Spontaneous emission of a three-level artificial atom in a one-dimensional open waveguide

Titolo: Emissione spontanea di un atomo artificiale a tre livelli in una guida d'onda aperta unidimensionale

Autori: O. A. Chuikin, Ya. S. Greenberg, O. V. Kibis
Affiliazione: Università Statale Tecnica di Novosibirsk, Russia

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1. Il Problema

Il lavoro si concentra sulla dinamica e sulle caratteristiche spettrali di un sistema quantistico a tre livelli (un "atomo artificiale" ladder-type, tipicamente un qubit transmon superconduttivo) accoppiato a un campo elettromagnetico continuo all'interno di una guida d'onda aperta unidimensionale (1D).
Mentre l'interazione tra atomi e fotoni in guide d'onda (Waveguide QED) è un campo di ricerca in rapida crescita, la maggior parte degli studi precedenti si è limitata al limite a un singolo fotone o a sistemi a due livelli. Questo studio affronta il caso specifico dell'emissione spontanea di un atomo inizialmente eccitato al suo livello più alto ($|f\rangle$), che decade emettendo due fotoni attraverso una cascata di transizioni ($|f\rangle \to |e\rangle \to |g\rangle$).
Il problema centrale è comprendere come la forza dell'accoppiamento tra l'atomo e la guida d'onda e l'anarmonicità dei livelli energetici influenzino le correlazioni tra i fotoni emessi e la loro distribuzione energetica. In particolare, si indaga se sia possibile generare coppie di fotoni con energie identiche (frequenze uguali) anche in sistemi anarmonici.

2. Metodologia

Gli autori adottano un approccio basato sulla descrizione nello spazio reale dei campi fotonici, evitando l'uso di approcci puramente perturbativi o di Hamiltoniane non-hermitiane per il limite a due eccitazioni.

• Modello Fisico: Il sistema è descritto da un Hamiltoniano nel limite continuo, sotto l'approssimazione di onda rotante (RWA). L'atomo è modellato come un sistema a tre livelli ladder ($|g\rangle, |e\rangle, |f\rangle$) posizionato in $x=0$.
• Approssimazione Chirale: Per semplificare la derivazione analitica, si assume una propagazione unidirezionale (solo in avanti), giustificata dalla natura chirale di alcune configurazioni sperimentali o dalla simmetria del decadimento spontaneo in questo contesto.
• Sottospazio a Due Eccitazioni: La funzione d'onda del sistema è scritta nel sottospazio a due eccitazioni, includendo tre ampiezze di probabilità:
  1. $\alpha(t)$: Atomo eccitato a $|f\rangle$, nessun fotone.
  2. $\beta(x, t)$: Atomo a $|e\rangle$, un fotone in posizione $x$.
  3. $\gamma(x_1, x_2, t)$: Atomo a $|g\rangle$, due fotoni in posizioni $x_1, x_2$.
• Soluzione Analitica: Gli autori derivano soluzioni analitiche esatte per le equazioni di Schrödinger non stazionarie che governano queste ampiezze. Utilizzando trasformate di Fourier, passano dallo spazio reale allo spazio dei momenti (frequenze) per analizzare lo spettro dei fotoni emessi.
• Parametri Chiave: Lo studio varia il rapporto tra i tassi di decadimento radiativo ($\Gamma_2/\Gamma_1$) e il parametro di anarmonicità ($\alpha_r$) del transmon.

3. Contributi Chiave

• Soluzione Analitica Esatta: Derivazione di una soluzione analitica completa per l'emissione spontanea di un sistema a tre livelli in una guida d'onda 1D, valida per qualsiasi forma d'onda iniziale (anche se qui applicata al decadimento spontaneo puro).
• Analisi nel Sottospazio a Due Fotoni: A differenza della maggior parte della letteratura Waveguide QED che si ferma al limite a un fotone, questo lavoro tratta esplicitamente la dinamica a due eccitazioni, permettendo lo studio delle correlazioni fotone-fotone.
• Identificazione di Correlazioni di Frequenza: Dimostrazione teorica che, in regime di accoppiamento forte, i due fotoni emessi possono mostrare una forte correlazione di frequenza, portando alla creazione di fotoni con energie identiche, nonostante l'anarmonicità intrinseca del sistema.

