Work and heat exchanged during sudden quenches of strongly coupled quantum systems

Sintesi Tecnica: Lavoro e Calore Scambiati Durante Quench Improvvisi di Sistemi Quantistici Fortemente Accoppiati

Problematica
Il documento affronta una questione fondamentale aperta nella termodinamica quantistica: come definire in modo coerente le grandezze termodinamiche — specificamente l'energia interna, il lavoro e il calore — per sistemi quantistici fortemente accoppiati ai loro ambienti. Nel regime standard di accoppiamento debole, l'energia di interazione è trascurabile, permettendo la decomposizione dell'energia interna totale in contributi separati del sistema e del serbatoio. Nel regime di forte accoppiamento (rilevante per sistemi microscopici o con interazioni a lungo raggio), l'energia di interazione è significativa e non può essere ripartita nettamente. Di conseguenza, non è chiaro come attribuire l'energia al sistema rispetto al serbatoio, portando ad ambiguità nella definizione delle prime e seconde leggi della termodinamica per tali sistemi. Sebbene la termodinamica classica a forte accoppiamento offra definizioni coerenti, le loro estensioni quantistiche rimangono oggetto di dibattito.

Metodologia
Gli autori investigano tre possibili definizioni per l'energia interna ($U_S$) di un sistema quantistico $S$ fortemente accoppiato a un serbatoio $R$. L'Hamiltoniana totale è $\hat{H}_{S\cup R} = \hat{H}_S + \hat{H}_R + \hat{V}_{S\cup R}$. Le tre definizioni sono:

1. $U_{\text{diff}}$ (Differenza): L'energia interna totale meno l'energia interna di equilibrio di un serbatoio isolato ($U_{S\cup R} - U_R^0$).
2. $U_{H^*}$ (Hamiltoniana della Forza Media): Il valore di aspettazione dell'Hamiltoniana di forza media, $\hat{H}_S^* = -\beta^{-1} \ln(\text{Tr}_R[e^{-\beta \hat{H}_{S\cup R}}] / \text{Tr}_R[e^{-\beta \hat{H}_R}])$.
3. $U_{E^*}$ (Operatore di Energia): Il valore di aspettazione dell'operatore $\hat{E}_S^* = \partial_\beta (\beta \hat{H}_S^*)$.

Lo studio si concentra su processi di quench, in cui l'Hamiltoniana cambia bruscamente al tempo $t=0$. Questa configurazione permette una naturale partizione del cambiamento dell'energia interna ($\Delta U_S$) in lavoro ($W$, compiuto durante il cambiamento istantaneo) e calore ($Q$, assorbito durante l'evoluzione successiva). Gli autori analizzano due scenari:

• Quench del Sistema: L'Hamiltoniana del sistema $\hat{H}_S$ cambia bruscamente.
• Quench dell'Interazione: Il termine di interazione $\hat{V}_{S\cup R}$ viene attivato bruscamente.

Per ogni definizione di energia interna, gli autori derivano le corrispondenti definizioni di lavoro e calore. Testano poi queste definizioni rispetto alla Seconda Legge della Termodinamica, specificamente la disuguaglianza $W \geq \Delta F_S$ (dove $\Delta F_S$ è la variazione di energia libera), che deve essere soddisfatta per processi che partono da uno stato di equilibrio.

Contributi Chiave e Risultati

1. Coerenza con la Prima Legge: Per costruzione, tutte e tre le definizioni di energia interna soddisfano la Prima Legge della Termodinamica ($\Delta U_S = W + Q$) per i processi di quench considerati.
2. Violazione della Seconda Legge: Gli autori dimostrano che solo due delle tre definizioni soddisfano la Seconda Legge ($W \geq \Delta F_S$) per processi di quench generali:
   • Le definizioni basate su $U_{\text{diff}}$ e $U_{H^*}$ soddisfano la disuguaglianza. Gli autori dimostrano questo mostrando che il lavoro dissipato ($W - \Delta F_S$) corrisponde all'entropia relativa quantistica non negativa tra gli stati globali (o ridotti) iniziale e finale.
   • La definizione basata su $U_{E^*}$ (e il relativo lavoro $W_{E^*}$) fallisce nel soddisfare la Seconda Legge. Gli autori forniscono un controesempio numerico utilizzando un modello a due spin dove $W_{E^*} < \Delta F_S$ per certi valori dei parametri, indicando una violazione della seconda legge.
3. Condizioni di Equivalenza: Il documento identifica condizioni specifiche in cui le tre definizioni coincidono. Per i quench di sistema in cui le Hamiltoniane iniziali e finali del sistema commutano con il termine di interazione ($[\hat{H}_S, \hat{V}_{S\cup R}] = 0$), tutte e tre le definizioni di lavoro ($W_{\text{diff}}$, $W_{H^*}$, e $W_{E^*}$) sono identiche e soddisfano la Seconda Legge.
4. Calore ed Entropia: Quando il sistema si equilibra dopo il quench, la Seconda Legge può essere espressa in termini di calore ed entropia ($Q \leq \beta^{-1} \Delta S$). I risultati rispecchiano l'analisi del lavoro: le definizioni derivate da $U_{\text{diff}}$ e $U_{H^*}$ soddisfano questo limite, mentre la definizione basata su $U_{E^*}$ può violarlo.

Significato
Il documento sostiene di far progredire il campo della termodinamica quantistica distinguendo rigorosamente quali definizioni delle grandezze termodinamiche siano coerenti con la Seconda Legge nel regime di forte accoppiamento. I risultati evidenziano una divergenza tra la termodinamica classica e quella quantistica: sebbene le tre definizioni siano classicamente equivalenti e soddisfino tutte la Seconda Legge, nel regime quantistico solo le definizioni basate sulla differenza di energia totale ($U_{\text{diff}}$) e sull'Hamiltoniana di forza media ($U_{H^*}$) sono valide.

Gli autori suggeriscono che questi risultati siano significativi per lo studio di sistemi fortemente accoppiati nella materia condensata, nella fisica delle alte energie e nucleare (specificamente nelle teorie di gauge su reticolo), nella chimica quantistica e nella correzione degli errori quantistici. Il lavoro fornisce una guida per la selezione delle appropriate definizioni termodinamiche in questi contesti, notando in particolare che l'Hamiltoniana di forza media ($\hat{H}_S^*$) è fisicamente motivata dalla sua relazione con l'Hamiltoniana di entanglement del sistema in equilibrio, collegando potenzialmente le misurazioni termodinamiche alle tecniche di tomografia dell'entanglement. Lo studio ha un ambito modesto, concentrandosi su processi di quench e quantità medie, e nota esplicitamente che l'estensione di questi risultati a quantità fluttuanti o processi non di quench (come i processi adiabatici) rimane una direzione aperta per la ricerca futura.