Quasiperiodicity-induced non-Hermitian skin effect from the breakdown of scale-free localization

Sintesi Tecnica: Effetto Skin Non-Hermitiano indotto dalla quasiperiodicità derivante dal breakdown della localizzazione scale-free

Problematica
I sistemi non-hermitetiani, in particolare quelli con hopping non reciproco, esibiscono l'effetto skin non-hermitetiano (NHSE), in cui un numero macroscopico di autostati si accumula ai bordi sotto condizioni al contorno aperte (OBC). Questo fenomeno è topologicamente radicato nella topologia del gap puntiforme dello spettro con condizioni al contorno periodiche (PBC). Tuttavia, l'introduzione di un legame di impurità sintonizzabile che connette i bordi permette di utilizzare condizioni al contorno generalizzate (GBC), che possono indurre un regime distinto noto come localizzazione scale-free (SFL). Nella SFL, gli autostati si accumulano vicino ai bordi ma possiedono lunghezze di localizzazione che scalano linearmente con la dimensione del sistema, contrastando con la localizzazione indipendente dalle dimensioni dell'NHSE.

Sebbene l'interazione tra non-hermiteticità e quasiperiodicità sia stata studiata, la specifica competizione tra la localizzazione bulk indotta dalla quasiperiodicità e la localizzazione ai bordi indotta dalla non-hermiteticità (che si manifesta come NHSE o SFL) rimane non ancora pienamente caratterizzata. Una sfida chiave consiste nel distinguere questi regimi, specialmente sotto GBC, dove gli invarianti topologici convenzionali come il numero di winding spettrale non sono direttamente applicabili. Inoltre, il comportamento di questi sistemi sotto l'influenza combinata del disordine quasiperiodico e del tuning del legame al contorno richiede uno strumento diagnostico quantitativo che vada oltre gli standard argomenti topologici.

Metodologia
Gli autori investigano un modello di reticolo unidimensionale con hopping non reciproco tra vicini prossimi e un potenziale quasiperiodico in sito (di tipo Aubry-André-Harper). Il sistema è chiuso in un anello tramite un legame di impurità sintonizzabile, permettendo l'interpolazione continua tra OBC e PBC. L'Hamiltoniana è definita dall'ampiezza di hopping $J$, dal parametro di non-reciprocità $\alpha$, dalla forza del potenziale quasiperiodico $\lambda$ e dal parametro di tuning del legame di impurità $\mu$.

Per caratterizzare i regimi di localizzazione, gli autori introducono il rapporto di non-normalità ($\kappa_R$) come principale strumento diagnostico. Questo rapporto è definito come il numero di condizionamento dell'Hamiltoniana sotto GBC ($\kappa_{GBC}$) normalizzato per il numero di condizionamento sotto PBC ($\kappa_{PBC}$). Il numero di condizionamento, derivato dagli autovettori biortogonali dell'Hamiltoniana non-hermitetiana, funge da misura quantitativa di non-normalità e instabilità numerica. L'analisi teorica stabilisce leggi di scala distinte per $\kappa_R$ in diversi regimi:

• NHSE: $\kappa_R$ cresce esponenzialmente con la dimensione del sistema $L$ a causa della localizzazione indipendente dai bordi.
• SFL: $\kappa_R$ non esibisce una crescita esponenziale con $L$ perché la lunghezza di localizzazione scala linearmente con $L$, ma rimane altamente sensibile al parametro di bordo $\mu$.
• Esteso/Localizzato nel bulk: $\kappa_R$ rimane dell'ordine di $O(1)$ rispetto a $L$.

Vengono eseguite simulazioni numeriche per varie dimensioni del sistema (spesso utilizzando numeri di Fibonacci per minimizzare il mismatch quasiperiodico), mediando sui parametri di fase, per mappare i diagrammi di fase nei piani $(\ln \mu, \lambda)$ e $(\lambda, L)$.