4. Risultati Principali

A. Probabilità di Rilevamento degli Stati

Le probabilità di trovare il sistema in uno dei tre stati (atomo eccitato, atomo a metà con 1 fotone, atomo a terra con 2 fotoni) dipendono esclusivamente dai tassi di decadimento $\Gamma_1$ e $\Gamma_2$, e non dalle frequenze di risonanza atomiche.

• Se $\Gamma_2 \gg \Gamma_1$, il decadimento del livello superiore è molto veloce e il sistema si comporta quasi come un sistema a due livelli ($|e\rangle \to |g\rangle$) dopo un breve transiente.
• Se $\Gamma_2 \ll \Gamma_1$, i due fotoni vengono emessi quasi simultaneamente.
• Per i valori tipici dei transmon ($\Gamma_2/\Gamma_1 \approx 1.5$), si osserva una dinamica intermedia.

B. Densità Spettrale e Correlazioni di Frequenza

L'analisi della densità spettrale a due fotoni $S_{sp}(\omega_1, \omega_2)$ rivela risultati sorprendenti:

• Regime di Accoppiamento Debole: I due fotoni hanno frequenze distinte, corrispondenti alle due transizioni atomiche ($\omega \approx \Omega_1$ e $\omega \approx \Omega_2 - \Omega_1$). Questo è in accordo con esperimenti precedenti.
• Regime di Accoppiamento Forte: Emergono correlazioni di frequenza. Si osserva la comparsa di un terzo picco spettrale dove i due fotoni hanno la stessa frequenza ($\omega_1 = \omega_2$).
• Fotoni Identici: Anche se il sistema è anarmonico (i livelli non sono equidistanti), è possibile generare coppie di fotoni con energie uguali. Questo effetto è dovuto all'interferenza quantistica tra il fotone emesso nella prima transizione e l'atomo che rimane eccitato nello stato intermedio.

C. Spettro per Fotoni Identici

Analizzando la sezione diagonale dello spettro ($\omega_1 = \omega_2$), gli autori trovano che la densità spettrale presenta due massimi:

1. Un massimo alla frequenza di risonanza dei livelli inferiori ($\omega = \Omega_1$), dominante quando $\Gamma_2/\Gamma_1$ è alto (es. 3).
2. Un secondo massimo spostato di metà parametro di anarmonicità: $\omega \approx \Omega_1(1 + \alpha_r/2)$. Questo massimo domina per rapporti di decadimento tipici dei transmon ($\Gamma_2/\Gamma_1 \approx 1.5$).

5. Significato e Implicazioni

Questo lavoro ha importanti implicazioni per le tecnologie quantistiche:

• Sorgenti di Fotoni Identici: Dimostra che le guide d'onda quantistiche con atomi artificiali possono essere utilizzate come sorgenti sintonizzabili di coppie di fotoni identici (stessa energia), una risorsa cruciale per l'interferometria quantistica e il calcolo quantistico.
• Sintonizzabilità: Poiché i circuiti superconduttori permettono di regolare facilmente i parametri di accoppiamento e l'anarmonicità (tramite campi magnetici esterni o design del campione), è possibile progettare sorgenti di fotoni correlati "on-demand".
• Generalità: Sebbene il modello sia basato sui transmon, i risultati sono generali e applicabili ad altri sistemi a tre livelli in guide d'onda 1D, come atomi di Rydberg o punti quantici.
• Fondamentale: Fornisce una comprensione più profonda di come l'anarmonicità e l'accoppiamento forte influenzino l'emissione spontanea, sfidando l'intuizione classica secondo cui l'anarmonicità impedirebbe sempre l'emissione di fotoni con energie identiche.

In sintesi, il paper offre una descrizione teorica rigorosa e analitica che apre la strada alla progettazione di nuove sorgenti di stati fotonici correlati per applicazioni nell'informazione e nella comunicazione quantistica.