Confidence Sets for the Emergence, Collapse, and Recovery Dates of a Bubble

1. Il Problema di Ricerca

La letteratura econometrica ha sviluppato numerosi test per rilevare la presenza di bolle speculative nei prezzi delle attività finanziarie (es. i test SADF di Phillips et al., 2011, e PSY di Phillips et al., 2015). Tuttavia, una volta identificata una bolla, la sfida successiva è stimare con precisione le date di emergenza ($T_e$), collasso ($T_c$) e recupero ($T_r$).

Sebbene esistano stimatori puntuali consistenti per queste date (basati sulla minimizzazione della somma dei quadrati dei residui o su metodi di "date-stamping"), la letteratura manca di un approccio rigoroso per costruire insiemi di confidenza (confidence sets) per queste date di rottura. I metodi tradizionali basati sulla distribuzione asintotica degli stimatori del punto di rottura si sono rivelati inadeguati per le bolle, producendo intervalli di confidenza eccessivamente ampi (spesso coprenti l'intero campione) o con tassi di copertura empirica non affidabili, specialmente quando la velocità di esplosività è moderata.

2. Metodologia Proposta

Gli autori propongono di costruire insiemi di confidenza per $T_e$, $T_c$ e $T_r$ separatamente, invertendo test statistici per la posizione della data di rottura, piuttosto che basarsi sulla distribuzione degli stimatori. Il modello di riferimento è un processo AR(1) con tre regimi:

1. Random Walk: $y_t = y_{t-1} + \varepsilon_t$ (pre-bolla).
2. Esplosivo: $y_t = \phi_a y_{t-1} + \varepsilon_t$ con $\phi_a = 1 + a/T^\alpha$ (durante la bolla).
3. Mean-Reverting: $y_t = \phi_b y_{t-1} + \varepsilon_t$ con $\phi_b = 1 - b/T^\beta$ (collasso).
4. Recupero: Ritorno a un Random Walk.

Approccio Statistico

Il metodo si basa sull'inversione di test per l'ipotesi nulla $H_0: T_{break} = T_1$ contro l'alternativa $H_1: T_{break} = T_2 \neq T_1$. Vengono sviluppati due tipi principali di statistiche test:

1. Test basati sul Rapporto di Verosimiglianza (LR-type):

   • Derivati dal principio di verosimiglianza (simile a Eo e Morley, 2015).
   • Vengono definiti statistiche separate per le direzioni $T_1 < T_2$ e $T_2 < T_1$ per gestire l'asimmetria delle distribuzioni limite.
   • Include una correzione per il campione finito (es. $LR^e_{b,12}$) per mitigare la distorsione verso il basso (over-sizing) osservata nelle simulazioni.

2. Test di tipo Elliott-Müller (EM-type):

   • Ispirati a Elliott e Müller (2007), questi test massimizzano la potenza media pesata assumendo prior su dimensione e data della rottura.
   • Utilizzano statistiche basate sui valori $t$ (o loro quadrati) calcolati su sottocampioni, con pesi adattati alla natura esplosiva del processo.
   • Vengono proposti sia statistiche "medie" (average-type) che "minimo/massimo" (min/max-type).

Costruzione dell'Insieme di Confidenza

L'insieme di confidenza è definito come l'insieme di tutte le date candidate $T_1$ per le quali l'ipotesi nulla non viene rifiutata a un livello di significatività $\delta$.

• Per garantire una copertura asintotica di almeno $1-\delta$, gli autori combinano i test unilaterali (es. $LR^e_{a,12}$ e $LR^e_{a,21}$) utilizzando una regola conservativa (unione dei rigetti).
• Vengono proposte combinazioni ibride (es. $LE^e$, $LE^c$, $LE^r$) che uniscono le statistiche LR e EM per bilanciare copertura e lunghezza dell'intervallo.

