A unifying physically meaningful relativistic action

1. Enunciazione del Problema

Il documento affronta diverse questioni fondamentali nella fisica teorica riguardanti il Principio di Minima Azione:

• Mancanza di Interpretazione Fisica: Sebbene il principio dell'azione abbia successo in vari ambiti (meccanica newtoniana, Relatività Generale, Elettrodinamica Quantistica), il significato fisico della funzione d'azione è spesso oscuro.
• Frammentazione: Diverse aree della fisica definiscono l'azione in modo diverso, creando difficoltà nella descrizione del moto influenzato da forze multiple (ad esempio, una particella carica in campi sia elettromagnetici che gravitazionali).
• Limiti della Relatività Generale (RG): La RG geometrizza con successo la gravità (forza = geometria) ma non riesce a geometrizzare altre forze come l'elettromagnetismo. Nella RG, l'accelerazione di una particella carica dipende dal suo rapporto carica-massa ($q/m$), il che significa che non esiste una singola geometria dello spaziotempo comune a tutte le particelle.
• Obiettivo: L'autore cerca di estendere il programma di Bernhard Riemann di "forza uguale a geometria" per unificare la dinamica relativistica dell'elettromagnetismo, della gravità e del moto in mezzi isotropi sotto una singola funzione d'azione fisicamente significativa.

2. Metodologia

L'autore propone un quadro basato su un Principio di Inerzia Esteso e su una specifica costruzione geometrica dello spaziotempo:

• Principio di Inerzia Esteso: Un oggetto inanimato non può cambiare la propria velocità da solo. Pertanto, in presenza di campi di forza o mezzi, l'oggetto segue una "linea retta" (geodetica) nel suo stesso "spaziotempo influenzato", piuttosto che nello spaziotempo di Minkowski piatto dell'osservatore.
• Definizione della Funzione d'Azione ($L(x, u)$):
  • Definita come la distanza infinitesimale nello spaziotempo influenzato tra gli eventi $x$ e $x + \epsilon u$.
  • Vincoli: Per soddisfare il Principio di Relatività e l'indipendenza dal parametro, $L(x, u)$ deve essere:
    1. Invariante di Lorentz (scalare).
    2. Omogenea positiva di grado 1 nella quadrivelocità $u$.
    3. Riducibile alla metrica di Minkowski ($\sqrt{\eta_{\mu\nu}u^\mu u^\nu}$) quando i campi si annullano.
• La Funzione d'Azione Unificante:
  Applicando il rasoio di Occam, l'autore costruisce la funzione più semplice che soddisfa questi vincoli utilizzando due quadripotenziali:
  $$L(x, u) = \sqrt{\eta_{\mu\nu}u^\mu u^\nu - (l_\mu(x)u^\mu)^2} + k A_\mu(x)u^\mu$$
  • $A_\mu(x)$: Un quadripotenziale lineare (tensore di rango 1).
  • $l_\mu(x)$: Un quadripotenziale quadratico (tensore di rango 1, ma elevato al quadrato nel termine metrico).
  • $k$: Una costante dipendente dall'oggetto (ad esempio, $q/m$ per la carica, 0 per i fotoni).
• Derivazione delle Equazioni del Moto:
  Utilizzando le equazioni di Eulero-Lagrange, l'autore deriva un'equazione unificata di dinamica relativistica (analoga alla Seconda Legge di Newton):
  $$\ddot{x}^\lambda = G^\lambda_{\mu\nu}(l) \dot{x}^\mu \dot{x}^\nu + k F^\lambda_\nu(A) \dot{x}^\nu$$
  Dove:
  • $F^\lambda_\nu$ è il tensore di campo derivato da $A_\mu$ (lineare nella velocità).
  • $G^\lambda_{\mu\nu}$ è un tensore di rango 3 derivato da $l_\mu$ (quadratico nella velocità).

