Dynamic Non-Bayesian Persuasion

1. Il Problema di Ricerca

Il paper indaga se la capacità di un mittente (sender) di utilizzare una sequenza di esperimenti (persuasione dinamica) invece di un singolo esperimento (persuasione statica) modifichi il valore atteso del mittente in un gioco di persuasione.
Mentre la letteratura classica sulla persuasione bayesiana (es. Kamenica e Gentzkow, 2011) dimostra che, per un ricevente razionale (bayesiano), il tempismo dell'informazione non influisce sul valore della persuasione, questo studio si concentra su un contesto in cui il ricevente non è bayesiano.
Il problema centrale è: in quali condizioni di aggiornamento delle credenze da parte del ricevente la persuasione dinamica offre un vantaggio rispetto a quella statica, e quando le due sono equivalenti?

2. Metodologia e Quadro Teorico

Ambiente e Attori

• Mittente: Un agente che massimizza l'utilità attesa, capace di progettare strutture informative (esperimenti).
• Ricevente: Un agente che massimizza l'utilità attesa ma aggiorna le proprie credenze secondo regole non bayesiane.
• Aggiornamento Sistematico: Il paper adotta il framework di De Clippel e Zhang (2022), dove il ricevente calcola prima il posterore bayesiano e successivamente applica una funzione di distorsione $D_p$ dipendente dal prior.
  • Esempi inclusi: Regola $\alpha-\beta$ di Grether (distorsione geometrica), sottoreazione lineare, aggiornamento a due stadi con vincoli cognitivi.

Modelli a Confronto

1. Persuasione Statica (One-shot): Il mittente sceglie un singolo esperimento $\sigma$. Il ricevente osserva il segnale, aggiorna la credenza secondo $D_p$ e sceglie un'azione.
2. Persuasione Dinamica (Due stadi):
   • Fase 1: Il mittente sceglie un esperimento $\sigma_1$. Il ricevente aggiorna la credenza da $p$ a $D_p(q)$, dove $q$ è il posterore bayesiano.
   • Fase 2: Il mittente sceglie un esperimento $\sigma_2$ condizionato al segnale $s_1$. Il ricevente aggiorna la credenza da $D_p(q)$ a $D_{D_p(q)}(\mu_B(\sigma_2, D_p(q)))$.
   • Azione finale: Il ricevente sceglie l'azione basandosi sulla credenza finale.

Strumenti Analitici

Il paper utilizza la teoria dell'ottimizzazione convessa e la caratterizzazione degli insiemi di distribuzioni di credenze posteriori ammissibili (Bayes-plausibility).

• Viene definita la distorsione intermedia $D^{II}_q(r; p)$, che rappresenta come il mittente percepisce l'aggiornamento del ricevente nel secondo stadio, dato il prior iniziale $p$ e la credenza intermedia $q$.
• Si confrontano gli insiemi di distribuzioni congiunte delle credenze finali del mittente e del ricevente, indicati come $T^1(p, D)$ (statico) e $T^2(p, D)$ (dinamico).

3. Risultati Chiave e Contributi

Il Concetto di "Divisibilità" (Divisibility)

Il contributo principale è la caratterizzazione delle regole di aggiornamento per cui la persuasione statica è senza perdita di generalità (WLOG) rispetto a quella dinamica.

• Definizione: Una regola di distorsione $D$ è divisibile se, per ogni prior $p$ e credenze $q, r$, vale:
  $$D_p(r) = D^{II}_q(r; p)$$
  Intuitivamente, la distorsione applicata nel primo passo coincide con la distorsione che emerge nel secondo passo dal punto di vista del mittente.
• Teorema 1 (Risultato Principale): Sotto condizioni di regolarità (supporto non decrescente, continuità, iniettività) e l'assioma di "indipendenza dal prior sotto certezza", le seguenti affermazioni sono equivalenti:
  1. La regola di distorsione è divisibile.
  2. Gli insiemi di payoff ex-ante ammissibili per il mittente coincidono tra persuasione statica e dinamica ($V^1 = V^2$).
  3. Il mittente è indifferente tra le due modalità in qualsiasi ambiente di persuasione.

Caratterizzazione Funzionale

• Proposizione 2: Le regole divisibili ammettono una caratterizzazione funzionale specifica (equazione di traduzione), generalizzando il lavoro di Cripps (2018).
• Esempi:
  • La distorsione geometrica (Regola $\alpha-\beta$ di Grether con $\alpha=1$) è divisibile. Di conseguenza, per questo tipo di ricevente, il mittente non guadagna nulla fornendo informazioni sequenziali.
  • L'aggiornamento bayesiano è un caso particolare di distorsione geometrica ($\beta=1$) ed è quindi divisibile.

Casi di Non-Equivalenza (Sottoreazione Lineare)

Il paper dimostra che per regole non divisibili, il tempismo è rilevante per il payoff.

• Sottoreazione Lineare: Quando il ricevente aggiorna le credenze come una combinazione convessa tra il posterore bayesiano e il prior ($\lambda q + (1-\lambda)p$ con $\lambda < 1$), la regola non è divisibile.
• Proposizione 1: In un ambiente "giudice-procuratore" con sottoreazione lineare (o base-rate neglect, $\alpha < 1$ nella regola di Grether), il mittente ottiene un payoff maggiore con la persuasione dinamica.
  • Meccanismo: Fornendo informazioni non informative nella prima fase, il mittente permette alla credenza distorta del ricevente di "derivare" verso una distribuzione uniforme (più favorevole al mittente) prima di inviare informazioni decisive nella seconda fase.

Debolezza della Divisibilità (Weak Divisibility)

Per ambienti dove le preferenze del mittente sono indipendenti dallo stato (state-independent), il paper introduce una condizione più debole, la debole divisibilità, che permette trasformazioni affini tra le distorsioni sequenziali e simultanee. Anche in questo caso, la coincidenza dei payoff è garantita solo sotto questa condizione rilassata.

4. Significato e Implicazioni

1. Validità del Framework Statico: Il paper fornisce i confini esatti entro cui gli analisti possono utilizzare i modelli di persuasione statica (più trattabili) anche in contesti dinamici. Se la regola di aggiornamento del ricevente è divisibile, non è necessario modellare la dinamica temporale.
2. Impatto delle Deviazioni Cognitive: Dimostra che le deviazioni cognitive comuni (come la sottoreazione lineare o il neglect della base rate) possono rendere la sequenzialità dell'informazione uno strumento strategico potente per il mittente, alterando radicalmente i risultati rispetto al caso bayesiano.
3. Nuova Caratterizzazione Matematica: Estende la teoria delle regole di aggiornamento divisibili (Cripps, 2018) al contesto della persuasione strategica, collegando la proprietà di "invarianza temporale" delle credenze all'equivalenza dei payoff.
4. Gestione della Complessità: Fornisce un metodo per risolvere problemi di persuasione dinamica complessi riducendoli a problemi statici quando la condizione di divisibilità è soddisfatta, offrendo al contempo controesempi (come la sottoreazione lineare) che richiedono modelli dinamici espliciti.

In sintesi, Kobayashi stabilisce che la divisibilità è la proprietà fondamentale che determina se il "quando" dell'informazione è rilevante per il successo della persuasione in presenza di riceventi non razionali.