Directional-Shift Dirichlet ARMA Models for Compositional Time Series with Structural Break Intervention

1. Il Problema

Le serie temporali composizionali (vettori di proporzioni che sommano a 1) sono fondamentali in settori come economia, finanza e scienze sociali. Tuttavia, la loro analisi statistica presenta sfide uniche a causa del vincolo del semplice (simplex constraint), che introduce dipendenze negative perfette tra i componenti e rende inadeguate le assunzioni gaussiane standard.

Un problema persistente nell'analisi applicata è la presenza di interruzioni strutturali (structural breaks), ovvero cambiamenti bruschi o graduali nel processo generatore dei dati causati da shock esterni (es. la pandemia COVID-19), cambiamenti di politica o interruzioni di mercato.
I metodi standard affrontano questi problemi in modi insufficienti:

• Effetti fissi per periodo: Offrono un adattamento perfetto al campione di stima ma non possono essere estrapolati per le previsioni future (i dummy per i periodi futuri non sono definiti).
• Dummy a funzione gradino: Permettono l'estrapolazione ma assumono un adattamento istantaneo, il che è irrealistico per molti fenomeni comportamentali graduali.
• Modelli separati: Dividere i dati pre e post-break disperde informazioni e non fornisce un quadro per le previsioni durante la transizione.

Esiste quindi un bisogno di modelli di intervento che preservino i vincoli composizionali, permettano transizioni lisce e offrano una decomposizione interpretabile dell'interruzione.

2. Metodologia

L'autore propone un'estensione bayesiana del modello Dirichlet ARMA (DARMA), denominato Modello di Intervento con Spostamento Direzionale (Directional-Shift Intervention).

A. Spazio di Trasformazione

Il modello opera nello spazio delle log-ratio isometriche (ILR). Le composizioni $Y_t$ vengono mappate in $\mathbb{R}^{C-1}$ tramite la trasformazione ILR ($Z_t = \text{ilr}(Y_t)$), permettendo l'uso di tecniche di serie temporali standard mantenendo la coerenza composizionale.

B. Parametrizzazione dell'Intervento

L'interruzione strutturale è modellata attraverso tre parametri chiave interpretabili:

1. Vettore di Direzione ($v$): Un vettore unitario nello spazio ILR che specifica l'asse del cambiamento composizionale (quali componenti guadagnano o perdono quote).
2. Ampiezza ($\Delta$): Uno scalare che controlla la magnitudine dello spostamento lungo la direzione $v$.
3. Porta Logistica ($w_t$): Una funzione che governa il tempismo e la velocità della transizione.
   $$w_t(\tau, \kappa) = \frac{\sigma(\kappa(t - \tau)) - \sigma(\kappa(\ell - \tau))}{1 - \sigma(\kappa(\ell - \tau))}$$
   dove $\sigma$ è la funzione logistica, $\ell$ è l'ultimo periodo pre-break, $\tau$ è la posizione della transizione e $\kappa$ controlla la velocità. Questo permette transizioni graduali invece che istantanee.

La struttura media nel modello DARMA diventa:
$$\eta_t = b + BX_t + \Delta \cdot w_t \cdot v + \sum A_p(Z_{t-p} - \eta_{t-p}) + \sum \Theta_q e_{t-q}$$

C. Proprietà Geometriche

Il modello dimostra che lo spostamento direzionale corrisponde a un moto geodetico sulla varietà del semplice sotto la geometria di Aitchison. Questo garantisce che la traiettoria di intervento sia la "via più breve" tra le composizioni pre e post-break e che sia invariante rispetto alla scelta della base ILR.

D. Stima e Identificazione

• Identificazione del segno: Poiché $\Delta \cdot v$ è invariante al segno, viene applicato un vincolo di emisfero (il primo elemento del vettore grezzo deve essere positivo) per risolvere l'ambiguità.
• Inferenza Bayesiana: Implementata tramite Stan utilizzando il campionatore NUTS (No-U-Turn Sampler).
• Dinamiche DARMA: Per motivi di parsimonia e tracciabilità computazionale, le matrici AR e MA sono vincolate ad essere diagonali, assumendo che ogni dimensione ILR evolva indipendentemente dato il termine di deriva.

