Divisibility of dynamical maps: Schrödinger vs. Heisenberg picture

Titolo

Divisibilità delle mappe dinamiche: Immagine di Schrödinger vs. Immagine di Heisenberg.

1. Il Problema

La divisibilità delle mappe dinamiche quantistiche è un concetto centrale nello studio della non-Markovianità nei sistemi aperti. Tradizionalmente, questo concetto è stato analizzato esclusivamente nell'immagine di Schrödinger, dove l'evoluzione degli stati (matrici densità) è governata da un generatore sinistro ($L_t$) in un'equazione maestra temporale locale (ME): $\dot{\Phi}_t = L_t \circ \Phi_t$.
La violazione della divisibilità (P-divisibilità o CP-divisibilità) è stata collegata al flusso di informazioni dall'ambiente al sistema (backflow), interpretabile come un effetto di memoria.

Tuttavia, esiste una dualità fondamentale tra l'immagine di Schrödinger (evoluzione degli stati) e l'immagine di Heisenberg (evoluzione degli osservabili). Sebbene le due immagini siano fisicamente equivalenti per quanto riguarda le previsioni osservabili, gli autori si chiedono se le proprietà di divisibilità delle mappe duali siano equivalenti. Il problema centrale è che, al di fuori del caso di semigruppi (dove i generatori sono costanti e commutano), l'operatore che genera l'evoluzione temporale nell'immagine di Heisenberg non è semplicemente il duale di quello di Schrödinger, ma dipende da un "generatore destro" ($R_t$) che ha un ruolo diverso.

2. Metodologia

Gli autori adottano un approccio teorico rigoroso basato sulla teoria delle mappe quantistiche e sull'algebra degli operatori:

• Definizione dei Generatori Sinistri e Destri:

  • Nell'immagine di Schrödinger, l'evoluzione è descritta sia da $\dot{\Phi}_t = L_t \circ \Phi_t$ (generatore sinistro) che da $\dot{\Phi}_t = \Phi_t \circ R_t$ (generatore destro). In generale, $L_t \neq R_t$ a meno che la dinamica non sia commutativa.
  • Nell'immagine di Heisenberg, la mappa duale $\Phi^*_t$ soddisfa $\dot{\Phi}^*_t = \Phi^*_t \circ L^*_t = R^*_t \circ \Phi^*_t$.
  • Scoperta chiave: La divisibilità nell'immagine di Heisenberg è controllata dal generatore destro dell'immagine di Schrödinger ($R^*_t$), non dal suo duale sinistro ($L^*_t$).

• Generalizzazione della Divisibilità:

  • Viene definita la Heisenberg P-divisibilità basandosi sulla positività del propagatore destro $\Phi^R_{t,s}$ (o equivalentemente sulla positività del propagatore destro nell'immagine di Schrödinger).
  • Viene introdotta una misura operativa per la violazione di questa divisibilità, analoga alla misura di non-Markovianità basata sulla distanza di traccia ($D_1$) usata per gli stati.

• Interpretazione Operativa:

  • Mentre la violazione della P-divisibilità di Schrödinger è legata alla non-monotonicità della probabilità di indovinare quale stato è stato preparato (distanza di traccia tra stati), la violazione della P-divisibilità di Heisenberg è legata alla non-monotonicità della probabilità di indovinare quale effetto (misura) è stato scelto (distanza di norma operatoriale $D_\infty$ tra effetti).

• Analisi di Esempi Espliciti:

  • Vengono studiati casi specifici, inclusi sistemi classici stocastici e dinamiche di qubit (dinamica covariante di fase e trasformazioni ortogonali), per costruire controesempi dove la divisibilità vale in una sola immagine.

