Bayesian imaging inverse problem with scattering transform

Sintesi Tecnica: Problema Inverso di Imaging Bayesiano con Trasformata di Scattering

Formulazione del Problema
Il documento affronta la sfida di risolvere problemi inversi di imaging bayesiano in astrofisica e cosmologia, specificamente nei "regimi a bassi dati" (low-data regimes) dove è disponibile un'unica osservazione contaminata ($d_0$). La difficoltà principale risiede nel recuperare un campo fisico sottostante ($s_0$) da dati prodotti da un operatore diretto ($F$) noto ma spesso stocastico o non invertibile, tale che $d_0 = F(s_0)$.

Gli approcci bayesiani tradizionali richiedono una distribuzione a priori $p(s)$ che codifichi la conoscenza fisica del segnale. Tuttavia, per campi astrofisici complessi e non gaussiani (ad esempio, la struttura su larga scala o la polvere galattica), specificare un prior fisicamente motivato è difficile, e i prior basati sui dati falliscono quando i dati di addestramento sono scarsi. Gli autori inquadrano il problema come la caratterizzazione della distribuzione a posteriori $p(s | d_0)$ senza fare affidamento su prior esterni o grandi dataset di addestramento, concentrandosi invece su campi regolari non gaussiani.

Metodologia
L'approccio proposto sposta l'obiettivo dell'inferenza dallo spazio dei pixel ad alta dimensionalità ($n \approx 10^5$) a un manifold a bassa dimensionalità di statistiche della Trasformata di Scattering (ST) ($l \approx 10^2$).

1. Rappresentazione tramite Trasformata di Scattering: Il metodo utilizza le statistiche ST, $\phi(s)$, che caratterizzano i processi non gaussiani catturando le interazioni tra scale orientate. Queste statistiche vengono utilizzate per costruire modelli generativi di massima entropia efficienti, $p_{\mu_S}(s)$, parametrizzati dalle statistiche ST $\mu_S$.
2. Riduzione della Dimensionalità: Invece di inferire la distribuzione a posteriori sui campi $p(s | d_0)$, gli autori inferiscono la distribuzione a posteriori sulle statistiche dei parametri ST: $p(\mu_S | \phi(d_0))$. Ciò riduce il problema alla ricerca di un modello generativo coerente con le statistiche dei dati osservati.
3. Approssimazione della Verosimiglianza (Likelihood): L'operatore diretto nello spazio ST, che mappa i parametri $\mu_S$ nelle statistiche dei dati $\phi(d)$, è analiticamente intrattabile a causa del campionamento richiesto dai modelli generativi. Gli autori approssimano questa verosimiglianza utilizzando un modello lineare gaussiano derivato tramite espansione di Taylor: $p(\phi(d) | \mu_S) \sim \mathcal{N}(A\mu_S + b | \Sigma)$.
4. Algoritmo Adattivo Iterativo: Per stimare i parametri ($A, b, \Sigma$) di questa verosimiglianza gaussiana e della relativa distribuzione a posteriori, gli autori propongono un algoritmo di stima sequenziale:
   • Inizializzazione: Un proposal gaussiano stretto $q_0(\mu_S)$ centrato sulle statistiche ST di una mappa di riferimento $\tilde{s}$, ottenuta ottimizzando il rumore bianco per minimizzare la distanza tra le sue statistiche trasformate e le statistiche dei dati osservati.
   • Raffinamento Sequenziale: La distribuzione di proposal viene aggiornata iterativamente combinando il proposal precedente con la verosimiglianza stimata. La covarianza è scalata da un fattore 2 a ogni step per prevenire un'eccessiva fiducia artificiale derivante dal condizionarsi più volte sulla stessa osservazione.
   • Convergenza: Il processo si interrompe quando la distribuzione di proposal converge a un punto fisso, coincidendo con la distribuzione a posteriori sotto un prior uniforme e una verosimiglianza gaussiana lineare.

Contributi Chiave

• Nuovo Framework di Inferenza: Il documento introduce un framework bayesiano che esegue l'inferenza nello spazio delle statistiche della Trasformata di Scattering piuttosto che nello spazio dei pixel, consentendo soluzioni trattabili per campi non gaussiani senza prior esterni.
• Algoritmo Adattivo: Propone un algoritmo iterativo specifico che approssima la distribuzione a posteriori dei parametri del modello generativo utilizzando un'approssimazione di verosimiglianza gaussiana lineare, evitando il costo computazionale dell'addestramento di stimatori di densità neurali in spazi ad alta dimensionalità.
• Ricostruzione Single-Image: Il metodo è progettato per operare in un regime con una singola osservazione, superando la necessità di grandi dataset di addestramento tipicamente richiesti dagli approcci di deep learning.

Risultati
Il metodo è stato validato utilizzando un campo di densità di colonna dalle simulazioni cosmologiche Quijote (struttura su larga scala) e un operatore diretto strumentale simulato composto da rumore gaussiano bianco e maschere ellittiche casuali.

• Inferenza Statistica: I campioni a posteriori delle statistiche ST hanno riprodotto accuratamente le proprietà statistiche (spettro di potenza e funzione di densità di probabilità a un punto) del vero campo sottostante $s_0$.
• Ricostruzione Deterministica: Campionando dai modelli generativi inferiti, gli autori hanno generato mappe visivamente indistinguibili dall'osservazione quando passate attraverso l'operatore diretto. I campi generati erano essi stessi coerenti con le mappe della Struttura su Larga Scala (LSS), mostrando variabilità principalmente alle scale più piccole, dominate dal rumore.
• Assenza di Prior Esterni: La ricostruzione è stata ottenuta senza alcun prior esterno per il campo di interesse, basandosi esclusivamente sulla struttura del modello generativo basato su ST.

Significatività e Rivendicazioni
Il documento afferma che le statistiche della Trasformata di Scattering forniscono una rappresentazione efficace per risolvere complessi problemi inversi di imaging in difficili regimi a bassi dati. L'approccio dimostra che l'inferenza statistica accurata e la ricostruzione deterministica del segnale sono possibili per segnali astrofisici non gaussiani anche quando:

1. È disponibile una singola immagine contaminata.
2. Non esiste un prior fisicamente motivato o un dataset di addestramento realistico.

Gli autori dichiarano che questo lavoro apre la strada a nuove applicazioni per segnali astrofisici e cosmologici non gaussiani per i quali attualmente non è disponibile quasi alcun modello a priori, offrendo una soluzione generalizzabile oltre il caso specifico della struttura su larga scala testata.