Distributional Discontinuity Design

1. Il Problema

Le analisi tradizionali dei Disegni di Discontinuità di Regressione (RDD) e dei Disegni di Kink di Regressione (RKD) si concentrano quasi esclusivamente sugli effetti medi del trattamento (differenze nelle medie sopra e sotto la soglia). Tuttavia, questo approccio presenta limiti significativi:

• Mascheramento dell'eterogeneità: Un effetto medio nullo o piccolo può nascondere cambiamenti sostanziali nella forma dell'intera distribuzione degli esiti (ad esempio, variazioni nella varianza, nell'asimmetria o nella coda della distribuzione).
• Interpretazione complessa delle stime quantiliche: Sebbene esistano metodi per stimare gli effetti quantilici (QTE), questi richiedono l'analisi di molte curve quantili, rendendo difficile la sintesi e l'interpretazione pratica. Inoltre, l'interpretazione a livello individuale richiede forti assunzioni di invarianza di rango.
• Mancanza di una misura unificata: Non esiste una singola metrica interpretabile che catturi la distanza complessiva tra le distribuzioni controfattuali dei gruppi trattati e di controllo.

2. Metodologia Proposta

Gli autori introducono i Disegni di Discontinuità Distribuzionale (DDD) e i Disegni di Kink Distribuzionale, basandosi sulla teoria del Trasporto Ottimo e sulla Distanza di Wasserstein.

A. Il Parametro Causale: Distanza di Wasserstein ($W_2$)

Invece di stimare la differenza nelle medie, l'obiettivo causale è definito come la distanza di Wasserstein quadratica ($W_2$) tra le distribuzioni condizionali limite degli esiti controfattuali ($Y(1)$ e $Y(0)$) alla soglia di discontinuità $x_0$:
$$\Psi = W_2(P_{1|x_0}, P_{0|x_0}) = \left( \int_0^1 (Q_1(u) - Q_0(u))^2 du \right)^{1/2}$$
Dove $Q_1(u)$ e $Q_0(u)$ sono le funzioni quantili limite rispettivamente sopra e sotto la soglia.

• Interpretazione: $\Psi$ misura il "costo di trasporto" minimo necessario per trasformare la distribuzione non trattata in quella trattata. Cattura spostamenti di posizione, scala, forma e coda.

B. Identificazione e Assunzioni

• Sharp RDD: Sotto le assunzioni standard di continuità delle funzioni di distribuzione e densità della variabile di corsa, $\Psi$ è identificato direttamente come la distanza tra le distribuzioni osservate ai limiti destro e sinistro.
• Fuzzy RDD: Per disegni fuzzy (dove l'assegnazione non è perfetta), gli autori estendono il framework per identificare l'effetto distribuzionale sui compliers (soggetti il cui trattamento cambia a causa della soglia), utilizzando un rapporto di Wald distribuzionale.
• RKD (Kink): Per i disegni a kink (dove cambia la pendenza, non il livello), definiscono l'effetto come la derivata di Wasserstein ($\Psi'$) al punto di kink, che descrive il flusso istantaneo di massa di probabilità attraverso la soglia. Estendono anche questo caso al setting fuzzy.

C. Decomposizione e Interpretazione

Un contributo teorico fondamentale è la decomposizione della distanza di Wasserstein in L-momenti (Hosking, 1990), che sono momenti robusti basati su statistiche d'ordine.
$$\Psi^2 = \sum_{k=1}^{\infty} (2k-1) \left( \lambda_k^{(1)} - \lambda_k^{(0)} \right)^2$$
Questa decomposizione permette di definire un "R² distribuzionale", quantificando quanto della distanza totale è spiegata da:

• $k=1$: Spostamento di posizione (Media/Locazione).
• $k=2$: Variazione di scala (Dispersione/Varianza).
• $k=3$: Variazione di asimmetria (Skewness).
• $k \ge 4$: Componenti di forma di ordine superiore.

