Distance Functions and Generalized Means: Duality and Taxonomy

1. Il Problema e il Contesto

La letteratura economica sulla produzione distingue tradizionalmente tra la teoria del consumatore (basata sulle funzioni di utilità) e la teoria del produttore (basata su indici di produttività e misure di efficienza). Sebbene entrambe le aree facciano ampio uso della dualità e delle funzioni di distanza, si sono sviluppate in gran parte in modo indipendente.
Nell'analisi dell'efficienza produttiva, esistono due concetti principali:

1. Efficienza Radiale (Debreu-Farrell): Misura la riduzione proporzionale degli input mantenendo gli output costanti. È l'inverso della funzione di distanza di Shepard.
2. Efficienza Tecnica (Koopmans): Definisce l'efficienza basandosi sul sottoinsieme efficiente della tecnologia (nessun output può essere aumentato senza ridurre un input o aumentare un altro input).

Esistono misure di efficienza non radiali e direzionali (come la Directional Distance Function di Chambers, Chung e Färe e la misura di efficienza di Färe-Lovell) che cercano di colmare le lacune delle misure radiali, specialmente nella caratterizzazione del sottoinsieme efficiente. Tuttavia, manca un quadro unificato che colleghi formalmente queste diverse misure di efficienza a una funzione di utilità del produttore, permettendo di derivare risultati di dualità senza necessariamente assumere la convessità della tecnologia.

2. Metodologia

L'autore propone un approccio unificante basato su tre pilastri concettuali:

• Funzione di Utilità di Stone-Geary Generalizzata: Il paper introduce una nuova classe di funzioni di distanza basate su una funzione di utilità $W$ ispirata alla funzione di utilità di Stone-Geary (originariamente usata per modellare livelli di sussistenza). In questo contesto, il vettore di produzione osservato $z$ agisce come un "punto anti-ideale" o di partenza, e la funzione di distanza misura il massimo miglioramento possibile verso il fronte produttivo.
• Medie Generalizzate (Generalized Means): La funzione di utilità $W$ è costruita utilizzando le medie generalizzate di Aczel (o somme generalizzate $\phi_p$). Questo permette di definire una famiglia parametrica di funzioni di distanza $DW_{p,g}(z)$, dove $p$ è un parametro reale e $g$ è un vettore di direzione.
  • Per $p \in \mathbb{R}$, la funzione utilizza somme di potenze (norme $L_p$).
  • Per $p \to -\infty$, si ottiene la funzione minima (approccio Leontief).
  • Per $p \to +\infty$, si ottiene la funzione massima.
  • Per $p = 0$, si ottiene la media geometrica (prodotto).
• Teoria della Dualità senza Convessità: Il paper sviluppa teoremi di dualità che collegano queste nuove funzioni di distanza alla funzione di profitto. Un contributo metodologico cruciale è la dimostrazione che questi risultati di dualità possono essere ottenuti senza assumere la convessità della tecnologia (assunzione T5), utilizzando il concetto di "massima distanza da un punto a un insieme" e proprietà delle funzioni quasi-concave o delle norme.

3. Contributi Chiave

A. Definizione della Funzione di Distanza Basata sull'Utilità

Viene definita una funzione di distanza $D(z)$ come il supremo di una funzione di utilità $W(u-z)$ su tutti i vettori netti $u$ che dominano $z$ all'interno della tecnologia $T$.
$$D(z) = \sup_{u \in T_z} W(u - z)$$
Dove $T_z = \{u \in T : u \geq z\}$. Questa formulazione trasforma il problema di efficienza in un problema di massimizzazione dell'utilità del miglioramento.

B. Unificazione delle Misure di Efficienza Esistenti

La nuova funzione di distanza generalizzata $DW_{p,g}(z)$ include come casi speciali quasi tutte le misure di efficienza direzionali note in letteratura, a seconda del valore del parametro $p$:

• $p = -\infty$: Riproduce la Directional Distance Function standard (Chambers, Chung, Färe).
• $p = 1$: Riproduce la Directional Färe-Lovell Distance Function (misura basata sulle slack).
• $p = 0$: Riproduce una versione moltiplicativa della misura di Färe-Lovell.
• $p = +\infty$: Riproduce la Asymmetric Directional Distance Function (massimizza la massima espansione in una singola dimensione).
• $p \to -\infty$: Corrisponde all'approccio minimax (soluzione di Kalai-Smorodinsky nella teoria dei giochi).