3. Contributi Chiave

1. Prima formulazione di insiemi di confidenza per le date delle bolle: Colmano un vuoto nella letteratura fornendo un metodo inferenziale per quantificare l'incertezza sulle date di inizio, fine e recupero di una bolla.
2. Superamento dei limiti degli stimatori puntuali: Dimostrano che gli intervalli basati sulla distribuzione limite degli stimatori sono inutilizzabili (troppo ampi) per le bolle, proponendo invece l'inversione dei test come soluzione robusta.
3. Derivazione delle distribuzioni limite: Forniscono le distribuzioni asintotiche delle nuove statistiche test sotto l'ipotesi nulla e l'alternativa, dimostrando la consistenza dei test in direzioni specifiche (es. un test è consistente se la data reale è successiva alla data candidata, ma non viceversa).
4. Correzioni per il campione finito: Introducono modifiche alle statistiche LR per correggere la distorsione di dimensione (size distortion) nei campioni finiti, migliorando le prestazioni empiriche.

4. Risultati delle Simulazioni (Monte Carlo)

Gli autori hanno valutato le proprietà finite attraverso simulazioni con diversi livelli di esplosività (piccola, media, grande bolla) e diverse posizioni delle date di rottura.

• Copertura (Coverage Rate):
  • Per bolle con alta esplosività, i metodi proposti (specialmente le combinazioni $LE^e$ e $LE^r$) controllano bene il tasso di copertura empirica, avvicinandosi al livello nominale (es. 90%).
  • Per bassa esplosività, si osserva una sottocopertura (under-coverage), sebbene le combinazioni ibride offrano le prestazioni migliori rispetto ai singoli test.
• Lunghezza dell'Insieme (Set Length):
  • Esiste un trade-off tra copertura e lunghezza. Test più conservativi producono insiemi più ampi.
  • Le combinazioni proposte ($LE$) offrono un buon compromesso: mantengono una copertura accettabile con una lunghezza ragionevole, specialmente man mano che la velocità esplosiva aumenta.
  • Gli intervalli basati sulla distribuzione degli stimatori (metodo tradizionale) risultano essere estremamente ampi (coprendo quasi tutto il campione), rendendoli inutili in pratica.
• Comportamento Asimmetrico: I test unilaterali tendono a produrre insiemi di confidenza asimmetrici, includendo molte date su un lato della stima puntuale e poche sull'altro, in linea con la teoria asintotica.

5. Applicazione Empirica

Il metodo è stato applicato ai prezzi quotidiani dell'indice azionario giapponese Nikkei 225 (settembre 2012 - agosto 2013), un periodo caratterizzato da una bolla legata ai cambiamenti nella politica monetaria della Banca del Giappone (BOJ).

• Risultati:
  • Le stime puntuali indicano l'emergenza a novembre 2012, il collasso a maggio 2013 e il recupero a giugno 2013.
  • L'insieme di confidenza al 90% per la data di emergenza ($T_e$), costruito con il test $LE^e$, include il 23 gennaio 2013 (giorno successivo all'annuncio del target di inflazione del 2% dalla BOJ), suggerendo che l'esplosività potrebbe essere iniziata in concomitanza con la politica monetaria, anche se la stima puntuale è precedente.
  • L'insieme per la data di collasso è molto stretto (solo 10 punti), indicando una forte certezza sulla data di picco.
  • L'insieme per la data di recupero è ampio e include molte date successive alla stima puntuale, suggerendo che il ritorno alla normalità del mercato potrebbe essere avvenuto più tardi di quanto stimato puntualmente.
• Vantaggio: Rispetto all'intervallo basato sulla distribuzione degli stimatori (che copre l'81% del campione), il nuovo metodo riduce la dimensione dell'insieme di confidenza del 44%, fornendo informazioni molto più precise.

6. Significato e Conclusione

Questo lavoro fornisce un quadro teorico e pratico fondamentale per l'analisi delle bolle speculative. La capacità di costruire insiemi di confidenza affidabili permette ai ricercatori e ai policy maker di:

1. Quantificare l'incertezza temporale associata alle fasi di una bolla.
2. Valutare meglio l'impatto di eventi esogeni (come cambiamenti di politica monetaria) sulle date di inizio e fine delle bolle.
3. Evitare conclusioni errate basate su stime puntuali che, senza un intervallo di confidenza, potrebbero essere fuorvianti.

Il metodo proposto, pur essendo basato su un modello specifico, rappresenta un avanzamento significativo rispetto alle tecniche di "date-stamping" esistenti, offrendo uno strumento inferenziale robusto per l'analisi delle serie temporali finanziarie esplosive.