Inoltre, viene introdotta una Dominanza di Wasserstein ($\rho$) per determinare se l'effetto è prevalentemente positivo o negativo, risolvendo l'ambiguità delle cancellazioni tra quantili opposti.

D. Stima e Inferenza

• Stima: Utilizzano stimatori plug-in basati sulla regressione quantilica locale polinomiale con correzione del bias (estendendo il lavoro di Chiang et al., 2019).
• Inferenza: Poiché $\Psi$ è un parametro quadratico, la distribuzione asintotica cambia quando l'effetto è nullo (non è normale, ma una miscela di $\chi^2$). Gli autori propongono:
  1. Test basati sulla simulazione Monte Carlo degli autovalori del processo gaussiano limite.
  2. Intervalli di confidenza conservativi basati su disuguaglianze di Chebyshev o bande di confidenza uniformi per i quantili.

3. Risultati Chiave

Risultati Teorici

1. Legame con l'effetto medio: È dimostrato che $|\tau| \le \Psi$, dove $\tau$ è l'effetto medio locale. L'uguaglianza vale se e solo se l'effetto è puramente additivo. La differenza $\Psi - |\tau|$ misura l'eterogeneità del trattamento.
2. Decomposizione Ortogonale: La distanza totale può essere scomposta in contributi indipendenti di posizione, scala e asimmetria tramite gli L-momenti, offrendo una visione granulare dell'eterogeneità senza assumere invarianza di rango.
3. Estensione ai Kink: Viene stabilito un nuovo risultato di identificazione per i disegni di kink fuzzy, definendo l'effetto come una derivata funzionale rispetto alla distribuzione.

Risultati Empirici (Simulazioni e Dati Reali)

• Simulazioni: Gli intervalli di confidenza conservativi proposti mostrano una copertura adeguata e sono più stabili rispetto alle bande bootstrap uniformi, specialmente in campioni piccoli o con code pesanti.
• Rianalisi dell'Incumbency (Lee, 2008): Nell'analisi dell'effetto dell'incumbency nelle elezioni USA, l'effetto medio ($\hat{\tau} \approx 7.1\%$) e l'effetto di Wasserstein ($\hat{\Psi} \approx 7.5\%$) sono molto vicini. La decomposizione mostra che la maggior parte della distanza è spiegata dallo spostamento della media (L-location), confermando un effetto omogeneo e additivo.
• Rianalisi dei Grant Svedesi (Lundqvist et al., 2014): In un RKD sull'impatto dei grant intergovernativi sull'occupazione pubblica, l'effetto medio è nullo. Tuttavia, la derivata di Wasserstein suggerisce una variazione distribuzionale non nulla, guidata principalmente da momenti di ordine superiore (scala e asimmetria), indicando che il trattamento potrebbe aver avuto effetti eterogenei su alcuni comuni (outlier) che la media nasconde.

4. Significato e Contributi

Questo lavoro rappresenta un avanzamento significativo nella letteratura sulle cause quasi-sperimentali:

1. Oltre la Media: Fornisce un framework rigoroso per analizzare come un trattamento modifica l'intera distribuzione degli esiti, non solo la media, offrendo una visione più completa delle politiche pubbliche.
2. Interpretabilità: Trasforma un concetto astratto come la distanza tra distribuzioni in metriche pratiche (R² distribuzionale, dominanza, eterogeneità) che i ricercatori possono comunicare facilmente.
3. Robustezza: Utilizza gli L-momenti, che sono meno sensibili a valori anomali e code pesanti rispetto ai momenti tradizionali, rendendo l'analisi più robusta.
4. Generalizzabilità: Sebbene focalizzato su RDD e RKD, il framework è applicabile a qualsiasi disegno che soddisfi l'assunzione di scambiabilità (es. RCT, Difference-in-Differences), aprendo la strada all'uso della distanza di Wasserstein come effetto causale primario in molti contesti.

In sintesi, gli autori propongono di passare da una visione "monodimensionale" (media) a una "multidimensionale" (distribuzione) dell'efficacia causale, fornendo gli strumenti statistici necessari per identificare, stimare e interpretare tali effetti complessi.