Asymmetry and dynamical criticality

Riepilogo Tecnico: Asimmetria e Irreversibilità nel Modello Lipkin-Meshkov-Glick

Enunciato del Problema
Le simmetrie sono fondamentali per comprendere sia le transizioni di fase all'equilibrio che quelle fuori equilibrio. Tuttavia, la caratterizzazione quantitativa delle proprietà di simmetria nelle transizioni di fase quantistiche dinamiche (DQPT) rimane una sfida aperta. Gli osservabili tradizionali, come le quantità conservate o i parametri d'ordine dinamici, spesso non riescono a catturare la coerenza tra i diversi settori di simmetria che si sviluppa durante la dinamica unitaria. Sebbene le DQPT siano tipicamente identificate tramite non-analiticità nell'eco di Loschmidt o variazioni nei parametri d'ordine dinamici, manca un legame rigoroso tra la rottura/ripristino dinamico delle simmetrie, la coerenza di tipo informativo e la termodinamica fuori equilibrio. Questo lavoro affronta la necessità di uno strumento diagnostico in grado di quantificare la rottura di simmetria a livello della coerenza quantistica e di correlarla all'irreversibilità termodinamica nel contesto delle DQPT.

Metodologia
Gli autori investigano il modello Lipkin-Meshkov-Glick (LMG) con quench, un sistema di spin completamente connesso con interazioni a lungo raggio e due simmetrie fondamentali: la simmetria di permutazione e una simmetria discreta $Z_2$ (parità) associata all'inversione degli spin nel piano $zy$. Lo studio si concentra sull'evoluzione temporale del sistema a seguito di un quench improvviso del campo magnetico trasverso $h$, da un valore iniziale $h_0 = 0$ a un valore finale $h$.

Per quantificare la rottura di simmetria, gli autori impiegano una specifica misura di asimmetria, $F_L(\rho)$, definita come la norma $\ell_1$ del commutatore tra lo stato quantistico $\rho$ e un generatore di simmetria $L$:
$$F_L(\rho) = \|[\rho, L]\|_1$$
dove $L \in \{J_x, J_y, J_z\}$ rappresenta i generatori di spin collettivi. Sebbene la simmetria di parità $Z_2$ sia discreta, gli autori interpretano l'operazione di parità come una rotazione discreta di $\theta = \pi$ attorno all'asse $x$, permettendo l'uso dei generatori continui $SU(2)$ per sondare la dinamica della simmetria.

L'analisi prevede:

1. Evoluzione Temporale: Simulazione della dinamica per diverse intensità di quench ($h$) e parametri di anisotropia ($\gamma \in [0, 1]$), dove $\gamma=0$ corrisponde all'anisotropia massima e $\gamma=1$ all'isotropia.
2. Media Temporale: Calcolo dell'asimmetria media nel tempo $\bar{F}_L(\rho)$ per smorzare le oscillazioni e identificare il comportamento a lungo termine.
3. Analisi Comparativa: Correlazione delle misure di asimmetria con:
   • Il parametro d'ordine dinamico (magnetizzazione media nel tempo $\langle J_z \rangle$).
   • Il limite inferiore della produzione di entropia $\langle \Sigma \rangle$, derivato dall'angolo di Bures tra lo stato evoluto nel tempo e lo stato di riferimento all'equilibrio.

Contributi e Risultati Chiave

1. Asimmetria come Indicatore di DQPT: Le misure di asimmetria media nel tempo mostrano chiari segnali di criticità dinamica. Quando il quench attraversa il punto critico dinamico ($h_c^d$), le misure di asimmetria mostrano comportamenti distinti rispetto ai quench che non attraversano il punto critico. Nello specifico, per i quench che attraversano $h_c^d$, l'asimmetria cresce rapidamente e satura velocemente, mentre i quench sub-critici mostrano una crescita più lenta e rimangono più vicini all'asimmetria iniziale.

