Emergent-gravity Hall effect from quantum geometry

Problematica
I fenomeni di trasporto nei solidi sono fondamentalmente governati dalla geometria e dalla topologia delle funzioni d'onda elettroniche. Mentre l'effetto Hall anomalo è ben compreso attraverso la lente della curvatura di Berry (geometria nello spazio dei momenti) e l'effetto Hall topologico attraverso campi elettromagnetici emergenti da texture di spin, il ruolo della geometria quantistica nel generare campi gravitazionali effettivi rimane meno esplorato. Nello specifico, la derivata della metrica quantistica costituisce il simbolo di Christoffel, rappresentando una forma di "gravità nello spazio dei momenti". La questione centrale affrontata in questo lavoro è se i campi gravitazionali emergenti, derivanti dalla geometria quantistica nello spazio reale, nello spazio dei momenti, nel tempo e nello spazio dei parametri, possano guidare nuovi effetti Hall nel trasporto elettronico.

Metodologia
Gli autori sviluppano un quadro teorico unificato basato sulla dinamica dei pacchetti d'onda semiclassici, estendendo la standard approssimazione adiabatica per includere transizioni interbanda non adiabatiche.

1. Formulazione Lagrangiana: Partendo da un Lagrangiano generale per un elettrone con dipendenze dallo spazio reale ($r$), dallo spazio dei momenti ($q$), dal tempo ($t$) e da un parametro arbitrario dipendente dal tempo ($\lambda$), gli autori derivano il Lagrangiano effettivo espandendo lo stato quantistico oltre il limite adiabatico. Questa espansione incorpora correzioni del primo ordine all'approssimazione adiabatica.
2. Equazioni del Moto: Utilizzando le equazioni di Euler-Lagrange, derivano le equazioni del moto per i centri dei pacchetti d'onda. Crucialmente, l'inclusione di processi non adiabatici introduce termini di correzione proporzionali a $\hbar^2$ che assumono la forma di simboli di Christoffel ($\Gamma$), definiti tramite la metrica quantistica pesata ($G$). Questi simboli sono identificati come "campi gravitazionali emergenti".
3. Calcolo del Trasporto: Gli autori impiegano l'equazione di Boltzmann nell'approssimazione del tempo di rilassamento per derivare la funzione di distribuzione elettronica ad un ordine arbitrario del tempo di rilassamento ($\tau$). Combinando le equazioni del moto derivate con la funzione di distribuzione, calcolano la corrente elettrica, concentrandosi sui termini che contribuiscono alle risposte trasversali (Hall).
4. Sistemi Modello: Per dimostrare la teoria, gli autori eseguono calcoli modello per:
   • Texture nello spazio reale: pareti di dominio magnetico unidimensionali e skyrmion magnetici bidimensionali.
   • Geometria nello spazio dei momenti: sistemi bidimensionali con interazione spin-orbita di tipo Rashba e accoppiamento Zeeman.
   • Dinamica nel dominio temporale: sistemi con texture in movimento o campi esterni variabili nel tempo.

Contributi Chiave e Risultati
Il articolo identifica quattro meccanismi distinti per un "effetto Hall da gravità emergente", tutti descritti da simboli di Christoffel in spazi diversi:

1. Gravità nello Spazio Reale:

   • In sistemi con texture di spin spazialmente variabili (ad es. skyrmion), il simbolo di Christoffel dello spazio reale ($\Gamma^r_{rr}$) induce una risposta Hall.
   • Gli autori dimostrano che per un singolo skyrmion in un magnete non centrosimmetrico, sorge una conducibilità Hall da gravità emergente finita. L'ordine di grandezza è stimato in circa $10^{-4} e^2/\hbar$ per skyrmion.
   • Una condizione chiave per una risposta Hall finita in questo regime è che la dispersione di energia non debba essere una funzione pari del momento ($h_0(q) \neq h_0(-q)$), distinguendosi dall'effetto Hall topologico che si basa sulla chiralità di spin scalare.

2. Gravità nello Spazio dei Momenti:

   • In sistemi spazialmente uniformi, il simbolo di Christoffel dello spazio dei momenti ($\Gamma^q_{qq}$) porta a un effetto Hall non lineare.
   • Gli autori calcolano la conducibilità Hall non lineare per un sistema con accoppiamento spin-orbita Rashba e un campo magnetico. Essi trovano che l'effetto indotto dalla gravità dei momenti scala come $\tau^0$ (indipendente dal tempo di rilassamento), distinguendosi dal meccanismo del dipolo di curvatura di Berry (che scala come $\tau^1$).
   • L'ordine di grandezza stimato ($\sim 10^{-9}$ a $10^{-10}$ Am/V$^2$) è previsto essere maggiore dell'effetto Hall non lineare indotto dal dipolo di curvatura di Berry.

3. Velocità Anomala Gravitazionale e Forza di Lorentz (Dominio Temporale):

   • I simboli di Christoffel che coinvolgono derivate temporali ($\Gamma^t$) danno origine a nuovi termini di trasporto.
   • La parte antisimmetrica di $\Gamma^q_{qt}$ induce una "velocità anomala gravitazionale" perpendicolare alla velocità del momento, analogamente all'effetto della curvatura di Berry.
   • La parte antisimmetrica di $\Gamma^r_{rt}$ agisce come una "forza di Lorentz gravitazionale", perpendicolare alla velocità dello spazio reale, imitando un campo magnetico.
   • Si dimostra che questi effetti generano risposte Hall in sistemi con texture in movimento (ad es. uno skyrmion in deriva) o campi magnetici variabili nel tempo.

Significato e Rivendicazioni
Gli autori affermano di aver scoperto una nuova classe di effetti Hall guidati da campi gravitazionali effettivi derivanti dalla geometria quantistica. Trattando lo spazio reale, lo spazio dei momenti, il tempo e lo spazio dei parametri su un piano di parità, il lavoro fornisce un quadro unificato per investigare i fenomeni di trasporto governati dai simboli di Christoffel.

• Il articolo postula che questi effetti aprano una "nuova via per esplorare gli effetti gravitazionali nei sistemi quantistici".
• Chiarisce le condizioni specifiche richieste per una risposta Hall finita, come la rottura della simmetria di inversione e le specifiche proprietà di simmetria della dispersione di energia.
• Gli autori osservano che, sebbene lavori correlati abbiano discusso la gravità emergente da texture di spin o effetti non adiabatici nello spazio dei momenti, questo lavoro è distinto per la sua derivazione sistematica degli effetti Hall in tutti e quattro gli spazi (reale, dei momenti, temporale e dei parametri) e per la sua esplicita identificazione dei quattro meccanismi elencati sopra.

Le scoperte suggeriscono che la gravità emergente non è meramente una curiosità teorica, ma un contributore tangibile alle proprietà di trasporto, potenzialmente osservabile in sistemi con texture magnetiche non centrosimmetriche o sotto specifiche condizioni dinamiche.