3. Contributi Chiave

1. Inequivalenza delle Immagini: Dimostrazione rigorosa che la P-divisibilità (e CP-divisibilità) nell'immagine di Schrödinger e nell'immagine di Heisenberg sono concetti distinti e non equivalenti. Una mappa dinamica può essere divisibile in un'immagine e indivisibile nell'altra.
2. Ruolo dei Generatori: Identificazione del fatto che la non-Markovianità nell'immagine di Heisenberg è governata dal generatore destro ($R_t$) dell'equazione maestra di Schrödinger, il quale scambia il ruolo con il generatore sinistro ($L_t$) sotto dualità.
3. Nuova Misura Operativa: Introduzione di un quantificatore per la violazione della P-divisibilità di Heisenberg ($N_H$), basato sulla non-monotonicità della distanza di norma operatoriale ($D_\infty$) tra effetti.
4. Connessione con POVM: Collegamento della violazione della divisibilità di Heisenberg alla non-monotonicità di risorse quantistiche come l'incompatibilità (joint measurability) e la sharpness (nitidezza) delle POVM (Positive Operator-Valued Measures).

4. Risultati Principali

• Controesempi Espliciti: Gli autori costruiscono dinamiche di qubit (es. combinando dephasing e trasformazioni ortogonali) che sono:
  • Schrödinger-divisibili (Markoviane nel senso tradizionale) ma Heisenberg-indivisibili (non-Markoviane rispetto agli effetti).
  • In alcuni casi, Heisenberg-divisibili ma Schrödinger-indivisibili.
• Dinamica Covariante di Fase: In un modello specifico, mostrano che i tassi di decadimento del generatore destro ($\xi_\alpha$) possono diventare negativi anche quando quelli del generatore sinistro ($\gamma_\alpha$) sono positivi, portando a un comportamento non monotono della distanza $D_\infty$ tra effetti, pur mantenendo la distanza di traccia $D_1$ tra stati monotona.
• Caso Classico: Anche nei sistemi stocastici classici a due stati, la divisibilità "sinistra" (Schrödinger) e "destra" (Heisenberg) non sono equivalenti, sebbene in questo caso specifico la divisibilità di Heisenberg implichi quella di Schrödinger (a differenza del caso quantistico generale).
• Interpretazione Fisica: La violazione della divisibilità di Heisenberg indica un "backflow" di informazioni che si manifesta come un aumento temporaneo della capacità di distinguere tra due diverse misurazioni (effetti), anche se la distinguibilità degli stati non aumenta.

5. Significato e Implicazioni

Questo lavoro ha profonde implicazioni per la caratterizzazione della non-Markovianità quantistica:

• Limiti delle Misure Tradizionali: Le misure di non-Markovianità basate solo sull'immagine di Schrödinger (come il backflow di informazione tra stati) possono fallire nel rilevare effetti di memoria che sono evidenti solo quando si osservano gli osservabili (effetti).
• Completezza della Descrizione: Per una caratterizzazione completa della dinamica quantistica aperta, è necessario considerare entrambe le immagini. La non-Markovianità non è una proprietà assoluta della mappa, ma dipende dal quadro di riferimento (stati vs osservabili) scelto.
• Risorse Quantistiche: La scoperta che risorse come l'incompatibilità delle misurazioni possono subire revival (aumentare nel tempo) in dinamiche che appaiono Markoviane nell'immagine di Schrödinger suggerisce nuovi modi per controllare e sfruttare effetti di memoria in compiti di metrologia quantistica o crittografia.
• Fondamenti Teorici: Il lavoro chiarisce che la CP-divisibilità, sia in Schrödinger che in Heisenberg, non è sinonimo di Markovianità nel senso più ampio (processi tensoriali), suggerendo che la definizione di Markovianità quantistica richiede una revisione più sottile che tenga conto della dualità tra stati e osservabili.

In sintesi, il paper stabilisce che la "memoria" in un sistema quantistico aperto può manifestarsi in modi diversi a seconda che si osservi l'evoluzione degli stati o quella delle misurazioni, rendendo la divisibilità di Heisenberg un nuovo e indipendente testimone di effetti non-Markoviani.