The Finsler spacetime condition for (\alpha,\beta)-metrics and their isometries

Sintesi Tecnica: La condizione dello spaziotempo di Finsler per le metriche $(\alpha, \beta)$ e le loro isometrie

Problema
La geometria di Finsler offre una generalizzazione della geometria pseudo-riemanniana adatta a varie applicazioni nella fisica gravitazionale, tra cui modelli di gas cinetico, relatività speciale deformata e teorie con rottura dell'invarianza di Lorentz (ad esempio, SME, VSR). Tuttavia, mentre la letteratura sulle metriche di Finsler definite positive è estesa, la classificazione degli spazitempi di Finsler lorentziani rimane meno sviluppata. Nello specifico, per la classe ampiamente utilizzata di metriche $(\alpha, \beta)$ (costruite da una metrica pseudo-riemanniana $a$ e da una 1-forma $b$), due questioni fondamentali non erano state pienamente risolte in modo generale:

1. Quali sono le condizioni necessarie e sufficienti affinché una metrica $(\alpha, \beta)$ definisca una valida struttura di spaziotempo di Finsler (ovvero, possedendo una firma lorentziana su un sottobundolo conico di vettori futuri temporali)?
2. Qual è la relazione precisa tra le isometrie di una metrica $(\alpha, \beta)$ e le isometrie della metrica pseudo-riemanniana sottostante $a$?

Metodologia
Gli autori adottano la definizione di spaziotempo di Finsler stabilita nel lavoro precedente [15], che richiede l'esistenza di un sottobundolo conico connesso $T$ del fibrato tangente dove il tensore fondamentale $g$ possiede una firma lorentziana $(+, -, -, -)$ e la funzione metrica $L$ è positiva, regolare e svanisce continuamente al bordo.

Lo studio procede analizzando la forma generale di una metrica $(\alpha, \beta)$:
$$L = A \Psi(s), \quad s = \frac{B^2}{A}$$
dove $A = a_{ij}\dot{x}^i\dot{x}^j$ e $B = b_i\dot{x}^i$. Gli autori derivano i componenti del tensore fondamentale $g_{ij}$ e il suo determinante. Imponendo le condizioni della Definizione 1 (positività di $L$, firma lorentziana di $g$ e comportamento al bordo), derivano disuguaglianze algebriche e differenziali che coinvolgono la funzione $\Psi(s)$ e il prodotto scalare $\langle b, b \rangle$.

Per il problema delle isometrie, gli autori analizzano l'equazione di Killing per il sollevamento completo di un campo vettoriale $\xi$ al fibrato tangente, $\xi_C(L) = 0$. Distinguono tra "simmetrie triviali" (dove $\xi$ è un vettore di Killing sia per $a$ che per $b$) e "simmetrie non triviali" (dove $\xi$ preserva $L$ ma non necessariamente $a$ o $b$ individualmente).

Contributi Chiave e Risultati

1. Condizioni Generali per lo Spaziotempo (Teorema 6):
   Il documento stabilisce le condizioni necessarie e sufficienti affinché una metrica $(\alpha, \beta)$ definisca uno spaziotempo di Finsler. Tali condizioni sono:

   • $A > 0$ e $\Psi > 0$ sul cono $T$, con $L \to 0$ al bordo.
   • $\Psi - s\Psi' > 0$.
   • $(s - \langle b, b \rangle) \frac{d}{ds} \ln \sigma > -1$, dove $\sigma = (\Psi - s\Psi')^2 / \Psi$.
     Queste condizioni assicurano che il tensore fondamentale abbia la corretta firma lorentziana su un cono convesso di vettori futuri.

2. Classificazione di Metriche Specifiche (Sezione 4):
   Applicando il teorema generale, gli autori forniscono vincoli espliciti per diverse sottoclassi importanti:

   • Metriche lorentziane ($L = \kappa A$): Definiscono sempre uno spaziotempo.
   • Metriche di Randers ($L = \epsilon(\sqrt{A} + B)^2$): Definiscono uno spaziotempo se e solo se $0 \leq \langle b, b \rangle < 1$. In questo caso, la 1-forma $b$ deve essere non-spaciale rispetto ad $a$.
   • Metriche di Bogoslovsky-Kropina ($L = A^{1-q}B^q$): Definiscono uno spaziotempo se:
     • $\langle b, b \rangle \geq 0$ e $q \in [-1, 1)$ (i coni coincidono con quelli di $A$).
     • $\langle b, b \rangle < 0$ e $q \in (0, 1)$ (i coni sono l'intersezione dei coni di $A$ con $B > 0$).
   • Metriche di Kundt ($L = A s^{-p}(k + ms)^{p+1}$): Definiscono uno spaziotempo se $k > 0$, $m < 0$, e vengono soddisfatti specifici vincoli su $p$ e $\langle b, b \rangle$ (ad esempio, $p \in (-1, 1]$ per $b$ non-spaciale).
   • Metriche Esponenziali ($L = A e^{P(s)}$): Definiscono uno spaziotempo se specifiche disuguaglianze asintotiche e differenziali che coinvolgono $P(s)$ sono soddisfatte.

3. Isometrie di $(\alpha, \beta)$ (Teorema 11):
   Gli autori determinano completamente la relazione tra le isometrie di $L$ e di $a$. Dimostrano che le metriche $(\alpha, \beta)$ non-riemanniane ammettono campi vettoriali di Killing non triviali (isometrie di $L$ che non sono isometrie di $a$) se e solo se $\Psi(s)$ assume una specifica forma funzionale che coinvolge costanti e potenze di $s$ (o forme esponenziali).

   • Nello specifico, se $\Psi(s)$ corrisponde alle forme in Eq. (44), esistono campi vettoriali $\xi$ soddisfacenti $\xi_C(B) = \kappa \lambda_2 B$ e $\xi_C(A) = \kappa(\mu_1 A + \mu_2 B^2)$ che sono vettori di Killing per $L$ ma non per $a$.
   • Viene fornito un esempio concreto utilizzando una metrica di Bogoslovsky-Kropina su un background conformemente Minkowski con una 1-forma debolmente nulla (lightlike), dimostrando una simmetria di traslazione temporale che non è una simmetria della metrica sottostante $a$.

Significatività
Il lavoro sostiene di fornire il primo trattamento in piena generalità delle strutture di Finsler lorentziane $(\alpha, \beta)$. Stabilendo condizioni necessarie e sufficienti rigorose, il lavoro permette l'identificazione di candidati validi per applicazioni nella fisica gravitazionale tra la vasta classe di metriche $(\alpha, \beta)$. Inoltre, la scoperta e la caratterizzazione di isometrie non triviali sfidano l'assunto che le simmetrie di uno spaziotempo di Finsler siano strettamente ereditate dalla sua metrica pseudo-riemanniana sottostante. Ciò suggerisce la possibilità di costruire spazitempi di Finsler con simmetrie (ad esempio, simmetria sferica) che la metrica $a$ sottostante non possiede, aprendo nuove strade per la modellazione di sistemi fisici nella fisica gravitazionale.