Risultati Chiave

1. Breakdown della SFL indotto dalla quasiperiodicità: Lo studio rivela che l'aumento della forza del potenziale quasiperiodico $\lambda$ non spinge semplicemente il sistema direttamente da un regime SFL verso una fase localizzata nel bulk. Inve vesto, emerge un NHSE indotto dalla quasiperiodicità. Partendo dal regime SFL, l'aumento di $\lambda$ causa un breakdown della SFL, facendo evolvere il sistema nel regime NHSE prima di entrare finalmente nella fase localizzata nel bulk.
2. Diagrammi di Regime:
   • Nel piano $(\ln \mu, \lambda)$, una linea di crossover separa i regimi SFL e NHSE. Questo crossover dipende da $\lambda$, con la regione SFL che si comprime man mano che $\lambda$ si avvicina alla forza critica di localizzazione nel bulk $\lambda_c$.
   • Per un valore fisso di piccolo $\mu$ (lontano da PBC), l'aumento di $\lambda$ guida un crossover da SFL a NHSE in sistemi sufficientemente grandi. La dimensione critica del sistema $L_c$ per questa transizione scala inversamente con la distanza dalla forza del potenziale critica ($L_c \propto 1/|\lambda - \lambda_c|$).
   • Nelle vicinanze del limite PBC (piccolo $|\ln \mu|$), l'aumento di $\lambda$ guida un crossover da SFL a un regime esteso piuttosto che NHSE. Questa "delocalizzazione assistita dalla quasiperiodicità" avviene perché il sistema si avvicina alla transizione delocalizzazione-localizzazione caratteristica delle PBC.
3. Caratteristiche Spettrali e Spaziali:
   • Collasso Spettrale: Nello regime NHSE indotto da una forte quasiperiodicità, lo spettro energetico GBC collassa sull'asse reale all'interno del loop complesso PBC, un segno distintivo rispetto al regime SFL dove lo spettro GBC rimane complesso e annidato dentro il loop PBC.
   • Profili delle Funzioni d'Onda: La distribuzione spaziale degli autostati mostra un trasferimento continuo di peso. Nel regime intermedio di $\lambda$, coesistono picchi caratteristici della SFL (accumulo ai bordi con lunghezza dipendente dalle dimensioni) e dell'NHSE (accumulo ai bordi con lunghezza indipendente dalle dimensioni). All'aumentare di $\lambda$, il picco simile all'NHSE diventa dominante.
4. Meccanismo: Il breakdown della SFL è attribuito alla deformazione dello spettro GBC da parte del potenziale quasiperiodico, mentre il gap puntiforme dello spettro PBC viene preservato. Da una prospettiva nello spazio reale, il potenziale quasiperiodico sopprime l'hopping attraverso il legame di impurità più efficacemente rispetto all'hopping nel bulk, realizzando effettivamente un ambiente simile a OBC che favorisce l'NHSE.

Significatività e Rivendicazioni
Il paper sostiene di aver scoperto i ruoli cruciali degli effetti di bordo e della quasiperiodicità nei sistemi non-hermitetiani, dimostrando specificamente come la quasiperiodicità possa indurre un NHSE distruggendo il regime SFL. Questa scoperta sfida l'aspettativa ingenua secondo cui l'aumento del disordine porti semplicemente i sistemi verso la localizzazione nel bulk.

Gli autori sottolineano che il rapporto di non-normalità fornisce un metodo diretto ed efficiente per distinguere tra NHSE, SFL ed regimi estesi sotto GBC, aggirando i limiti degli invarianti topologici che sono definiti solo sotto PBC. Notano inoltre che, sebbene l'entropia di entanglement possa anche distinguere queste fasi, il suo calcolo è computazionalmente oneroso e la sua accuratezza dipende dal numero di condizionamento, rendendo il rapporto di non-normalità un indicatore più robusto.

Il lavoro suggerisce che l'interazione tra quasiperiodicità e non-hermiteticità porta a diagrammi di fase ricchi dove il sistema può transire tra fasi SFL, NHSE ed estese a seconda del tuning del bordo e della forza del disordine. Gli autori ipotizzano che questi risultati possano essere realizzati sperimentalmente in circuiti elettrici, dove gli elementi non-reciproci e le modulazioni quasiperiodiche sono realizzabili, offrendo una piattaforma per osservare la prevista NHSE assistita dalla quasiperiodicità e la delocalizzazione.