C. Risultati di Dualità

Il paper stabilisce teoremi di dualità che collegano la funzione di distanza alla funzione di profitto $\Pi_z(w) = \sup_{u \in T_z} w \cdot u$.

• Caso $p \geq 1$: La funzione di distanza è la massimizzazione di una norma (o quasi-norma) su un insieme compatto. La dualità è espressa come una massimizzazione della differenza tra il profitto e il valore del vettore corrente, soggetta a vincoli di normalizzazione sui prezzi duali (norme $L_q$ con $1/p + 1/q = 1$).
• Caso $p < 1$: La funzione di utilità è quasi-concava. La dualità è espressa come una minimizzazione della differenza tra il profitto e il valore corrente, soggetta a vincoli di normalizzazione basati sulla funzione di utilità indiretta.
• Assenza di Convessità: Un risultato fondamentale è che per $p \geq 1$, la dualità può essere derivata senza assumere che l'insieme di produzione $T$ sia convesso, sfruttando il teorema della massima distanza.

D. Proprietà Assiomatiche

Viene analizzato come il parametro $p$ influenzi le proprietà assiomatiche:

• Per $p > 0$, la funzione caratterizza il sottoinsieme strettamente efficiente ($E(T)$) ed è strettamente decrescente nella direzione $g$.
• Per $p \leq 0$, la funzione caratterizza il sottoinsieme debolmente efficiente ($F(T)$) ed è debolmente decrescente.
• Viene dimostrata l'invarianza rispetto alle unità di misura.

4. Risultati Principali

1. Classificazione Unificata: La maggior parte delle misure di efficienza direzionali e basate su slack (inclusi i modelli di Debreu-Farrell, Färe-Lovell e direzionali) sono casi limite di una singola famiglia parametrica di funzioni di distanza basate su medie generalizzate.
2. Dualità Generale: Viene fornito un quadro completo per la dualità tra funzioni di distanza e funzioni di profitto. La tabella 2 del paper riassume come il criterio di ottimizzazione (massimizzazione vs minimizzazione) e la normalizzazione dei prezzi duali cambino in funzione di $p$.
   • Per $p < 1$: Minimizzazione (funzione quasi-concava).
   • Per $p \geq 1$: Massimizzazione (funzione convessa/norma).
3. Limiti di Efficienza: Viene dimostrato che solo per $p > 0$ (e $g > 0$) la funzione di distanza caratterizza completamente il sottoinsieme efficiente strettamente. Per $p \leq 0$, la funzione può essere nulla anche per punti debolmente efficienti ma non strettamente efficienti, a causa della proprietà di assorbimento delle medie generalizzate per $p \leq 0$.
4. Esempio Numerico: Un esempio numerico (in appendice) illustra come calcolare queste misure e le loro dualità in un contesto non parametrico.

5. Significato e Implicazioni

Questo lavoro è significativo per diversi motivi:

• Ponte Teorico: Colma il divario tra la teoria del consumatore (utilità) e la teoria della produzione (efficienza), mostrando che le misure di efficienza possono essere interpretate come massimizzazioni di funzioni di utilità del tipo Stone-Geary.
• Flessibilità Metodologica: Offre agli economisti e agli analisti operativi un unico strumento parametrico per misurare l'efficienza, permettendo di scegliere il parametro $p$ in base alla natura del problema (es. se si vuole enfatizzare l'efficienza strettamente o debolmente, o se si preferisce un approccio additivo o moltiplicativo).
• Rilassamento delle Ipotesi: La capacità di derivare risultati di dualità senza assumere la convessità della tecnologia rende il modello applicabile a contesti reali dove la convessità potrebbe non essere garantita (es. tecnologie con rendimenti di scala variabili o non convessità strutturali).
• Connessione con la Teoria dei Giochi: Il legame con la soluzione di Kalai-Smorodinsky e la teoria del bargaining offre nuove prospettive per l'analisi dell'efficienza in contesti di negoziazione o allocazione delle risorse.

In conclusione, Briec propone un framework teorico robusto che generalizza e unifica la letteratura esistente sulle misure di efficienza, fornendo nuovi strumenti analitici per la valutazione della produttività in condizioni di convessità e non convessità.