3. Contributi Chiave

A. Geometrizzazione dell'Elettromagnetismo

• Il documento identifica il quadripotenziale lineare $A_\mu$ con il campo elettromagnetico.
• Per una singola carica in movimento, $A_\mu$ è derivato direttamente dalla linea d'universo della sorgente e dal tempo ritardato, producendo il potenziale di Liénard–Wiechert senza invocare le equazioni di campo di Maxwell.
• La geometria dello spaziotempo risultante è conforme.
• Il modello predice correttamente la precessione delle orbite ellittiche per le particelle cariche, mostrando che la gravità non può essere descritta da un potenziale lineare (poiché ciò produrrebbe valori di precessione errati per Mercurio).

B. Geometrizzazione della Gravità

• La gravità è descritta dal quadripotenziale quadratico $l_\mu$.
• Campi Statici: Per un campo gravitazionale statico con potenziale newtoniano $\Phi$, $l_\mu$ è derivato in modo che l'azione riproduca il limite newtoniano.
• Corpi a Simmetria Sferica: Il modello predice la precessione anomala dell'orbita di Mercurio ($3\pi \mu$ per rivoluzione), corrispondendo esattamente alla Relatività Generale (RG).
• Sorgenti in Movimento: Il documento propone un analogo di Liénard–Wiechert per la gravità (Eq. 34) per corpi a simmetria sferica in movimento.
• Congettura: Per sistemi di corpi multipli in movimento (ad esempio, stelle binarie), il tensore di rango 3 $G$ è la somma dei tensori delle singole sorgenti. Ciò implica che il modello predice onde gravitazionali simili alla RG.
• Distinzione dalla Teoria di Whitehead: Sebbene simile alla teoria di Whitehead per una singola sorgente statica, questo modello differisce per corpi estesi e sorgenti multiple, allineandosi alle previsioni della RG dove la teoria di Whitehead fallisce.

C. Moto in Mezzi Isotropi

• La propagazione della luce in un mezzo è modellata da un potenziale quadratico costante $l_\mu$.
• Il modello deriva con successo:
  • Esperimento di Fizeau: La velocità della luce in un mezzo in movimento ($v \pm v_m(1 - 1/n^2)$).
  • Legge di Snell: Derivata direttamente dalla conservazione del quadrimomento attraverso il confine di due mezzi.

4. Risultati

• Equazione Unificata: L'equazione del moto derivata (Eq. 13) descrive con successo particelle massive/massless, cariche/scariche in ambienti elettromagnetici, gravitazionali e di mezzi.
• Validazione contro la RG:
  • Il modello supera tutti i test standard del sistema solare (precessione di Mercurio, deflessione della luce, ritardo temporale di Shapiro).
  • Descrive correttamente la geometria dello spaziotempo vicino a un buco nero (Fig. 2), mostrando il cono di luce "tirato" verso l'interno ma rimanente all'interno del cono dello spaziotempo piatto (preservando il limite della velocità della luce per osservatori inerziali).
• Derivazione Basata sulle Sorgenti: Un risultato maggiore è che i quadripotenziali possono essere definiti direttamente dalle sorgenti (posizione e velocità di cariche/masse) senza risolvere equazioni di campo differenziali (come le equazioni di Maxwell o di Einstein).

5. Significato

• Unificazione Concettuale: Il documento fornisce un'interpretazione geometrica per l'elettromagnetismo e l'interazione con i mezzi, estendendo il programma "forza uguale a geometria" di Riemann oltre la gravità.
• Chiarezza Fisica: La funzione d'azione è fisicamente significativa, rappresentando la distanza infinitesimale nello spaziotempo influenzato di un oggetto.
• Semplicità: Affidandosi a potenziali derivati direttamente dalle sorgenti, la teoria offre un quadro computazionale potenzialmente più semplice per la dinamica relativistica rispetto alla risoluzione di complesse equazioni di campo.
• Colmare le Lacune: Risolve il problema delle forze dipendenti dall'oggetto (come $q/m$) incorporando le proprietà dell'oggetto nella geometria del suo specifico spaziotempo influenzato, piuttosto che forzare una geometria universale per tutte le particelle.

In sintesi, Friedman presenta una funzione d'azione invariante di Lorentz e omogenea che unifica la dinamica dell'elettromagnetismo, della gravità e dell'ottica nei mezzi, riproducendo con successo i risultati sperimentali noti e le previsioni della Relatività Generale, offrendo al contempo una prospettiva geometrica distinta sulle forze non gravitazionali.