2. Ruolo dei Generatori e Ripristino di Simmetria:

   • $J_y$ e $J_z$: Le misure di asimmetria associate a questi generatori mostrano un rapido aumento e stabilizzazione quando si attraversa il punto critico, indipendentemente dall'anisotropia $\gamma$. Questo comportamento rispecchia la saturazione della produzione di entropia osservata in studi precedenti.
   • $J_x$: Il comportamento di $F_{J_x}(\rho)$ è più sfumato e direttamente legato alla simmetria di parità $Z_2$. Nel caso altamente anisotropo ($\gamma=0.2$), $F_{J_x}$ aumenta significativamente attraversando il punto critico. Tuttavia, nel caso quasi isotropo ($\gamma=0.8$), la tendenza si inverte, con un'asimmetria maggiore osservata per i quench non critici. Ciò è attribuito al fatto che, nel limite isotropo, l'Hamiltoniana può essere riscritta esclusivamente in termini di $J_x$, preservando il settore di simmetria e sopprimendo la generazione di coerenza in quella base.

3. Dipendenza dall'Anisotropia ($\gamma$): La posizione del punto critico dinamico si sposta in funzione del parametro di anisotropia. All'aumentare di $\gamma$ verso il limite isotropo ($\gamma \to 1$), la regione critica dinamica si sposta e infine scompare. Questo è coerente con il comportamento della separatrice della transizione di fase quantistica degli stati eccitati (ESQPT), che svanisce nel limite isotropo.

4. Collegamento all'Irreversibilità Termodinamica: Gli autori stabiliscono un legame quantitativo tra la generazione di asimmetria e la produzione di entropia. I picchi nell'asimmetria media nel tempo coincidono con i massimi del limite inferiore della produzione di entropia $\langle \Sigma \rangle$. Questa corrispondenza vale per diversi valori di $\gamma$, suggerendo che le DQPT sono accompagnate da un'irreversibilità potenziata e da una rapida ridistribuzione della coerenza tra i settori di simmetria.

5. Validazione tramite Parametro d'Ordine: Le linee critiche identificate dal decadimento del parametro d'ordine dinamico $\langle J_z \rangle$ coincidono con le regioni parametriche in cui le misure di asimmetria (in particolare $F_{J_x}$) mostrano cambiamenti caratteristici. Ciò convalida la misura di asimmetria come un indicatore affidabile del ripristino dinamico della simmetria di parità.

Significato e Affermazioni
Il lavoro postula che le misure di asimmetria forniscano un concetto unificante che collega simmetria, quantificatori di tipo informativo e termodinamica fuori equilibrio nello studio delle DQPT. Gli autori affermano che:

• I monotoni di asimmetria fungono da indicatori robusti e fisicamente trasparenti della criticità quantistica dinamica, capaci di catturare la rottura di simmetria a livello della coerenza quantistica, dove i parametri d'ordine tradizionali potrebbero essere insufficienti.
• Esiste una connessione diretta tra il ripristino dinamico della simmetria di parità $Z_2$ e la generazione di asimmetria, in particolare quando sondata tramite il generatore $J_x$.
• La generazione di asimmetria è legata termodinamicamente alla produzione di entropia, con i picchi di asimmetria che coincidono con la massima produzione di entropia attraverso la transizione.
• L'approccio non è limitato al modello LMG ma dipende dalla presenza di strutture di simmetria rilevanti nell'evoluzione dinamica. Gli autori notano che in sistemi in cui la simmetria gioca un ruolo meno diretto (ad esempio, interazioni a corto raggio o dinamiche non integrabili), questi segnali potrebbero non essere presenti.

Il lavoro conclude che, mentre l'asimmetria associata a $J_z$ offre il segnale numerico più pronunciato a causa della sua vicinanza al parametro d'ordine, l'asimmetria associata a $J_x$ offre un'insight concettualmente distinto sui meccanismi specifici di simmetria (ripristino di parità) che guidano la transizione. Gli autori suggeriscono che questo quadro apre nuove strade per esplorare l'interplay tra rottura di simmetria, termodinamica e criticità in altri sistemi quantistici a molti corpi, sebbene non propongano implementazioni o applicazioni sperimentali specifiche oltre al quadro teorico stabilito.