Quantum approximate optimization of finite-state bosonic systems

1. Il Problema

Molti problemi naturali, in particolare quelli della fisica quantistica, della chimica e della scienza dei materiali, sono descritti da sistemi a stati finiti di dimensione $D$ (qudits). L'esecuzione di questi problemi su hardware quantistico basato su qubit richiede la mappatura dello spazio di Hilbert del qudit ($D$ dimensioni) su uno spazio di multi-qubit.
Poiché $D$ raramente è una potenza di 2, la mappatura crea inevitabilmente un sottospazio non fattibile (infeasible subspace) all'interno dello spazio degli stati dei qubit ($2^K$, dove $K = \lceil \log_2 D \rceil$).

• Approccio tradizionale: Solitamente, per escludere questo sottospazio, si aggiunge un termine di penalità alla funzione obiettivo (Hamiltoniana di costo). Tuttavia, poiché il sottospazio illegittimo cresce esponenzialmente rispetto a quello fisico, questa strategia diventa inefficiente, rendendo la ricerca della soluzione candidata computazionalmente onerosa.
• Sfida specifica: Come limitare l'evoluzione del sistema al solo sottospazio fattibile senza penalizzare l'Hamiltoniana, specialmente nel contesto degli algoritmi variazionali come il QAOA (Quantum Approximate Optimization Algorithm)?

2. Metodologia

L'autore propone di utilizzare una variante dell'algoritmo QAOA basata sull'Hamiltoniana (spesso chiamata Quantum Alternating Operator Ansatz o QAOA esteso). L'idea centrale è progettare Hamiltoniane di mixing specifiche che preservino il sottospazio fattibile, impedendo fisicamente al sistema di uscire da esso durante l'evoluzione unitaria.

Lo studio confronta tre diverse tecniche di codifica (mapping) per rappresentare i sistemi bosonici a $D$ stati su qubit:

1. Codifica Binaria: Mappatura standard efficiente in termini di numero di qubit ($K \approx \log_2 D$).
2. Codifica Simmetrica: Ogni stato base $|d\rangle$ è mappato su una sovrapposizione di stati con peso di Hamming $d$. Richiede $K = D-1$ qubit.
3. Codifica Unaria: Ogni stato $|d\rangle$ è mappato su un registro di $K=D$ qubit con un singolo qubit nello stato $|1\rangle$ (es. $|0...1...0\rangle$).

Analisi delle Risorse:
Il costo di implementazione è valutato principalmente in termini di numero di porte CNOT (gate entangling), che sono costose e rumorose rispetto ai gate a singolo qubit. L'analisi copre:

• Preparazione dello stato iniziale.
• Implementazione dell'Hamiltoniana di mixing.
• Misurazione finale (inclusa la necessità di misurazioni entangled per la codifica simmetrica).

3. Contributi Chiave

• Ottimalità della Codifica Simmetrica: Il contributo principale è la dimostrazione che, per la codifica simmetrica, l'Hamiltoniana di mixing standard (la somma degli operatori di Pauli-X su tutti i qubit, $\sum X_k$) è ottimale.
  • Questa Hamiltoniana commuta con le permutazioni dei qubit e preserva lo spazio simmetrico.
  • Vantaggio cruciale: La sua implementazione richiede zero gate CNOT (solo rotazioni a singolo qubit), indipendentemente dalla dimensione $D$.
• Inefficienza delle altre codifiche:
  • Per le codifiche binaria e unaria, l'implementazione di Hamiltoniane di mixing che rispettino i vincoli richiede un numero di gate CNOT che cresce esponenzialmente con $D$.
  • In un QAOA a $p$ strati, il numero totale di CNOT per queste codifiche aumenta di un fattore $p$, rendendole molto più costose rispetto alla codifica simmetrica.
• Teorema di Invarianza: Viene fornito una prova formale che l'Hamiltoniana di mixing standard preserva il sottospazio simmetrico, garantendo che il sistema non "perda" mai nel sottospazio non fattibile.

4. Risultati Sperimentali e Numerici

L'autore applica il framework a due casi di studio:

A. Termalizzazione Quantistica Approssimata

• Scenario: Due oscillatori armonici accoppiati.
• Obiettivo: Generare uno stato termico (Gibbs) approssimato.
• Risultati:
  • La codifica simmetrica ottiene una fedeltà più alta ($F \approx 0.93$) e una minore entropia relativa quantistica rispetto alla codifica binaria ($F \approx 0.89$) rispetto allo stato termico esatto.
  • Nonostante la necessità di misurazioni entangled (che richiedono alcuni CNOT aggiuntivi), la codifica simmetrica rimane complessivamente più efficiente in termini di risorse totali (CNOT totali: ~3 per la simmetrica vs ~10 per la binaria per $p=5$).
  • La codifica simmetrica si dimostra più robusta alle variazioni di temperatura ($\beta$).

B. Modello di Bose-Hubbard (Repulsivo)

• Scenario: Sistema di bosoni su un reticolo con interazioni repulsive.
• Regimi:
  • Interazione Forte (Regime di Isolante di Mott): Lo stato fondamentale è un prodotto tensoriale (non entangled). Sia la codifica binaria che quella simmetrica convergono rapidamente con alta fedeltà ($>0.95$) e poche risorse.
  • Interazione Debole (Regime Superfluido): Lo stato fondamentale è altamente entangled. Qui, la codifica simmetrica mostra prestazioni inferiori rispetto alla binaria se non si aumenta significativamente la profondità del circuito ($p$). Tuttavia, la codifica binaria richiede un numero enorme di CNOT per l'Hamiltoniana di mixing, rendendo l'approccio complessivo molto costoso.
• Conclusione: La codifica simmetrica è superiore quando si considerano i costi di gate di entanglement, specialmente per sistemi di dimensioni maggiori.

5. Significato e Implicazioni

• Efficienza Hardware: Lo studio dimostra che l'uso di codifiche "ridondanti" (come quella simmetrica che usa più qubit) può essere vantaggioso perché elimina la necessità di costosi gate di entanglement (CNOT) durante l'operazione di mixing.
• Scalabilità: Poiché il numero di CNOT per le codifiche binaria e unaria cresce esponenzialmente con la dimensione del sistema $D$, mentre per la simmetrica rimane costante (zero per il mixing), la codifica simmetrica è la scelta preferibile per la scalabilità su hardware NISQ (Noisy Intermediate-Scale Quantum).
• Strategia per Vincoli: L'approccio proposto offre una via alternativa e più efficiente rispetto alla penalizzazione della funzione obiettivo per gestire i vincoli nei problemi di ottimizzazione quantistica, specialmente per sistemi bosonici.
• Futuro: Il lavoro suggerisce che future architetture quantistiche potrebbero beneficiare di una progettazione di circuiti che sfrutti la simmetria intrinseca dei problemi fisici, riducendo la profondità dei circuiti e l'impatto del rumore.

In sintesi, il paper stabilisce che per l'ottimizzazione approssimata di sistemi bosonici a stati finiti, la codifica simmetrica combinata con l'Hamiltoniana di mixing standard rappresenta la strategia più efficiente in termini di risorse di entanglement, superando le tradizionali codifiche binarie nonostante l'uso di un maggior numero di qubit.