Local approximations of global Hamiltonian from inclusion of algebras

1. Problema e Contesto

Il lavoro affronta una sfida fondamentale nella Teoria Quantistica dei Campi (QFT) e nella teoria dell'informazione quantistica: la difficoltà di definire e regolarizzare l'Hamiltoniana globale in sistemi con algebre di osservabili di tipo $III_1$.

• Il problema della divergenza: In QFT, gli stati locali su regioni causalmente complete (come un wedge di Rindler o una sfera) sono descritti da algebre di von Neumann di tipo $III_1$. Per tali algebre, l'Hamiltoniana modulare ($K = -\log \Delta$) ha uno spettro continuo sull'intera retta reale e non possiede autovettori normalizzabili. Di conseguenza, quantità fisiche come il "modular spectral form factor" ($\text{tr}(\Delta^{iT})$) divergono.
• Limiti degli approcci attuali: Le regolarizzazioni standard (come l'evoluzione temporale euclidea globale) richiedono l'accesso all'Hamiltoniana globale $H$, che è esattamente ciò che si cerca di ricostruire o approssimare partendo da dati locali.
• Obiettivo: L'obiettivo è costruire un'approssimazione locale dell'Hamiltoniana globale di Minkowski (o del cilindro di Lorentz) utilizzando esclusivamente i dati locali disponibili in una regione finita (una sfera), sfruttando la struttura delle inclusioni di algebre.

2. Metodologia

Gli autori adottano un approccio basato sull'algebra degli operatori, in particolare sfruttando la proprietà di nuclearità ($L^2$-nuclearity) e la teoria delle inclusioni di algebre di von Neumann.

• Inclusioni di Algebre: Si considera l'inclusione di due regioni sferiche concentriche $B(e^{-2\pi s R}) \subset B(R)$, dove $s > 0$ è un parametro di scala. Questa inclusione funge da "regolatore" naturale e Lorentz-invariante, evitando la necessità di un cut-off UV esterno.
• Funzione Caratteristica: Viene definita una funzione caratteristica per l'inclusione delle algebre:
  $$T_R(z) = \Delta_{B(R)}^{iz} \Delta_{B(e^{-2\pi s R})}^{-iz}$$
  dove $\Delta$ sono gli operatori modulari associati allo stato (tipicamente il vuoto).
• Costruzione dell'Operatore $\tilde{H}$: Partendo dalla funzione caratteristica, gli autori definiscono un operatore autoaggiunto $\tilde{H}_R(z)$ derivando rispetto al parametro di scala $s$ nel limite $s \to 0$:
  $$\tilde{H}_R(z) = \frac{-1}{2 \sin(2\pi i z)} \partial_s \log(T_R(z) T_R(-z)^{-1}) \Big|_{s=0}$$
  Questo operatore è interpretato come una risposta della "doppia cono" modulare a una variazione di scala.
• Mappatura di "Coarse-graining": L'operatore $\tilde{H}_R(z)$ è legato all'Hamiltoniana modulare locale tramite una mappa di smussamento (coarse-graining) $E_z$, che agisce come un filtro passa-basso sull'evoluzione modulare:
  $$E_z(X) = \frac{1}{2 \sinh(2\pi z)} \int_{-z}^{z} dt \, e^{itK} X e^{-itK}$$

3. Risultati Chiave

A. Teoria Conforme dei Campi (CFT) sul Cilindro di Lorentz

Nel caso specifico di una CFT nel vuoto su un cilindro di Lorentz (circumferenza $2\pi$), gli autori dimostrano che:

1. L'operatore $\tilde{H}_u(z)$ è indipendente da $z$ e coincide con la derivata rispetto al raggio dell'Hamiltoniana modulare locale: $\tilde{H}_u = \partial_u K_{B_u}$.
2. È possibile ricostruire esattamente l'Hamiltoniana globale del cilindro ($H_{cyl}$) e il generatore delle rotazioni combinando $\tilde{H}_u$ e l'Hamiltoniana modulare locale $K_u$:
   $$2\pi H_{cyl} = \cosh(2\pi u) \tilde{H}_u - \sinh(2\pi u) K_u$$
   Questo risultato conferma che i dati locali dell'inclusione di sfere contengono l'informazione completa sulla dinamica globale in CFT.

