या छात्र अलग-अलग ट्रिक्स सीखने के बजाय, इस एकल, एकीकृत विचार से भिन्न गणित की पूरी प्रणाली को पुनर्गठित कर सकते हैं।

अध्ययन की शुरुआत छात्रों को कागज की एक पट्टी को समान भागों में काटने के लिए कहकर हुई। शुरू में, छात्रों ने संख्याओं को प्रतीकों के रूप में माना, "एक-चौथाई" को एक स्थिर लेबल के रूप में लिखा। हालाँकि, जैसे-जैसे उन्होंने पट्टियों को भौतिक रूप से हेरफेर किया, उनकी समझ बदल गई। वे भिन्न को एक लेबल के रूप में नहीं, बल्कि टुकड़ों की एक गिनती के रूप में देखने लगे। चार भागों में विभाजित पट्टी से कटा हुआ एक टुकड़ा "एक-चौथाई" बन गया, और उन दो टुकड़ों से "दो-चौथाई" बन गया। परिप्रेक्ष्य के इस सरल परिवर्तन ने छात्रों को भिन्नों के साथ पूर्णांकों की तरह व्यवहार करने की अनुमति दी। जब उन्होंने दो-चौथाई और एक-चौथाई को जोड़ा, तो उन्होंने बस टुकड़ों को गिना और तीन-चौथाई प्राप्त किया। नियम अब "ऊपर की संख्याओं को जोड़ें और नीचे की संख्याओं को रखें" जैसा एक रहस्यमय निर्देश नहीं था; यह समान इकाइयों को गिनने का एक स्वाभाविक परिणाम था।

असली परीक्षा तब आई जब छात्रों का सामना अलग-अलग हर (denominators) वाले भिन्नों से हुआ, जैसे कि एक-दूसरे को एक-दूसरे में जोड़ना, जैसे एक-हाफ को एक-चौथाई में जोड़ना। एक पारंपरिक कक्षा में, यह अक्सर एक रटे-रटाए सूत्र के अनुप्रयोग को जन्म देता है। यहाँ, छात्रों को एक वास्तविक समस्या का सामना करना पड़ा: वे एक आधा और एक चौथाई को नहीं जोड़ सकते थे क्योंकि टुकड़े अलग आकार के थे। एक छात्र ने इसकी तुलना पेंसिल और मार्कर को जोड़ने के प्रयास से की, यह नोट करते हुए कि आप उन्हें तब तक संयोजित नहीं कर सकते जब तक कि वे एक ही प्रकार की वस्तु न हों। इस अहसास ने कक्षा को अपना स्वयं का समाधान खोजने के लिए प्रेरित किया। उन्होंने खोजा कि भिन्नों को जोड़ने के लिए, उन्हें बड़े टुकड़े को तब तक तोड़ना होगा जब तक कि वह छोटे के समान न हो जाए। आधे को दो-चौथाई में काटकर, उन्होंने एक सामान्य इकाई बनाई जिसने जोड़ को आगे बढ़ने की अनुमति दी। छात्रों ने प्रभावी रूप से 'साझा हर' (common denominator) की अवधारणा को फिर से खोजा, न कि याद करने के लिए एक नियम के रूप में, बल्कि टुकड़ों को संगत बनाने के लिए एक आवश्यक कदम के रूप में।

यह तर्क गुणा और भाग पर भी लागू हुआ। जब एक-हाफ को एक-तिहाई से गुणा करने के लिए कहा गया, तो छात्रों ने अंधाधुंध ऊपर की संख्याओं और नीचे की संख्याओं को गुणा नहीं किया। इसके बजाय, उन्होंने एक आधे का एक-तिहाई हिस्सा लेने की कल्पना की, जिसके परिणामस्वरूप एक नया, छोटा टुकड़ा प्राप्त हुआ। उन्होंने देखा कि गुणा एक स्केलिंग की प्रक्रिया थी, जो एक नई इकाई का आकार बना रही थी। इसी तरह, भाग को एक माप की समस्या के रूप में समझा गया: इन छोटे टुकड़ों में से कितने बड़े टुकड़े के अंदर फिट होते हैं? एक-छठा भाग आधे में कितनी बार आता है, इसे गिनकर छात्र तीन के उत्तर तक पहुँचे। इन सत्रों के दौरान, छात्र भौतिक रिबन के हेरफेर से संख्या रेखा के उपयोग तक, और अंततः अमूर्त प्रतीकों के साथ काम करने तक बढ़े। भौतिक वस्तुओं ने एक सेतु के रूप में कार्य किया, जिससे छात्रों को अपने विचारों को मान्य करने के लिए समय मिला, इससे पहले कि शिक्षक नियमों को औपचारिक रूप दें।

शोधकर्ताओं ने पाया कि संपूर्ण प्रणाली को 'इकाई भिन्न' के विचार में स्थापित करके, छात्र जोड़, घटाव, गुणा और भाग को एक ही प्रकार की वस्तु पर किए गए विभिन्न कार्यों के रूप में देखने में सक्षम थे। भ्रम जो आमतौर पर भिन्नों को अलग-अलग नियमों के रूप में देखने से उत्पन्न होता है, गायब हो गया क्योंकि प्रत्येक ऑपरेशन इन इकाइयों को संभालने का एक तरीका था। अध्ययन बताता है कि भिन्नों के साथ छात्रों को होने वाली कठिनाइयाँ अक्सर इस तरह से उत्पन्न होती हैं जैसे कि स्कूलों में विषय पेश किया जाता है, जहाँ भिन्नों को अलग-अलग प्रक्रियाओं के रूप में प्रस्तुत किया जाता है न कि एक एकीकृत प्रणाली के रूप में। निष्कर्ष बताते हैं कि जब छात्रों को एक सुसंगत इकाई का उपयोग करके ज़मीन से प्रणाली बनाने का अवसर दिया जाता है, तो वे एक सुसंगत समझ विकसित कर सकते हैं जो पूर्णांकों और भिन्नों को सहजता से जोड़ती है।

अध्ययन यह निष्कर्ष निकालता है कि 'भिन्न इकाई' एक महत्वपूर्ण गणितीय वस्तु है जो अक्सर मानक निर्देश में गायब होती है। इस केंद्रीय अवधारणा के बिना, भिन्न अंकगणित के नियम मनमाने और तात्कालिक प्रतीत होते हैं। इकाई पर ध्यान केंद्रित करके, शोधकर्ताओं ने दिखाया कि चारों बुनियादी क्रियाओं को एक ही अंकगणितीय संगठन के विभिन्न रूपों के रूप में समझा जा सकता है। इस कक्षा के छात्र केवल गणना करना नहीं सीखे; उन्होंने सीखा कि गणनाएँ क्यों काम करती हैं। कागज काटने से लेकर जटिल समस्याओं को हल करने तक की उनकी यात्रा यह दर्शाती है कि जब अंतर्निहित तर्क को दृश्यमान बनाया जाता है, तो भिन्न की समझ की बाधा को हटाया जा सकता है, जिससे छात्र गणित को भ्रमित करने वाले अपवादों की सूची के बजाय एक तार्किक, जुड़े हुए पूर्ण के रूप में देख पाते हैं।