3. Contributi Chiave

1. Nuovo Modello: Sviluppo di un modello DARMA bayesiano con meccanismo di intervento a spostamento direzionale, che integra transizioni lisce (gate logistico) e vincoli composizionali.
2. Studio di Simulazione Completo: 400 adattamenti su 8 scenari che dimostrano un recupero accurato dei parametri (quando la direzione è identificata correttamente nel 77,5% dei casi) e una calibrazione nominale (copertura del 79,6% per gli intervalli di credibilità al 80%).
3. Analisi di Sensibilità: Due studi supplementari che esplorano velocità di transizione estreme e reversibilità parziale, mostrando che la calibrazione è robusta e degrada in modo gestibile anche sotto specifiche non monotone.
4. Applicazioni Empiriche: Due studi di caso sui dati Airbnb durante il COVID-19:
   • Distribuzione dei tempi di lead per il riconoscimento delle commissioni (transizione monotona).
   • Distribuzione della durata del soggiorno (transizione non monotona con parziale inversione).
5. Benchmark Completo: Confronto diretto con modelli a effetto fisso e una variante a matrice piena (full-matrix) per valutare il compromesso bias-varianza.

4. Risultati Principali

Simulazioni

• Recupero Parametri: L'ampiezza è recuperata con bias quasi nullo quando la direzione è corretta. Il tempismo mostra un bias modesto dipendente da $\kappa$.
• Calibrazione: Gli intervalli di credibilità per la composizione media raggiungono una copertura vicina al nominale (80%) anche quando la direzione non è perfettamente identificata, grazie a un aggiustamento parziale dell'ampiezza.
• Reversibilità: In scenari con inversione parziale (non monotoni), la calibrazione degrada leggermente (da 79% a 73% con un recupero dell'80%), ma rimane accettabile.

Applicazione Empirica 1: Lead-Time (Monotono)

• Contesto: Distribuzione dei tempi di prenotazione durante il COVID (transizione graduale verso lead-time più brevi).
• Risultati: Il modello di intervento supera significativamente il modello a effetto fisso nella calibrazione (79,6% vs 66,1% di copertura), poiché cattura la natura graduale della transizione. L'effetto fisso sottostima l'incertezza durante il periodo di transizione. La precisione puntuale è comparabile.
• Benchmark Matrice Piena: Sostituire le matrici AR/MA diagonali con matrici non vincolate peggiora drasticamente sia la precisione puntuale che la calibrazione, confermando che la restrizione diagonale agisce come una regolarizzazione utile in finestre di rolling con dati limitati.

Applicazione Empirica 2: Durata del Soggiorno (Non Monotono)

• Contesto: Distribuzione delle durate di soggiorno con un picco iniziale seguito da una parziale inversione (ritorno alla normalità).
• Risultati: Entrambi i modelli "consapevoli della rottura" sono ben calibrati (83,0% per effetto fisso vs 85,7% per intervento). Il modello a effetto fisso ottiene una precisione puntuale leggermente migliore in media, specialmente dove la dinamica di inversione è forte, poiché la sua previsione "piatta" post-break si avvicina meglio all'equilibrio finale rispetto alla porta logistica monotona che continua a spostarsi.

5. Significato e Implicazioni Pratiche

Il lavoro fornisce una guida decisionale pratica per la previsione di serie temporali composizionali soggette a shock:

1. Calibrazione vs. Precisione Puntuale: Esiste un compromesso. Il modello a spostamento direzionale è superiore quando l'obiettivo è la quantificazione dell'incertezza (calibrazione) e la transizione è monotona. Il modello a effetto fisso può essere preferibile se l'obiettivo principale è la precisione puntuale e le dinamiche post-break sono non monotone o includono inversioni.
2. Regolarizzazione: L'uso di matrici AR/MA diagonali, sebbene teoricamente restrittivo, si è rivelato empiricamente superiore alle matrici dense in contesti di previsione con finestre di rolling limitate, evitando l'overfitting.
3. Interpretabilità: La decomposizione in direzione, ampiezza e tempismo offre insight gestionali superiori rispetto ai semplici dummy temporali, permettendo di comprendere come e quanto sta cambiando la struttura del mercato.

In sintesi, il modello proposto colma un vuoto metodologico fornendo uno strumento robusto per la previsione bayesiana di composizioni in presenza di interruzioni strutturali, bilanciando flessibilità, interpretabilità e coerenza geometrica.