Operator delocalization in disordered spin chains via exact MPO marginals

Titolo: Delocalizzazione degli operatori in catene di spin disordinate tramite marginali MPO esatti

1. Il Problema e il Contesto

Il lavoro si inserisce nello studio della dinamica quantistica in sistemi a molti corpi disordinati, focalizzandosi sulla distinzione tra la localizzazione di Anderson (sistemi non interagenti) e la localizzazione a molti corpi (MBL, Many-Body Localization).
Un aspetto fondamentale di questi sistemi è il modo in cui l'informazione quantistica si "scrambla" (mescola) e si delocalizza nel tempo. Mentre nei sistemi caotici termalizzanti la delocalizzazione avviene rapidamente (spesso con fronti d'onda balistici), nei sistemi MBL la propagazione è estremamente lenta, caratterizzata da un "cono di luce logaritmico".
Il problema principale affrontato è la necessità di misure quantitative e computazionalmente efficienti per caratterizzare la complessità e la delocalizzazione degli operatori nel tempo, senza ricorrere a campionamenti stocastici costosi o alla tomografia completa degli operatori.

2. Metodologia

Gli autori introducono un approccio basato sulla rappresentazione degli operatori come Matrix Product Operators (MPO) in uno spazio di Hilbert raddoppiato (rappresentazione di Choi-Jamiołkowski).

• Nuove Misure di Complessità: Oltre alla già nota "massa dell'operatore" (numero di siti su cui un operatore agisce non banalmente), gli autori introducono una nuova quantità complementare: la lunghezza dell'operatore.

  • Massa ($m$): Definita come il numero di matrici di Pauli non identiche in una stringa di Pauli.
  • Lunghezza ($h$): Definita come la posizione del sito più a destra su cui la stringa di Pauli agisce non banalmente (estensione spaziale del supporto).
  • Entrambe sono calcolate come medie pesate sulla distribuzione di probabilità data dai quadrati dei coefficienti dell'espansione dell'operatore evoluti nel tempo nella base di Pauli.

• Calcolo Esatto tramite MPO:

  • Gli operatori evoluti nel tempo sono rappresentati come stati MPS (Matrix Product States) in uno spazio di Hilbert degli operatori.
  • Gli autori dimostrano che sia la distribuzione completa della massa che quella della lunghezza possono essere calcolate esattamente e in modo deterministico all'interno del framework MPO, senza bisogno di campionamento stocastico.
  • La lunghezza media è ottenuta efficientemente tramite relazioni di ricorrenza sulle entropie di Rényi-2 non normalizzate.
  • La distribuzione della massa è ottenuta tramite una trasformata di Fourier discreta di una funzione generatrice calcolata iterativamente.

• Modello Fisico:

  • Viene studiata la catena di spin-1/2 disordinata XXZ con interazioni di nearest-neighbor e campi locali random.
  • L'evoluzione è analizzata sia per il caso non interagenti ($\Delta = 0$, modello di fermioni liberi localizzati) sia per il caso interagenti ($\Delta \neq 0$, regime MBL).
  • I risultati numerici sono ottenuti tramite diagonalizzazione esatta (ED) per sistemi piccoli ($L=12$) e simulazioni MPO per sistemi più grandi ($L$ fino a 32).

3. Risultati Chiave

Lo studio rivela comportamenti nettamente distinti tra i regimi non interagenti e interagenti:

• Caso Non Interagente (Localizzazione di Anderson):

  • Per $\Delta = 0$, la massa, la lunghezza e l'entropia di entanglement dell'operatore saturano rapidamente a valori costanti.
  • Questo segnala l'assenza di scrambling e la completa localizzazione dell'operatore, coerente con la localizzazione di tutti gli autostati a singola particella.

• Caso Interagente (Regime MBL):

  • Per $\Delta \neq 0$ (anche per interazioni deboli), si osserva una crescita logaritmica nel tempo ($h(t) \sim \ln t$, $m(t) \sim \ln t$) di tutte le quantità misurate.
  • Questa crescita logaritmica è coerente con il cono di luce logaritmico noto per la propagazione delle correlazioni quantistiche e l'entropia di entanglement nei sistemi MBL.
  • La crescita logaritmica implica che la dimensione di legame (bond dimension) richiesta per rappresentare l'operatore MPO cresce solo linearmente nel tempo, rendendo le simulazioni efficientemente scalabili anche per tempi lunghi.

• Confronto con il Modello $\ell$-bit:

  • I risultati numerici sono quantitativamente riprodotti da un semplice modello analitico basato su integrali del moto localizzati ($\ell$-bit).
  • Il modello $\ell$-bit conferma che la dinamica lenta è governata da interazioni esponenzialmente deboli tra i gradi di libertà localizzati emergenti, che inducono un dephasing su scale temporali esponenziali, portando alla crescita logaritmica della lunghezza dell'operatore.

• Transizione di Comportamento:

  • L'analisi mostra che la localizzazione di Anderson è singolare rispetto all'interazione: anche interazioni infinitesime ($\Delta > 0$) distruggono la saturazione rapida tipica del caso libero, innescando la dinamica logaritmica MBL.

4. Contributi Principali

1. Introduzione della "Lunghezza dell'Operatore": Una nuova misura complementare alla massa che cattura l'estensione spaziale del supporto dell'operatore, fornendo una visione più completa della delocalizzazione.
2. Algoritmo Deterministico ed Esatto: Sviluppo di un metodo basato su MPO per calcolare le distribuzioni complete di massa e lunghezza senza campionamento stocastico, superando i limiti di scalabilità esponenziale della tomografia completa o del campionamento di Pauli.
3. Dimostrazione Numerica della Dinamica MBL: Conferma robusta, su diverse scale temporali e di sistema, che la delocalizzazione degli operatori in regime MBL segue una legge logaritmica, distinguendosi chiaramente dal caso di Anderson.
4. Fattibilità Sperimentale: Proposta di un protocollo sperimentale realizzabile su piattaforme di simulazione quantistica (qubit superconduttori, ioni intrappolati, atomi neutri) utilizzando l'isomorfismo di Choi-Jamiołkowski, l'evoluzione temporale controllata (in avanti e all'indietro) e la tecnica dei "classical shadows" con misurazioni di Bell.

5. Significato e Implicazioni

Questo lavoro fornisce un quadro teorico e computazionale solido per quantificare lo scrambling e la delocalizzazione in sistemi disordinati.

• Efficienza Computazionale: Il metodo MPO proposto permette di studiare la dinamica di operatori in sistemi MBL molto più grandi di quanto possibile con la diagonalizzazione esatta, sfruttando la lenta crescita dell'entanglement.
• Verifica Sperimentale: La proposta di protocollo sperimentale rende le predizioni teoriche verificabili nei laboratori attuali, offrendo un modo diretto per misurare le distribuzioni marginali degli operatori.
• Comprensione Fondamentale: I risultati rafforzano la comprensione del regime MBL, confermando che le interazioni, anche deboli, sono rilevanti per la dinamica a lungo termine, portando a una delocalizzazione lenta ma illimitata, in contrasto con la localizzazione statica del caso non interagenti.

In sintesi, il paper stabilisce che la "lunghezza dell'operatore" è un osservabile potente ed efficiente per tracciare la lenta dinamica logaritmica tipica della localizzazione a molti corpi, offrendo sia un nuovo strumento computazionale che una roadmap per la verifica sperimentale.