B. Approssimazione per QFT Generale

Per una QFT generica (non necessariamente conforme) o per stati eccitati:

1. Si propone una famiglia di approssimazioni locali per l'Hamiltoniana globale di Minkowski:
   $$2\pi H_z = \frac{1}{R} \left( \tilde{H}_R(z) + K_{B(R)} \right)$$
2. L'operatore $\tilde{H}_R(z)$ agisce come un regolatore dell'Hamiltoniana modulare. A energie sufficientemente alte (vicino al punto fisso UV), queste approssimazioni tendono all'Hamiltoniana globale di Minkowski.
3. Viene introdotta una generalizzazione tramite una distribuzione di probabilità $p(z)$:
   $$2\pi H_p = \frac{1}{R} \left( \tilde{H}_p + K_{B(R)} \right), \quad \tilde{H}_p = \int_C dz \, p(z) E_z(R \partial_R K_{B(R)})$$
   Questo permette di ottimizzare l'approssimazione in base a quali aspetti della fisica IR (infrarossa) si desidera preservare.

C. Teoria delle Perturbazioni Conformi

Gli autori analizzano la stabilità di queste approssimazioni sotto perturbazioni conformi ($H = H_0 + \lambda V$). Dimostrano che l'errore nell'approssimazione è dell'ordine di $\lambda$ e che la struttura dell'Hamiltoniana approssimata mantiene la forma corretta per gli stati ad alta energia, coerentemente con l'ipotesi di termalizzazione degli autostati (ETH).

4. Contributi Principali

1. Ricostruzione Locale dell'Hamiltoniana Globale: Forniscono un metodo rigoroso per derivare l'Hamiltoniana globale partendo esclusivamente dai dati modulari di regioni locali, senza assumere a priori l'esistenza di un'Hamiltoniana globale.
2. Regolarizzazione Modulare: Introducono una nuova classe di regolarizzatori basati sulle inclusioni di algebre ($L^2$-nuclearity) che risolvono le divergenze del "modular spectral form factor" senza ricorrere a cut-off UV artificiali.
3. Connessione con il Caos Quantistico: Suggeriscono che i loro operatori $\tilde{H}_z$ possono essere utilizzati per studiare il caos quantistico e i modi quasi-normali in contesti olografici (buchi neri eterni in AdS), offrendo una definizione locale di caos che non dipende da gradi di libertà inaccessibili.
4. Generalizzazione dell'Entanglement Bootstrap: Estendono il principio dell'entanglement bootstrap (classificazione delle fasi tramite stati ridotti) ai sistemi gapless, proponendo che l'Hamiltoniana globale possa essere ricostruita dallo stato ridotto su una regione topologicamente banale.

5. Significato e Implicazioni

Questo lavoro ha implicazioni profonde per diverse aree della fisica teorica:

• QFT in Spaziotempo Curvo: In assenza di un vettore di Killing temporale globale (come in cosmologia o vicino a orizzonti degli eventi), la costruzione proposta offre un modo canonico per definire un'Hamiltoniana e uno stato di vuoto per un osservatore locale, estendendo lo spaziotempo oltre l'orizzonte attraverso una purificazione canonica.
• Olografia e Gravità Quantistica: La connessione tra la regolarizzazione tramite inclusioni di algebre e la regolarizzazione $i\epsilon$ proposta da Saad-Shenker-Stanford per i wormhole a doppio cono suggerisce un legame profondo tra la struttura algebrica locale e la geometria dello spaziotempo bulk.
• Fondamenti della QFT: Rafforza l'idea che le differenze tra diverse QFT siano codificate nelle inclusioni delle loro algebre locali, piuttosto che nella struttura astratta dell'algebra stessa (che è sempre di tipo $III_1$).

In sintesi, il paper fornisce un ponte matematico rigoroso tra la fisica locale (descritta da algebre di von Neumann e modularità) e la dinamica globale, offrendo nuovi strumenti per lo studio del caos, della termodinamica e della gravità quantistica.